[名校联盟]2012届高三数学二轮复习专题04 等差、等比数列的综合运用

等差、等比数列 的综合运用
第一课时：
等差数列、等比数列
第一课时：等差数列、等源自数列[课前导引]第一课时：
等差数列、等比数列
[课前导引]
1. 若两个等差数列 an }、 bn }的前 { { n项和分别为S n、Tn , 对任意的n N * S n 2n 3 a9 a3 都有： ,则 Tn 4n 3 b5 b7 b8 b4 _______________ .
2
1 c 由题设条件可得 n 2 0,因此c a , 2 1 2 即2c c 1 0. 解得c 1或c . 2 (2) 由(1)知要分两种情况讨论： 当c 1时, 数列{a n }是一个常数列 , 即a n 1( n N *). 这时, 数列{na n }的前 n( n 1) n项和S n 1 2 3 n . 2
1 (b1 b2 bn ) n 2 1 n (1 2 ) 5 3 n 1 2 3 1 n ( 2 5n 1). 3
1 1 得 : an , [法二] (1) 由bn 1 bn 2 an 2 代入递推关系 a n1a n 16a n1 2a n 5 0, 8 整理得 4 bn1bn 6 bn1 3 0, 即bn1 2bn bn
{ [例3] 在等差数列 a n }中, 公差d 0, a 2 是a1与a4的等比中项.已知数列a1 , a 3 , ak1 , a k2 , , a kn 成等比数列, 求数列{k n }的 通项k n .
[解析] 依题设得an a1 ( n 1)d ,
a a1a4 . (a1 d ) a1 (a1 3d )
a n 1 2 1 3 , 而S1 a1 3, a1 , an 2 2 2 1 故a1 2 . 即：数列{a n 2}是 2 1 1 以 为首项, 为公比的等比数列 , 2 2 1 1 n 1 1 n a n 2 ( ) ( ) , 2 2 2 1 n 从而a n 2 ( ) . 2
1
4 8 20 ,由a1 1有b1 2, b2 , b3 4, b4 . 3 3 3
4 4 4 (2) 由bn1 2bn , bn1 2(bn ), 3 3 3 4 2 4 2 b1 0, {bn }是首项为 , 3 3 3 3 4 1 n 公比q 2的等比数列, 故bn 2 , 3 3 1 n 4 即bn 2 ( n 1). 3 3
[解析]
2
(1) 由题设2a3 a1 a2 , 即
1 由bn 得a n bn bn 1, 故 1 2 an 2 1 S n a1b1 a 2 b2 a n bn (b1 b2 2 1 n (1 2 ) 5 1 n 3 bn ) n n ( 2 5n 1). 1 2 3 3
2
1 1 当c 时, 数列{a n }是一个公比为 2 2 1 n 1 的等比数列, 即a n ( ) ( n N *). 2 这时, 数列{na n }的前n项和S n 1 1 2 1 n 1 1 2( ) 3( ) n( ) 1 2 2 2 1 1 式两边同乘 , 得 : 2
1
. [法三] (1)同解法一
2 4 8 (2) b2 b1 , b3 b2 , b4 b3 , 3 3 3 2 8 4 2 2 ( ) , 猜想{bn1 bn }是首项为 , 3 3 3 3 1 n 公比q 2的等比数列, bn1 bn 2 , 3 5 2a n 又 a n 2, 故an1 ( n 1). 16 8a n
因此bn1 bn
1 1 a n 1 2
1 an 2 1 2 5 2a n 1 2a n 1 16 8a n 2 16 8a n 10 8a n 6 ; 6a n 3 6a n 3 6a n 3

1
bn 2 bn1
1 n 1 ( ) 2 n( 1 ) n 1 2 1 2 1 n 3n 2 S n [4 ( 1) ] ( n N *). n 1 9 2
{ [例3] 在等差数列 a n }中, 公差d 0, a 2 是a1与a4的等比中项.已知数列a1 , a 3 , ak1 , a k2 , , a kn 成等比数列, 求数列{k n }的 通项k n .
1 1 1 2 1 n 1 S n 2( ) ( n 1)( ) 2 2 2 2 1 n n( ) 2 2 1 式减去 2 式, 得 : 1 1 1 2 1 n 1 (1 ) S n 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 n n( ) 2
由此得 : k1 9. 等比数列{k n }的首项k1 9, 公比q 3, kn 9 q
n 1
3
n 1
( n 1,2,3,),
n 1
即得数列{k n }的通项k n 3
.
[例4] 已知{a n }是公比为q的等比数列,
且a1 , a 3 , a 2 成等差数列. (1) 求q的值； ( 2) 设{bn }是以2为首项, q为公差的 等差数列, 其前n项和为S n , 当n 2时, 比 较S n与bn的大小, 并说明理由 .
1 1 2 7 1 8 3 a 2 , 故b2 ; a3 , 故 7 1 3 8 4 8 2 1 13 20 b3 4; a4 , 故b4 . 3 1 20 3 4 2
[解析]
(1) a1 1, 故b1
1
2;
4 4 2 8 4 2 (2) (b1 )( b3 ) ( ) , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 4 4 4 2 (b2 ) ( ) , (b1 )( b3 ) (b2 ) 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 : {bn }是首项为 , 公比q 2的 3 3 等比数列. a n 2 (否则将a n 2代入递推公式会 5 2a n 导致矛盾), 故a n 1 ( n 1). 16 8a n
2. 已知数列{an }的前n项和S n 满足 S n an 2n 1, 求数列{an }的通项an .
2. 已知数列{an }的前n项和S n 满足 S n an 2n 1, 求数列{an }的通项an .
[解] S n a n 2n 1,
S n1 a n1 2( n 1) 1, 两式相减, 得 : 2a n1 a n 2, 即2a n1 a n 2 4,2a n1 4 a n 2
1 由bn 得a n bn bn 1, 故 1 2 an 2 1 S n a1b1 a 2 b2 a n bn (b1 b2 2 1 n (1 2 ) 5 1 n 3 bn ) n n ( 2 5n 1). 1 2 3 3

1
2 b2 b1 0, {bn1 bn }是公比q 2 3 1 n 的等比数列, bn1 bn 2 , 从而bn 3 (bn bn1 ) (bn1 bn 2 ) (b2 b1 ) b1 1 n 1 n 2 1 (2 2 2 ) 2 3 1 n 1 n 4 ( 2 2) 2 2 ( n 1). 3 3 3
4 故{bn }确是公比为q 2的等比数列. 3 4 2 4 1 n b1 , 故bn 2 , 3 3 3 3 1 n 4 bn 2 ( n 1), 3 3 1 1 由bn 得 : a n bn bn 1, 1 2 an 2 故S n a1b1 a 2 b2 a n bn .
4 1 4 bn 1 3 a 1 3 n 1 2 16 8a n 4 20 16a n , 6a n 3 3 6a n 3 4 2 8 20 16a n 2(bn ) 1 3 3 6a n 3 an 2 4 4 bn1 , b1 0 3 3
a9 a3 a9 a3 [解析] b5 b7 b8 b4 2b6 2b6 a1 a11 11 a9 a 3 a6 S11 19 2 . 2b6 b6 b1 b11 11 T11 41 2
a9 a3 a9 a3 [解析] b5 b7 b8 b4 2b6 2b6 a1 a11 11 a9 a 3 a6 S11 19 2 . 2b6 b6 b1 b11 11 T11 41 2 19 [答案] 41
2 2 2
整理得 : d a1d ,
2
d 0, d a1 , 得a n nd , 由已知得d ,3d , k1d , k 2 d , , k n d n , 是等比数列. 由d 0, 数列1,3, k1 , k 2 , , k n , 也是 3 等比数列, 首项为1, 公比为q 3, 1
[链接高考]
[链接高考]
[例1] 数列{a n }满足a1 1且 8a n 1a n
16a n1 2a n 5 0( n 1). 记bn
1 1 an 2
( n 1). (1) 求b1、b2、b3、b4的值； ( 2) 求数列{bn }的通项公式及数列 {a n bn }的前n项和S n .
1
{ [例2] 若公比为c的等比数列 a n }的首项 a n 1 a n 2 a1 1且满足a n ( n 3,4,). 2 (1) 求c的值； ( 2) 求数列{na n }的前n项和S n .
{ [例2] 若公比为c的等比数列 a n }的首项 a n 1 a n 2 a1 1且满足a n ( n 3,4,). 2 (1) 求c的值； ( 2) 求数列{na n }的前n项和S n .