2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.2 第一课时 复数的加减与乘法运算
苏教版选修22高中数学第三章复数的运算二word教案
• §复数的四则运算（二）
一． 教学目标
1.通过几个特殊的复数（i i i i i 2
321,2321,1,1,--+--+），再次巩固复数的四则运算法则； 2.通过个例，再次体会复数的四则运算是一种新的规定．．
，不是多项式运算法则合情推理的结果。
二． 重点、难点
把握几个特殊的复数；增强对新事物的科学熟悉（能够用类比来经历新事物，但利用之前应推理、证明）。
三． 知识链接
应用复数的运算法则，计算下列各个结果：
1.,+∈N n n i
4= , 14+n i = , 24+n i = , 34+n i = ； 2.2)1(i += ；2)1(i -= ；
3.解方程)(,13
C x x ∈=
四． 学习进程
例1. 设i 2
321+-=ω，求证： ○
1012=++ωω ○213=ω ○3ωω=2，ωω=2
例2.计算：○11002321）（i +- ○2i
i i i +-+-+1)1(1)1(7
7
例3. 32-i 是关于x 的方程022
=++q px x 的一个根，求实数q p ,的值。
高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：
五、达标检测
1.若规定n n i
i 1=-，当)()(+-∈+=N n i i n f n n ,则集合{}+∈N n n f ),(=
2.在复数范围内分解因式：
○
144b a - ○242+x ○
3522++x x ○4ab c b a 2222+++
3.已知i z 2472--=，求复数z .
反思总结：
后继探讨（判定）：i i 2323->+。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《1.3.1单调性》教案
2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．教学重点：利用导数判断函数单调性．教学过程：一、问题情境1．问题情境．怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？2．探究活动．由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？二、建构数学1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243＝－＋的图象y x x可以看到：x)y＝f(x)＝x2－4x＋3 切线的斜率 f ′（在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而增大，即y ′＞0时，函数y ＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而减小，即y ′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．定义：一般地，设函数y ＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()f x ．②令()f x ＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令()f x ＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间．三、数学运用例1确定函数f(x)＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．21f x = 2x 3-6x 2+7xOy解 f ′（x)＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．当x ∈(2，＋∞)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．∴当x ∈(0，2)时，f ′（x)＜0，f(x)是减函数．(2，＋∞) 增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0例2已知函数y ＝x ＋x1，试讨论出此函数的单调区间．-22-11f x = x+1xxOy 解法一：(用定义的方法) 法二：(用导数方法)点评用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．练习1．确定下列函数的单调区间（1）y ＝x 3－9x 2＋24x（2）y ＝x －x32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的单调区间．3．求下列函数的单调区间（1）y ＝2x x ＋（2）y ＝29xx －（3）y ＝x ＋x ．四、回顾小结f(x)在某区间内可导，可以根据f ′（x)＞0或f ′（x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当 f ′（x)＝0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数．五、课外作业课本第29页第1，2，3题．。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第3章 3.2 第1课时 复数的加减与乘法运算 Word版含答
3.2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算1.掌握复数代数形式的加减运算.(重点)2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.(重点、难点)3.掌握共轭复数的概念及应用.(易错点)[基础·初探]教材整理1复数的加减法阅读教材P113，完成下列问题.1.复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数).(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a＋b i)－(c ＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.2.运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).判断正误：(1)复数与向量一一对应.( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2复数的乘法与共轭复数阅读教材P114例1以下至P115练习以上部分，完成下列问题.1.复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z＝a＋b i的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(2)关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d.(3)当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.1.判断正误：(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )(2)若z1，z2∈C，且z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0.( )(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( )【答案】(1)×(2)×(3)√2.设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.【导学号：01580062】【解析】(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.∵其对应点在实轴上，∴a＋1＝0，即a＝－1.【答案】－1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－32i ＝________.(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1＋32i＝1＋i. 【答案】 1＋i(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x2＋y2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x2＋y2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1.复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把i 看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.2.当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋b i(a，b∈R).[再练一题]1.复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________.【解析】∵z－(1－i)＝2i，∴z＝1－i＋2i＝1＋i.【答案】1＋i(1)已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2＝_______.(2)复数(3＋2i)i＝________.【精彩点拨】(1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算.(2)直接运用结合律复数的乘法运算.【自主解答】(1)∵a＋i＝2－b i，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋b i)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i.(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.【答案】(1)3－4i (2)－2＋3i1.两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.2.常用公式(1)(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2(a，b∈R)；(2)(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.[再练一题]2.若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.【导学号：01580063】【解析】设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则|z1|＝a2＋b2＝5，即a2＋b2＝25，z 1·z 2＝(a ＋b i)·(3＋4i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i. ∵z 1·z 2是纯虚数.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝0，3b ＋4a≠0，a2＋b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z 1＝4＋3i 或z 1＝－4－3i. 【答案】 4＋3i 或－4－3i [探究共研型]探究1【提示】 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，则z ＋z ＝2a ∈R .因此，和一定是实数；而z －z ＝2b i.当b ＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b ≠0时，两共轭复数的差是纯虚数.探究2 若z 1与z 2是共轭复数，则|z 1|与|z 2|之间有什么关系？ 【提示】 |z 1|＝|z 2|.已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .【精彩点拨】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ；代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【自主解答】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.[再练一题]3.已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i 1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值.【解析】 z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i ， z 2＝a ＋2i 1－i ＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有错误!解得错误!1.(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.【解析】 (5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. 【答案】 －11i2. i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 【解析】 (3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i. 【答案】 5－5i3.若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为________. 【解析】 z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0. 【答案】 04.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z2＝______.【解析】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.【答案】 4＋2i 5.计算：(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i (1＋i)；(2)(2－i)2.【解】 (1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.(2)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
最新苏科版高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章3复数的运算(二)
高二数学讲义（41）复数的运算（二）【教学目标】进一步熟悉复数的代数形式四则运算【典型例题】例1（1）若12(),34,2f z z z i z i ==+=-+，则12()f z z -=（2）23212123n n n n ii i i --+++++=（3）“12z z R +∈且12z z R ⋅∈”是“12,z z 互为共轭复数”的一个 条件（4）若2z =则100501______z z ++=（5）若210z z ++=，则4014011_______z z +=例2.若12,4i z C z z z -∈+⋅=， 求复数z .例3.求同时满足下列条件的复数z ：（1）(]101,6z z+∈（2）z 的实部与虚部都是整数.[学后反思]１.12,,,*,z z C m n N ∈∈有：m n z z ⋅=_________;()m n z =________;12()n z z ⋅=_________2.414243*,____;____;____n n n n N ii i +++∈=== 3.23213,____,_____,1______22w w w w w =-+==++=有 4.满足()()(0)c di x yi a bi c di +⋅+=++≠的复数________x yi +=5.求复数的平方根一般利用开方.平方之间的互逆关系求解.[课堂练习]１.21()1i i-+的值等于 ２.设复数132z =-，满足n z z =且大于１的正整数ｎ中最小的是 Ａ.3 B.4 C.6 D.7３.61()i i -的虚部是4.已知122()1,23,5,)f z z z i z i z =-=+=--1则f(z =5.5()22,()f z i z z i f i +=+-则=6.已知i 是虚数单位，则能使（n ＋i ）4成为整数的整数n 的个数是A. 2个B.3个C.4个D.无数个高二数学课后作业（41）班级: 姓名: 学号：1.下列命题中，正确的命题是A ．若22(4)(48)x x x i -++-是纯虚数，则x ＝±2B ．z 2∈R 的一个充分不必要条件是z ∈RC ．若12121122x x y y C x y i x y i ∈+=+、、、，则的充要条件是x 1＝x 2，y 1=y 2D ．2i+1与2i-1是互为共轭复数2.已知2*()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈，集合｛f （n ）｝的元素个数是A ．2 B.3 C.4 D.无数个 3(13)______i -+= 4.若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数______a = 5.已知4233z z i +=，求z 的值6.已知(,)z x yix y R =+∈，且11+-z z 是纯虚数，22(1)(1)z z x y ++=+，求z7. 求下列函数的导数：（1）()cos ln f x x x =⋅ （2）cos ()x x t h x e ⋅=（t 为常数）8.（1）已知双曲线过点(3,2)-,且与椭圆224936x y +=有相同的焦点, 求双曲线的方程（2）已知双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线方程.（3）已知双曲线渐近线方程是3,2y x =±焦点是(0,26),(0,26)-，求双曲线方程.。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《2.1.3推理案例赏析》教案
2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1正整数平方和公式的推导．分析提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n ＝＋＋＋＋＝＋①那么，前n 个正整数的和22222()123S n n ＝＋＋＋＋＝？②数学活动思路1（归纳的方案）如表2-1-5所示，列举出)(2n S 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．表2-1-5n 123456…)(2n S 1514305591…但是，从表2-1-5的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：)(1n S 与)(2n S 会不会有某种联系？如表2-1-6所示，进一步列举出)(1n S 的值，比较)(1n S 与)(2n S ，希望能有所发现．尝试计算，终于在计算)(1n S 和)(2n S 的比时，发现“规律”了（表2-1-7）．表2-1-7n 123456…)(1n S 136101521…)(2n S 1514305591…)()(12n S n S 33353739311313…从表2-1-7中发现21()21()3S n n S n ＋＝，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ＋＋＝．公式③的正确性还需要证明．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有12＝1，22＝22(11)1211＋＝＋×＋，32＝22(21)2221＋＝＋×＋，42＝22(31)3231＋＝＋×＋，…n 2＝2(1)2(1)1n n －＋－＋，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n ＝－＋－＋，等号两边的)(2n S 被消去了，所以无法从中求出)(2n S 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出)(2n S ，但是却求出了)(1n S 的表达式，即212(1)()22n n nn n S n ＋－＋＝＝．它启示我们：既然能用上面的方法求出)(1n S ，那么我们也应该可以用类似的方法求出)(2n S ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：13＝1，23＝332(11)131311＋＝＋×＋×＋，33＝332(21)232321＋＝＋×＋×＋，43＝332(31)333331＋＝＋×＋×＋，…43＝32(1)3(1)3(1)1n n n －＋－＋－＋．左右两边分别相加，得23321()[()3]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n ＝－＋－＋－＋．由此可知322323()()3n n n S n S n ＋＋－＝＝32236n n n＋＋＝(1)(21)6n n n ＋＋，终于导出了公式．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？例2棱台体积公式的推导．提出问题能通过类比推测出棱台的体积公式吗？数学活动思路：试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．（1）确定类比对象．对梯形和四棱台作比较，如表2-1-8所示．表2-1-8梯形四棱台上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．（2）对类比对象的进一步分析．梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的，而棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的，据此，应该有如下的对应关系：直线平面，三解形棱锥，梯形棱台．进而有梯形底边长棱台底面积，三角形面积棱锥体积，梯形面积棱台体积．（3）通过类比推理，建立猜想．求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的．于是由梯形的面积公式1()2S h a b 梯形＝＋④其中b a,分别表示梯形上、下底的长度，h 表示高，猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式1()2V h S S 下棱台上＝＋⑤其中S S 下上，分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．（4）验证猜想．⑤式的正确性要通过严格的证明来确认．在作出正式的证明之前，可以先通过具体的例子加以检验．把棱锥看成棱台的特例．此时，公式⑤中的0S 上＝，因此有12V hS 下＝，这与实际结果1S 3h 下不符，这表明，猜想⑤是错误的，需要修正．于是设想公式具有01()3V h S S S 下棱台上＝＋＋⑥的形式，其中0S 应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定．与⑤式相比，公式⑥的分母从2变为3，相应的分子从2项变为3项，这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异．因此，公式⑥从整体结构上就给人以一种协调的美感．应该说，公式⑥比公式⑤更合理．既然⑥式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的确定公式中0S 的意义和大小了．容易看出：第一，由于从棱锥的体积公式可知，当0S 上＝时，0S ＝0，因此，0S 应含有S 上的因子．第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此S 上和S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想0S 具有k S S 下上的形式．第三，进一步确定k 的值．仍然作用特殊化的方法，当S 上＝S 下时，棱台变为棱柱，则01()3V h S k S S S hS 下下棱台上上＝＋＋＝.此时S 上＝S 下＝0S ，所以有k ＝1，因此，0S ＝S S 下上，⑥式即为1()3V h S S S S 下下棱台上上＝＋＋⑦思考数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？三、学生探究上面的案例说明：1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，第6题，第7题.。
最新苏科版高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章2复数的运算(一)
高二数学讲义（40）复数的运算（一）【教学目标】1.理解并掌握复数的代数形式四则运算及其运算法则.2.理解加法与减法，乘法与除法的关系.3.掌握共轭复数的概念及性质.【知识构建】1.复数相等2.复数的加法法则(a +bi )+(c +di )=复数的减法法则(a +bi )-(c +di )=复数的乘法法则(a +bi )(c +di )=复数的除法法则 a bi c di+=+ 3.复数运算满足的运算律4.共轭复数的概念【典型例题】例1.计算（1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）(12)(34)(2)i i i -+-+（3）1234i i +- （4）ii i i 4342)1)(41(++++-例2.(1)求复数11z i =-的共轭复数.（2）设122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.例3.已知132w =-，求w ，234,,w w w 的值.高二数学课后作业（40）班级: 姓名: 学号： 1.0z z +=是z 为纯虚数的 条件2.设z =3+i , 则z1等于 3.aib bi a ai b bi a +-+-+的值是 4.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 5.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________, y =___________ 6.已知222(32),()x x x x i x R +-+-+∈与420i -互为共轭复数，则x =7.已知x.y ∈R ，22(2)3(1)x x y x i x y i +++-+和是共轭复数，求复数z ＝x ＋yi 及z .8.已知221,1,,1z az b z i i a b R z z ++=+=-∈-+，求,a b 的值.9.已知椭圆的两个焦点12,F F 在x 轴上，以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程10.如图，,',A A B 分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为焦点F ，且',105AB OP FA =-平行于，求椭圆的方程A 'F y xP O B A11.求曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离.。
2019-2020学年度高中数学苏教版选修2-3教学案：2
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学苏教版选修2-3教学案：2______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学苏教版选修2-3教学案：2设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？提示：x＝5，6，7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：，，.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：5×＋6×＋7×.1．离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1．(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．2．两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝．(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值．[思路点拨] 首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P(A)＝,C)＝，P(B)＝,C)＝.故取出的4个球均为黑球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C，D互斥，且P(C)＝,C)··C,C)＝，P(D)＝,C)·,C)＝.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.(3)X可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝3)＝,C)·)＝.从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.所以X的概率分布为X 0123P 15715310130故X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X 123P 35310110则X的均值E(X)＝________．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案：322．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X, 求E(X)．解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)·P(B)＝×＝，P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＝，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.所以，X的分布列如下表：X 012P 11525815故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.(1)求X的概率分布；(2)求X和Y的均值．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．[精解详析] (1)P(X＝0)＝C＝；P(X＝1)＝C＝；P(X＝2)＝C＝；P(X＝3)＝C＝.所以X的概率分布如下表：X 012 3P 18383818(2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5，或由题意X～B，Y～B，所以E(X)＝3×＝1.5，E(Y)＝3×＝2.[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：X 01P 0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值．解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A 为“摸出的3个球中没有白球”，则P(A)＝,C)＝，P(A)＝1－P(A)＝，即至少摸出一个白球的概率等于.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝,C)＝，P(X＝1)＝·C,C)＝，P(X＝2)＝·C,C)＝，P(X＝3)＝,C)＝.X的概率分布为X 012 3P 120920920120所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，即X的数学期望为.[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负．(2)X的取值为0，1，2.[精解详析] (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(1·B3)＝P(1)P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：X x x－aP 1－p p由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的均值为E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，由题意可知x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.即投保人交(0.1＋p)a元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a.6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X的概率分布及均值．解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件D.由题意知，P(B)＝P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＝P(BC)＋P(BD)＋P(CD)＝P(B)P(C)P()＋P(B)P()P(D)＋P()P(C)P(D)＝××＋××＋××＝.(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝P()＝××＝，P(X＝1)＝P(B)＋P(C)＝××＋××＝.P(X＝2)＝P(BC)＋P(D)＝××＋××＝，P(X＝3)＝P(BD)＋P(CD)＝××＋××＝，P(X＝4)＝P(BCD)＝××＝.故X的概率分布是X 01234P 1481811481438所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝..1．求随机变量X的均值，关键是正确求出X的分布列，在求X取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX ＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．课下能力提升(十五)一、填空题1．已知随机变量X的概率分布为X －2－101 2P 141315m120则E(X)＝________．解析：由随机变量分布列的性质得，＋＋＋m＋＝1，解得m＝，于是，X的概率分布为X －2－101 2P 14131516120所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.答案：－17302．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝________．解析：∵X～B(n，0.6)，E(X)＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.∴P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.答案：0.076 83．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X＝则X的均值为________．解析：依题意X服从两点分布，其概率分布为X 10P 0.70.3所以X的均值是E(X)＝0.7.答案：0.74．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设取得次品数为X(X＝0，1，2)，则P(X＝0)＝C,C)＝，P(X＝1)＝C,C)＝，P(X＝2)＝,C)＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.答案：355. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________．解析：X的取值为0，1，2，3且P (X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.答案：65二、解答题6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？解：设这次射击比赛中战士甲得X分，战士乙得Y分，则它们的概率分布如下：X 123P 0.40.10.5Y 123P 0.10.60.3根据均值公式，得E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(Y)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.∵E(Y)＞E(X)，∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．7．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值．解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P(X＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×0.4×0.6＝0.3，P(X＝2)＝C×0.52×0.62＋CC×0.52×0.4×0.6＋C×0.52×0.42＝0.37，P(X＝3)＝C×0.52×0.4×0.6＋CC×0.52×0.42＝0.2，P(X＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到X的概率分布列为X 01234P 0.090.30.370.20.04所以E(X)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意P(A)＝，设在x m处击中目标的概率为P(x)，则P(x)＝，且＝，∴k＝5 000，即P(x)＝，∴P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝××＝.由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P＝P(A)＋P(·B)＋P(··C)＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(C)＝＋·＋··＝.(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X＝3)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝1)＝××＝，P(X＝0)＝.所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝.第2课时离散型随机变量的方差和标准差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P 0.70.20.060.04B机床次品数X20123P 0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值说明了什么？提示：E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差①定义：设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布为X x1x2…x nP p1p2…p n则(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)称为离散型随机变量X 的方差，也称为X的概率分布的方差，记为V(X)或σ2．②变形公式：V(X)＝pi－μ2．③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．(2)离散型随机变量的标准差X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝．2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若X～0－1分布，则V(X)＝p(1－p)；(2)若X～H(n，M，N)，则V(X)＝；(3)若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V(X)越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[例1] 已知随机变量X的概率分布为X 01xP 1213p若E(X)＝，求V(X)．[思路点拨] 解答本题可先根据i＝1求出p值，然后借助E(X)＝，求出x的取值，最后代入公式求方差．[精解详析] 由＋＋p＝1，得p＝.又E(X)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2.∴V(X)＝×＋×＋×＝.[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．1．已知X的概率分布为X 1234P 0.30.20.20.3则V(X)＝________．解析：∵E(X)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.∴V(X)＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45.答案：1.452．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为，∴X～B，∴V(X)＝3××＝.答案：916[例2] 某投资公司在20xx年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断．[精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的概率分布为X1300－150P 7929∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的概率分布为X2500－3000P 3513115∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？解：用X表示10局中甲赢的局数，则X～B (10，0.51)，故E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y表示10局中乙赢的局数，则Y～B(10，0.49)．故E(Y)＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又V(X)＝10×0.51×0.49＝2.499，V(Y)＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术的稳定性一样.[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．[思路点拨] →→→求E（X），V（X）[精解详析] X可能取的值为1，2，3，4，5. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，P(X＝4)＝×××＝，P(X＝5)＝××××1＝.∴X的概率分布为X 12345P 0.20.20.20.20.2由定义知，E(X)＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，V(X)＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] 求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布；(4)由均值的定义求E(X)；(5)由方差的定义求V(X)．4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y的均值和方差．”解：由题意知Y～B，∴E(Y)＝5×＝1，V(Y)＝5××＝.5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，P(A＋B)＝1－P( )＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92，∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92.则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.6×0.8＝0.48.X的概率分布为X 012P 0.080.440.48E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，V(X)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4.1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．2．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．课下能力提升(十六)一、填空题1．已知X的概率分布为X 123P a 0.10.6则V(X)＝________．解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.答案：0.812．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则V(X)的值为________．解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B，故V(X)＝np·(1－p)＝4××＝.答案：343．已知X～B(n，p)，且E(X)＝7，V(X)＝6，则p＝________.解析：∵E(X)＝np＝7，V(X)＝np(1－p)＝6，∴1－p＝，即p＝.答案：174．已知随机变量X的概率分布为21 / 21。
2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2二、预习指导 1．预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法．(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第86－87页的例1－例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合课本第88－90页的例4和例5，体会用“归纳－猜想－证明”的方法处理问题．(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习． 3．典型例题(1) 数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)．数学归纳法证明命题的步骤是： ① 递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；② 递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；(归纳假设)证明当n =k ＋1时结论也正确．(归纳证明)由①，②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确． 例1 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++过程中， ① 当n=1时，左边有_____项，右边有_____项； ② 当n=k 时，左边有_____项，右边有_____项； ③ 当n=k ＋1时，左边有_____项，右边有_____项； ④ 等式的左右两边，由n=k 到n=k ＋1时有什么不同?分析：证明时注意：n 取第一个值n 0是什么；从n=k 到n=k ＋1时关注项的变化． 解：①当n=1时，左边有2_项，右边有__1__项；②当n=k 时，左边有_2k_项，右边有__k_项；③当n=k ＋1时，左边有_2(k ＋1)_项，右边有_k ＋1_项；④等式的左边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：112(1)12(1)k k -+-+；等式的右边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：121k ++12(1)k +，少了一项：11k +．(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题． 例2 用数学归纳法证明21111222n ++⋅⋅⋅+< (n∈N *) 分析：用数学归纳法证明问题时，①注意从“n=k 到n=k ＋1”时项的变化；②配凑递推假设；③检验是否用了归纳假设． 证明：① 当n=1时，112<，结论成立； ② 假设当n=k 时结论成立，即21111222k ++⋅⋅⋅+<则当n=k ＋1时，21211111111111()1122222222222k k k +++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+<+⨯= ∴当n =k ＋1时结论成立由①，②可知，不等式对于从1开始的所有正整数n 都成立．例3 已知f (n )=(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N 都能使m 整除f (n )，求m 的最大值．分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k ＋1)与f(k)的递推关系，是解题的关键．解：∵f (1)=36，f (2)=108=3×36，f (3)=360=10×36∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明 ① n =1，2时，由上得证；② 假设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n =k ＋1时，f (k ＋1)=(2k ＋9)·3k ＋1＋9=(6k ＋27)·3k ＋9=(2k ＋7)·3k＋9＋(4k ＋20)·3k= f (k )＋36(k ＋5)·3k －2k ≥2) ∴f (k ＋1)能被36整除； 由①、②知f (n )能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求m 的最大值等于36． 例4 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分． 分析：注意从n=k 到n=k ＋1时的变化．解：① 当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n 2－n ＋2=2，结论成立；② 假设当n=k 时结论成立，即平面内k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n=k ＋1时，第k ＋1个圆与前面k 个圆都相交，第k ＋1个圆被前面k 个圆分成2k 段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k 个部分，所以平面内k＋1个圆把平面分成(k 2－k ＋2)＋2k= k 2＋k ＋2=(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，即当n=k ＋1时结论成立；由①、②可知，平面内n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳→猜想→证明，而证明往往会用数学归纳法．猜归法是发现与论证的完美结合． 例5 ① 是否存在常数,,a b c ，使得2223212n an bn cn +++=++对一切正整数n 都成立?并证明你的结论；② 是否存在a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=12)1(+n n (an 2＋bn ＋c ) 对于一切正整数n 都成立?证明你的结论；③ 已知*1111,23n a n N n=++++∈，是否存在关于n 的整式()g n ，使得等式121()(1)n n a a a g n a -+++=-对于大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论．分析：根据已知条件“对一切正整数n 都成立”，我们可以先通过前几个数，如n =1，2，3的情形，进行归纳猜想，然后用数学归纳法证明结论．解：① 假设存在常数,,a b c 使等式成立，令1,2,3n =得：2221128421232793a b c a b c a b c =++⎧⎪+=++⎨⎪++=++⎩解之得131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；下面用数学归纳法证明：222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．证明：01 当1n =时，左边1=，右边(11)(21)16++==，即原式成立； 02 假设当n k =时，原式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=则当1n k =+时，222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++ 22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k k k k k k k k k k +++++++==+++=即当1n k =+时原式成立，由01、02知222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．综上所述，当131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，题设对一切自然数n 均成立；② 假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立，令n =1，2，3，则有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是，对n =1，2，3下面等式成立 1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)201 n=1时，等式已证，成立；02 假设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) 则：S k ＋1=S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2=(1)12k k +(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)2)(1(++k k (3k 2＋5k ＋12k ＋24)=12)2)(1(++k k (3k 2＋17＋24)= 12)2)(1(++k k ［3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10］即对n =k ＋1等式也成立．由01、02知，1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 对一切正整数n都成立．综上所述，当a =3，b =11，c =10时，题设对一切自然数n 均成立；③ 假设()g n 存在，令2n =，求得(2)2g =，令3n =，求得(3)3g =，令4n =，求得(4)4g =， 由此猜想：()g n n =，下面用数学归纳法证明：121(1)n n a a a n a -+++=-对一切大于1的正整数n 都成立．(略)例6 （Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.解：（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是 在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a a b b a a ≤⋅+-， 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++=，则12121122nb b b n n n a a a a b a b a b ≤+++. ③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立. （2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++=，则12121122kb b b k k k a a a a b a b a b ≤+++.当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +为非负实数，121,,,,k k b b b b +为正有理数，且1211k k b b b b +++++=，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+.因121111111kk k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111kk k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k k k a b a b a b b ++++=-，从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++，从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.故当1n k =+时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.4．自我检测(1)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )第一步应验证______． (2)用数学归纳法证明()111112312nn n N n ++++<∈>-且时，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是_____ ．(3)设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥ 成立时，总可推出 (1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是_____ ．①若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；②若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立；③若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立； ④若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． (4)观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…，则可归纳出____．三、课后巩固练习A 组1．用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n ．2．用数学归纳法证明：()()()()()1221321,n n n n n n n N *+++=⋅⋅⋅⋅-∈．3．设f (n )=1＋11123n++⋅⋅⋅+， 求证：n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)=nf (n ) (n ∈N，n ≥2) ．B 组 4．若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n ． 5．用数学归纳法证明2*2(4,)nn n n N ≥≥∈．6．用数学归纳法证明*221(,3)n n n N n >+∈≥． 7．用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N，n ≥2)． 8．用数学归纳法证明：*(31)71()n n n N +-∈能被9整除． 9．求证：121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(n ∈N *)．10．是否存在常数c b a ,,使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+-+⋅⋅⋅+-=++ 对一切正整数n 都成立?证明你的结论．11． 是否存在常数a ，b ，c ，使等式23333123()()()()n an bn c n n n n n++++++=…对一切n N *∈都成立?并证明你的结论． 12．已知数列1111......1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+，，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明．13．已知数列{}n a 满足条件,,6),1)(1()1(21n a b a a n a n n n n n +==-+=-+令试猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明．14． 数列{a n }中，1n n a a +>，a 1=1，且211()2()10n n n n a a a a ++--++= (1)求234,,a a a 的值；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想．C 组15 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145， (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 16． 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．(Ⅰ)求x n ＋1与x n 的关系式；(Ⅱ)猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)17．一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数．试问： (1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数?(2)从A 口输入100时，从B 口得到什么数?并说明理由．18．某国采用养老储备金制度：公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，，以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(Ⅰ)写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；(Ⅱ)求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．注意数学归纳法的两个步骤缺一不可．实际问题五、拓展视野已知函数()sin f x x x =-，数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明：(Ⅰ)101n n a a +<<<；(Ⅱ)3116n n a a +<． 分析: 可以考虑用数学归纳法证明(I)．解: (I)先用数学归纳法证明 ,3,2,1,10=<<n a n(i)当n=1时，由已知条件知结论成立；(ii)假设当n=k 时结论成立，即10<<k a ， ∵10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ∴)(x f 在(0，1)上是增函数，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a ， ∴当n=k ＋1时，结论成立．由(i)、(ii)可知，10<<n a 对一切正整数都成立．又∵10<<n a 时，0sin sin 1<-=--=-+n n n n n n a a a a a a ， ∴n n a a <+1，综上所述，101<<<+n n a a ；(II)设函数10,61sin )(3<<+-=x x x x x g ， 由(I)可知，当10<<x 时，x x <sin ，∴02)2(222sin 221cos )(22222=+->+-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在(0，1)上是增函数． 又0)0(=g ，∴当10<<x 时，)(x g >0成立，∴0)(>n a g ，即061sin 3>+-n n n a a a ，∴3161n n a a <+．2.3 数学归纳法1．n =3 2．12k +3．④ 提示：当(4)25f ≥时，(4)f 2≥4，从而(5)f 2≥5，，2()f k k ≥（4k ≥）成立 4．112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *)1-3 略4. 证明 (1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时不等式成立，即2413212111>+++++k k k 111111,23221221111111123221221131111311242122124212213113242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++=++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时即n =k+1时不等式成立， 故不等式2413212111>+++++n n n 对于大于1的自然数n 都成立。
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第一课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38][例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行． [精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i. (3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i.(3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!. [精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a2＋b2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z＝2＋i.答案：2＋i9．已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b z＝(a＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i，∴az＋2b z＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2b z＝(a＋2z)2，得错误!两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1 或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋b i看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ；(2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－z)i＝2，∴z－z＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。