第一篇第四章电阻率测深法

令 则
T1 ( m) 1[1 2 B ( m)]
s (r ) r
2


0
T1 ( m ) J 1 ( mr ) mdm
T1 ( m ) 便定义为电阻率转换函数， B(m) 称为核函数。
电阻率转换函数或核函数只与各层电阻率及厚度有关， 与 r 无关，因而是表征地电断面性质的函数。 为了求 T1 ( m ) ，可直接解线性方程组（1.4.11）式，但 更有用处的是它的双曲线函数表示法和递推公式。
d 2 R ( r ) 1 dR ( r ) d 2 Z ( z ) 2 dr r dr dz 2 整理得 R (r ) Z ( z)
用分离变量法求上式的解，设 U (r , z ) R (r ) Z ( z )
（1.4.3）
上式左边为仅含 r 的函数，右边为仅含 z 的函数。要 它们相等，只有都等于一个常数 m2 才有可能。故由 （1.4.3）得到二个常微方程：
应用韦伯—莱布尼兹积分


0
e mz B1 ( m )( e mz e mz ) J 0 ( mr ) dm
将第一层的电位公式写为：
U1 [
0
1 I mz e B1 ( m)(e mz e mz )]J 0 (mr )dm 2
（1.4.8） （1.4.9）
T1 ( m )
cth 1th

mh1 th 1
cth
1

cth 2 th
[ mh2 ] th 1
cth
1
cth n 1th ( mhn
（1.4.20） 式中
2 2 , 3 3 , , n n 2 , n 1 2 n 1 n 1
0
Un


An ( m )e mz J 0 ( mr ) dm
B2 (m) , Bn 1 (m) ，共有 2( n 1) 个。根据在各个界面上
电位连续和电流密度法向分量连续这两组边界条件，可 列出：


0
1 I mH [ e B1 ( m )(e mH e mH )] J 0 ( mr ) dm 2
1
1
1
（1.4.12）
1 1 2 1 2 2
K12 e 2 mh K 23 e 2 m ( h h ) 1 I B1(3) ( m ) 2 1-K12 e 2 mh K 23 e 2 m ( h h ) K12 K 23 e 2 mh
二、电阻率转换函数
一）电阻率转换函数的定义 在对电测深曲线进行量论分析及在电测深资料电子 计算机解释中，常用电阻率转换函数，其内容是：在地面 上， z 0 ，可由（1.4.8）式得到电位表达式：
（二）电阻率转换函数的双曲函数表示法 根据定义，将（1.4.12）和(1.4.13)代入到（1.4.15） 及 （1.4.17） 式中， 便得到二层和三层情况的 T1( 2) ( m ) 和 T (m)
(3) 1
T1(2) ( m ) 1
T1(3) ( m ) 1
1 K12 e 2 mh1 1 K12 e 2 mh1
U1 ( r , 0)
0
令 则
1 I [ 2 B1 ( m)]J 0 ( mr ) dm 2 1 I B1 (m) B (m) 2
1 I 2
（1.4.14） （1.4.15） （1.1.14）´
U 1 ( r , 0)


0
[1 2 B ( m)]J 0 ( mr ) dm
2 n
图 1.4.1 多层水平地层
引用圆柱坐标系，将原点设在 A 点，z 轴垂直向 下，由于问题的解对 Z 轴有对称性，与 无关，故电 位分布满足下面形式的拉普拉斯方程。
2U r
2

1 U r r

2U Z
2
0
（1.4.1）
（1.4.2） R（r）为仅含自变量 r 的待定函数，Z(z)是仅含自变 量 z 的待定函数。将（1.4.2）式代入（1.4.1）式，经
mz
m2 Z ( z) 0
mz
U ( r , z ) [ A( m ) e mz B ( m )e mz ] J 0 ( mr ) dm
0

（1.4.6）
式中 A m 和 B(m) 为待定的积分变量 m 的函数。
现先确定第一层电位的具体形式，由于当
R r z
第四章 电阻率测深法
电剖面法是将极距保持固定沿一定测线观测，以 了解在某一深度范围内地质情况沿水平方向的变化。 而电阻率测深法（简称电测深）则是在同一测点上逐 次扩大电极距，使探测深度逐渐加大，这样便可得到 观测点处沿垂直方向由浅到深的视电阻率变化情况。 电测深也可像电剖面法那样使用不同的装置，如三极 电测深，对称四极电测深、偶极电测深等。本章主要 讨论用得最广的对称四极电测深，它是以测点为中心， AB 极距对称于测点向两旁按一定倍数增加，MN 分段 固定（另一种方法是 MN 与 AB 间保持固定比例，随 AB 的增关而增大） ，对每一 AB 极距均可测出一 s 值， 对每一测点的电测深结果，
d 2 R (r ) dr 2 1 dR ( r ) r dr m 2 R (r ) 0
（1.4.4）
d 2 Z (z) dz 2
（1.4.5） （1.4.4）式为零阶贝塞方程，其解便为零阶贝塞尔 函数 J 0 (mr ) 和 Y0 (mr ) ；而（1.4.5）式的解为 e 和 e 。 由于 Y0 (mr ) 在 Z 轴上（即 r=0）变为无限大，这与电 位极限条件不符，故应舍掉，于是（1.4.1）式的通 解便为：
（1.4.18）
1 K12 e 2 mh1 K 23 e 2 m ( h1 h2 ) K12 K 23 e 2 mh2 1 K12 e 2 mh1 K 23 e 2 m ( h1 h2 ) K12 K 23 e 2 mh2
（1.4.19）
将其写为双曲线函数形式， 用数学归纳法可得到 n 层介质情况 T1 ( m ) 的双曲函数表达式：
1
1 I -2mH e 2
解上列线性方程组便可求出各系数。由于电测深工作地 面上进行，矿只研究地表面（ z 0 ）的电位分布，即仅 需求出 B1 ( m ) 。例如，通过解（1.4.11）式求得两层和三 B1( 2) ( m ) 和 B ( m ) 为 层情况的
(3) 1
1 I K12 e 2 mh B1(2) ( m ) 2 1-K12 e 2 mh
2 2
0 时， 电位与半无限介质相同， U 即
1 I 1 2 R
，
因此，在第一层中电位表达式为
1 I 1 U1 (r , z ) [ A1 (m)e mz B1 (m)e mz ]J 0 (mr )dm （1.4.7） 0 2 R
地面上任意一点的电流密度法向分量等于零
第二层以下到第 n 1 层的电位为
U i [ Ai ( m ) e mz Bi ( m ) e mz ]J 0 ( mr ) dm
0
i 2,, n 1
当 z 时，电位应等于零，故 Bn ( m) 0 ，在此第 n 层 中的电位为： （1.4.10） 在（1.4.8）～（1.4.10）式中的系 A2 ( m ) 和
1 1 1

1


0
[ A2 ( m )e mH1 B2 e mH1 ] J 0 ( mr ) dm
1 1 1
1


0
[
1 I mH e B1 ( m )(e mH e mH )] j0 ( mr ) mdm 2
1

2


Байду номын сангаас
0
[ A2 ( m )e mH1 B2 ( m ) mH1 ] J 0 ( mr ) mdm
将上式对 r 微分，并代入 MN 0 时的 s 表达式
s ( r ) 2 r
2
E I


2 r 2 I
(
U 1 r
)
便得
s ( r ) 1 r 2 [1 2 B ( m )] J 1 ( mr ) mdm
0
（1.4.16） （1.4.17） （1.4.16）´
n 1


1

0
[ Ai ( m )e mH n1 Bn 1 ( m )e mH n1 ]J 0 ( mr ) mdm

n

0
An ( m )e mH n1 J 0 ( mr ) mdm
从而得到
I 2 (1 e 2 mH1 1) B1 ( m ) 1e 2 mH1 A2 ( m ) 1 B2 ( m ) 1 2 e -2mH1 2 2 mH i 2 mH i e Ai ( m ) Bi (m)-e Ai 1 ( m ) Bi ( m ) 0 2 mH 1 2 mH 1 i 1e Ai ( m ) i 1 Bi (m )+ i e Ai 1 ( m ) i Bi 1 ( m ) 0 （1.4.11） 2 mH n 1 2 mH n 1 e An 1 ( m ) Bn 1 (m )-e An ( m ) 0 2 mH n 1 2 mH n 1 ne An 1 ( m ) n 1 Bn 1 (m )+ n 1e An ( m ) 0 (e 2 mH1 1) B1 ( m ) e 2 mH1 A2 ( m ) B2 ( m )
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