6.7二重积分
《二重积分计算》课件
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
二重积分算法
二重积分算法二重积分算法1. 介绍二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域内的函数值之和。
它的计算方法有多种，本文将介绍其中的三种常用算法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法和面积元法。
2. 直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最基本也是最常用的一种二重积分算法。
它将被积函数视为一个关于两个变量 x 和 y 的函数 f(x,y)，并通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以先固定 y 值，对 x 进行单变量积分得到一个关于 y 的函数 g(y)，再对 g(y) 在 D 内进行单变量积分即可得到 f(x,y) 在 D 内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y) dxdy = ∫a∫b g(y) dy其中 a 和 b 分别是 x 轴方向上 D 区域边界线段对应点的横坐标。
3. 极坐标系下的累次积分法极坐标系下的累次积分法适用于计算具有旋转对称性的函数在极坐标系下的积分值。
它将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，从而简化了计算过程。
具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以通过变量替换将直角坐标系下的 x 和 y 转化为极径 r 和极角θ，再通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。
公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫θ1∫θ2 f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中θ1 和θ2 分别是 D 区域边界线段对应点在极坐标系下的极角。
4. 面积元法面积元法是一种基于微小面元面积和被积函数在该面元上近似值之乘积来计算二重积分值的方法。
它适用于被积函数具有较强规律性且区域 D 的形状比较简单的情况。
具体来说，将区域D 划分为若干个微小面元，每个面元的面积为ΔS，其中心点为 (xi,yi)，则可以将被积函数在该面元上的近似值视为f(xi,yi)，从而得到二重积分的近似值：∬Df(x,y)dxdy ≈ ∑f(xi,yi)ΔS随着微小面元数量的增加，上式的近似值将越来越接近真实值。
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高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。
（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。
（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。
有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。
解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。
解：。