13和差倍问题
第13讲：和差倍问题
第13讲：和差倍问题知识梳理：1、已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数2、解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数3、已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。
解答和差应用题的基本数量关系是：（和－差）÷2=小数或：（和＋差）÷2=大数典型例题：题型一：和倍问题例1：学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。
两种书各有多少本？练习：用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。
铝和锡各用了多少千克？例2：果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。
求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？练习：李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？例3：有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。
每个书橱里各放了多少本书？练习：甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。
求甲、乙、丙各是多少。
例4：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？练习：粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克？例5：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。
三个队各筑多少米？练习：三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。
三个队各植树多少棵？题型二：差倍问题例6：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？练习：城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
和倍,差倍,和差问题
和倍，差倍，和差问题（基础例题详解）和倍、差倍、和差问题是小学阶段很典型的一类问题，这类问题的数量关系简单，有固定的解题思路，可以依据线段图分析题中的数量关系。
和倍问题就是已知大数与小数的和，还知道大数是小数的几倍，求这两个数。
差倍问题就是已知大数与小数的差，还知道大数是小数的几倍，求这两个数。
和差问题就是已知大数和小数的和，还知道它们的差，求这两个数。
例题1.（和倍问题）甲乙共有人民币285元，已知甲的钱数是乙的2倍，甲乙各有人民币多少元？解析：已知甲的钱数是乙的2倍，可知乙的钱数是一倍量，而甲的钱数是2个一倍量，画线段图表示它们的关系：乙的钱数：甲的钱数从图中可知，甲的钱数和乙的钱数一共是（1+2）个一倍量，先求出1个一倍量就是乙的钱数，再求出2个一倍量就是甲的钱数。
列式解答：285÷（1+2）=95（元）95×2=190（元）答：甲有人民币190元，乙有人民币95元。
从例题可以看到，解决和倍问题的关键是先找一倍量，再找两个数的和以及它们的倍数和（就是一共几个一倍量），就可以先求出一倍量，再另一个数。
公式：两数和÷（倍数+1）=一倍量的数一倍量的数×倍数=几倍量的数（还可以：两数和－一倍量的数=几倍量的数）例题2.（差倍问题）参加读书活动的女生比男生多18人，女生人数是男生人数的3倍，参加读书活动的男生和女生各多少人？解析：已知女生人数是男生人数的3倍，可知男生人数是一倍量，而女生人数是3个一倍量，画线段图表示它们的关系：男生人数：女生人数女生比男生多18人从图中可知，女生人数比男生人数多（3－1）个一倍量，先求出1个一倍量就是男生人数，再求出3个一倍量就是女生人数。
列式解答：18÷（3-1）=9（人）9×3=27（人）答：参加读书活动的女生有27人，男生有9人。
从例题可以看到，解决差倍问题的关键也是先找一倍量，再找两个数的差以及它们的倍数差，就可以先求出一倍量，再求另一个数。
差倍问题公式的由来
差倍问题公式的由来在我们的数学世界里，差倍问题可是个常常让人挠头但又充满趣味的家伙。
那差倍问题的公式到底是怎么来的呢？先来说说啥是差倍问题。
比如说，小明有 10 颗糖，小红的糖是小明的 3 倍还多 5 颗，那小红有几颗糖？或者反过来，小红有 35 颗糖，小明有 10 颗，小红比小明多的糖是小明的几倍？这就是差倍问题。
那咱们来琢磨琢磨差倍问题的公式。
设较小的数为 A，较大的数为B，两数的差为 C，倍数关系为 D。
那 B = A × D，C = B - A 。
经过一番推导，就能得出 A = C ÷ (D - 1) ，B = A × D 。
为了让大家更明白，我给大家讲个我在课堂上的事儿。
有一次上课，我就给孩子们出了一道差倍问题：“学校美术小组里，女生人数是男生的 2 倍还多 3 人，女生比男生多 13 人，问男生有多少人？”我刚把题目写在黑板上，下面就炸开了锅，孩子们一个个皱着眉头，嘴里嘟囔着：“这可怎么算呀？”我就引导他们，咱们先找一找这里的差和倍数关系。
孩子们慢慢安静下来，开始思考。
有个聪明的小家伙举手说：“老师，差是 13 ，倍数是 2 。
”我笑着点点头，接着问：“那咱们怎么用公式来算男生的人数呢？”孩子们七嘴八舌地讨论起来，有的说先算13 除以2 ，有的说不对，得先减 3 。
最后，我们一起按照公式，算出了男生的人数。
当得出正确答案的时候，孩子们脸上那种恍然大悟的表情，让我觉得特别有成就感。
其实啊，差倍问题的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
只要我们理解了其中的道理，多做几道题练练手，就能熟练掌握啦。
再比如说，在商店里买东西，如果知道两种商品价格的差和倍数关系，就能算出它们各自的价格。
又或者在分配水果的时候，知道多出来的数量和倍数，也能轻松算出每个人能分到多少。
总之，差倍问题公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多去运用，它就能成为我们解决问题的好帮手。
初中奥数系列：13和差倍问题之二
和差倍问题之二【内容概述】需要通过转化而具有和差、和倍与差倍形式的应用题，其中包括两个对象通过两种倍数关系限制的变倍问题，以及涉及三个对象的问题．【典型问题】1．小明和小亮玩“石头、剪子、布”的游戏．两人用同样多的石子做记录，输一次，就给对方一颗石子．他们做了许多次游戏，每次都决出胜负，其中小明胜了3次，小亮增加了9颗石子．那么他们共做了多少次游戏?2．用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量．3．某学生到工厂搞勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将付给他一套工作服和70元钱，但他工作了20天，由于学校另有安排，他便中止了合同，工厂只付给他一套工作服和20 元钱．那么，这套工作服值多少元?4．甲、乙、丙3人同乘长途汽车，3人所带行李都超过免费重量，要另付行李费，甲付2角，乙付4角，丙付6角．3人行李共重150千克，如果一个人带这些行李超过的重量就要付行李费2元4角，问每人可免费带行李多少千克?5．两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人?6．某工厂接到制造6000个4种零件和2000个B种零件的订货单．该厂共有210名工人，每人制造5个A种零件和制造3个B种零件所用时间相等．现把全厂工人分成甲、乙两组分别制造A，B两种零件，并同时投入生产，那么当甲、乙两组各分配多少人时，完成订货单所用时间最少?7．仓库存有一批钢材，由两个汽车队负责运往工地．已知甲队单独运要20天，乙队每天可运20吨．现在由甲、乙两队同时运输，干了6天之后，甲队汽车坏了一辆，每天少运4吨，结果又运6天才全部运完．那么这批钢材共有多少吨?8．李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆零件中拿15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍．那么，甲堆原来有零件多少个?李师傅这一天共生产零件多少个?9．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球数比白球数多多少只?10．有红、白球若干个．若每次拿出1个红球和1个白球，则拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个．那么这堆红球、白球共有多少个?1 1．某人以分期付款的方式买一台电视机．买时第一个月付款750元，以后每月付150元；或前一半时间付300元，后一半时间付100元．两种付款方式的付款总数及时间都相同．这台电视机的价格是多少元?12．甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人．问甲班和丁班共多少人?13．小木、小林、小森3人去看电影．如果用小木带的钱去买3张电影票，还差5角5分；如果用小林带的钱去买3张电影票，还差6角9分；如果用3个人带去的钱去买3张电影票，就多3角．已知小森带了3角7分，那么买一张电影票要用多少钱?14．有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克．问：其中最轻的箱子重多少千克?1 5．三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114，那么这三个数中最小的数是多少?【参考答案】1．15次．3．80元．5．20人．6．甲组135人，乙组75人．7．540吨．8．75个，120个．10．250个．12．85人．2．200克．4．30千克．9．106只．11．2400元．13．3角9分．14.41千克.15.56.。
三年级和倍问题、差倍问题基本题
三年级和倍问题、差倍问题基本题
一、和倍问题：
两数和÷（倍数＋1)＝较小数
2．小明有36元，小亮有24元，小明借给小亮多少元后，小亮的钱正好是小明的3倍？
解析：借完后，总和的钱正好是小明的4倍
现在小明的钱数：(36+24)÷(3+1)=15（元）
小明借给小亮的钱数为：36-15=21（元）
二、差倍问题：
两数差÷（倍数﹣1)＝较小数
1、姐姐比妈妈小24岁，妈妈今年的岁数正好是姐姐的3倍，妈妈和姐姐今年各多少岁？
解析：妈妈多出的24岁正好是姐姐的2倍。
姐姐：24÷(3-1)=12（岁）
妈妈：12x3=36（岁）
三、巩固应用：
学校举行体育比赛，参加跳绳的人数是踢毽子的4倍，而且比踢毽子的多63人，参加踢毽子的有多少人？
解析：，多出的63人，正好是踢毽子的3倍，
63÷(4-1)=21（人）
答：踢毽子的有21人。
小学数学《差倍问题》应用题及答案
小学数学《差倍问题》应用题及答案1.XXX家养了黄鸡、黑鸡和白鸡，其中黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只。
已知白鸡的只数是黑鸡的2倍，求三种鸡各有多少只。
2.爸爸今年的年龄是XXX的4倍，且比XXX大3岁。
求他们各自今年的年龄。
3.计算以下问题：1）一瓶墨水和一个文具盒的总价；2）一本童话书和一瓶墨水的总价；3）一支铅笔和一个文具盒的总价；4）XXX用1元钱去买一个文具盒，应找回多少钱？4.XXX在一次数学练中得了75分，共有25道题。
已知每做对一道题得4分，做错一道或不做扣1分。
求XXX做对了多少道题。
5.两个数的和是11.63，其中一个数XXX将小数点向左移动了一位后得到5.87.求这两个数各是多少。
6.玻璃瓶里原来装了一些饮料，现将饮料增加到原来的2倍和4倍时分别重5千克和9千克。
求原来瓶里的饮料重量和瓶子的重量。
7.兄弟俩去钓鱼，哥哥比弟弟多钓26条，且哥哥钓的鱼是弟弟的3倍。
求哥哥和弟弟各钓了多少条。
8.XXX的人数比XXX少126人，已知XXX的人数是XXX的2.5倍。
求XXX和XXX各有多少人。
9.五年级和六年级学生的捐款分别为x元和x+15元，且六年级捐款是五年级的1.6倍。
求五年级和六年级各捐了多少钱。
10.嘟嘟和泡泡各有一些玻璃球，已知泡泡的玻璃球数量比嘟嘟少1/4，且如果嘟嘟给泡泡1/6的玻璃球，泡泡就比嘟嘟多2个。
求嘟嘟原来有多少个玻璃球。
11.甲书架上有32本书，乙书架上有57本书，已知甲每天增加4本书，乙每天增加9本书。
求多少天后乙的书比甲的书多一倍。
12.XXX有一份资料要复印25份，已知复印每页0.40元，速印每页0.20元，且30份起印，每次另加制版费2.00元。
求XXX选哪种印法更省钱。
13.一只野兔每秒跑15.5米，一只小鹿每小时跑9千米。
求哪只动物跑得更快。
14.根据图表计算。
15.找出图中正确的苹果。
16.某工厂连续两天生产帐篷，第一天生产总数的2％，第二天生产总数的7/2，两天共生产帐篷44顶。
和倍差倍应用题
一、和差问题:已知两个数的和与差,求出这两个数各是多少的应用题,叫做和差应用题。
基本数量关系是:(和+差)÷2=大数(和-差)÷2=小数例1:有甲乙两堆煤,共重52吨,已知甲比乙多4吨,两堆煤各重多少吨?甲:(52+4)÷2=28(吨)乙:28-4=24(吨)例2:两只笼子里共有15只鸡,从甲笼提出3只后,甲笼比乙笼还多2只,两只笼子原来各有多少只鸡?甲:3+2=5只(15+5)÷2=10(只)乙:15-10=5(只)练习:1、两堆石子共有800吨,第一堆比第二堆多200吨,两堆石子各有多少吨?2、黄茜和胡敏两人今年的年龄是23岁,4年后,黄茜比胡敏大3岁,问黄茜和胡敏今年各是多少岁?3、把长84厘米的铁丝围成一个使长比宽多6厘米的长方形。
长和宽各是多少厘米?4、甲筐苹果是乙筐苹果的3倍,如果从甲筐取出60千克放入乙筐,那么两筐苹果重量就相等,两筐原来各有多少千克?5、三年级两个班的学生共124人,如果从二班调入2人到一班,两班人数就同样多。
三年级两个班原来各有多少个学生?二、和倍问题已知两个数的和,又知两个数的倍数关系,求这两个数分别是多少,这类问题称为和倍问题。
解决和倍问题的基本方法:将小数看成1份,大数是小数的n倍,大数就是n份,两个数一共是n+1份。
基本数量关系:小数=和÷(n+1)大数=小数×倍数或和-小数=大数例1 :甲班和乙班共有图书160本,甲班的图书是乙班的3倍,甲乙两班各有图书多少本?乙:160÷(3+1)=40(本)甲:160-40=120(本)例2:果园里有梨树和桃树共165棵,桃树棵数比梨树棵数的2倍少6棵,梨树和桃树各多少棵?梨树:(165)÷(2+1)=57(棵)桃树:171-57-6=108(棵)练习:1、小明和小强共有图书120本,小明的图书是小强的2倍,他们两人各有图书多少本?2、果园里一共有桃树和杏树340棵,其中桃树比杏树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?13、甲仓库存粮104吨,乙仓库存粮140吨,要使仓库的存粮是乙仓库的3倍,那么必须人乙仓库运出多少吨放入甲仓库?4、一个长方形的周长是是30厘米,长是宽的2倍,求长方形的面积是多少?5、学校将360本图书分给二、三年级,已知三年级所得的本书比二年级的2倍还多60本,二、三年级各得图书多少本?三、差倍问题已知两个数的差,并且知道两个数倍数关系,求这两个数,这样的问题称为差倍问题。
差倍问题练习题目
差倍问题练习题目一、基础差倍问题1. 甲、乙两数之和为50，甲数比乙数多10，求甲、乙两数。
2. 甲、乙两数之差为12，甲数是乙数的3倍，求甲、乙两数。
3. 甲、乙两数之和为60，甲数是乙数的2倍少10，求甲、乙两数。
4. 甲、乙两数之差为18，甲数是乙数的1.5倍，求甲、乙两数。
5. 甲、乙两数之和为72，甲数比乙数少1/3，求甲、乙两数。
二、提高差倍问题6. 甲、乙、丙三数之和为100，甲数比乙数多20，乙数比丙数多10，求甲、乙、丙三数。
7. 甲、乙、丙三数之差为30，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的1.5倍，求甲、乙、丙三数。
8. 甲、乙、丙三数之和为120，甲数比乙数少1/4，乙数比丙数多1/3，求甲、乙、丙三数。
9. 甲、乙、丙三数之差为45，甲数是乙数的1.5倍，乙数是丙数的2倍，求甲、乙、丙三数。
10. 甲、乙、丙三数之和为150，甲数比乙数多1/5，乙数比丙数少1/3，求甲、乙、丙三数。
三、综合应用差倍问题11. 一辆汽车从A地到B地的距离是400公里，返回时速度提高了1/4，求返回时的速度。
12. 某商品原价为200元，打折后价格为150元，求打折的折扣率。
13. 甲、乙两数的和为100，甲数的2/3等于乙数的1/2，求甲、乙两数。
14. 甲、乙两数的差为60，甲数的3/4等于乙数的5/6，求甲、乙两数。
15. 甲、乙、丙三数的和为180，甲数的1/3等于乙数的1/2，乙数的2/3等于丙数的1/4，求甲、乙、丙三数。
四、拓展差倍问题16. 一辆自行车行驶100公里，速度提高了20%，求提高后的速度。
17. 某班级男生人数是女生的2倍，若男生减少10人，女生增加5人，则男生人数是女生的1.5倍，求原班级男生和女生的人数。
18. 甲、乙两数的和为60，甲数的1/5等于乙数的1/3，求甲、乙两数。
19. 甲、乙两数的差为36，甲数的2/5等于乙数的3/7，求甲、乙两数。
20. 甲、乙、丙三数的和为120，甲数的2/3等于乙数的3/4，乙数的4/5等于丙数的5/6，求甲、乙、丙三数。
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和差倍问题
一、和倍问题
【例】甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙6天的时间仅相当于甲自学一天的时间。
问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？（ ）
A ．42
B ．48
C ．56
D ．64
【答案】A
【解题关键点】原来二者时间相同，现在甲增加半小时，乙减少半小时，二者正好相差一个小时，即60分钟，而此时，甲每天自学的时间是乙的6倍，因此，现在乙每天自学所用的时间为60÷（6-1）=12分钟，因此原计划每天自学12+30=42分钟。
【例】甲、乙两袋大米，甲袋中的大米比乙袋中的多20千克，把甲袋中大米的3
1倒进乙袋，乙袋中的大米就比甲袋中的大米多10千克。
甲袋中原来有大米多少千克？（ ）
A ．20
B ．40
C ．45
D ．30
【答案】C
【解题关键点】设乙袋中原有x 千克，甲袋中原有x+20千克。
32（x+20）+10=x+3
1（x+20），解得x=25，甲袋原有45千克。
二、差倍问题
【例】某班上有45名同学，其中有6名男生和7
1的女生参加比赛，剩下的男生和女生的人数相等。
请问这个班上有多少男生？（ ） A ．18 B ．21 C ．24
D ．27 【答案】C 【解题关键点】有71女生参加比赛，剩下的女生人数是全部女生的7
6，那么剩下的男生人数也是全部女生的
76，因此班上女生人数为（45-6）÷（76+1）=21名，那么男生人数就是
45-21=24名
【例】有若干个苹果，甲拿了其中的31少4个，乙拿了余下的4
1多4个，请问，剩下的苹果比甲、乙拿走的总算少几个？（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4 【答案】B
【解题关键点】此题采用特值法最为简单，设有12个苹果，则甲拿了12×3
1-4=0个，还剩12个，乙拿了12×
4
1+4=7个，剩余5个，剩余的比甲、乙两个人拿走的少2个。