河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期末质量检测理科数学试题 word

洛阳市2017—2018学年高二质量检测数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ）A ．如果22x a b <+，那么2x ab < B ．如果2x ab ≥，那么22x a b ≥- C ．如果2x ab <，那么22x a b <+ D ．如果22x a b ≥-，那么2x ab <2.已知复数z 满足34122ii i z+=+，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ） A ．2i B ．1i + C ．2i- D ．1i --3.若a ，b 为正实数，且1a ≠，1b ≠，则“1a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（ ） A ．33 B ．36 C ．40 D ．485.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3214S a a =+，且12345243a a a a a =，则5a 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-9 D ．96.牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）A ．115 B ．23 C ．35 D ．457.函数11()()cos f x x x x =+(,0)22x x ππ-<<≠的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 8.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数2(11,2)XN ，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=）（ ） A ．6 B ．7 C ．9 D ．109.已知球O 的内接长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，若四棱锥O ABCD -的体积为2，则当球O 的表面积最小时，球的半径为（ ）A ．22．2 C 2 D ．1 10.若直线1y x =+与曲线ln y a x =相切，且*(,1)()a n n n N ∈+∈，则n =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF t PQ =，当t 最小时，点P 恰好在以F ，Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ）A 21B ．322+C ．222D ．222 12.已知定义在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()ln 1f x x x =+，若1()()2g x f x x a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,13e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,132e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1211,1e e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1231,12e e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在(21)nx -的展开式中，各项系数的和是 ．14.设2lg ,0(),0bx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，若8((1))3f f =，则常数b = ． 15.若二项式6(tan )x ϕ+的展开式中，5x 的系数为1，则sin cos sin cos ϕϕϕϕ-+的值为 ．16.已知函数()ln 1mf x x x =+-在[,)e +∞上存在极值点，则实数m 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3()22Af =，4a =，5b c +=，求ABC ∆的面积.18.已知数列{}n a 满足11a =，1120n n n n a a a a +++-=，数列{}n b 满足12n n nb a =. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .19.为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为A 类学生，低于60分的称为B 类学生.（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A 类学生有关系？B 类A 类合计 男 110 女 50 合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中A 类学生的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考临界值：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AE CD ⊥，BF CD ⊥，1AB =，2AD =，60ADE ∠=，沿AE ，BF 折成三棱柱AED BFC -.（1）若M ，N 分别为AE ，BC 的中点，求证：//MN 平面CDEF ； （2）翻折后若5BD =E AC F --的余弦值. 21.已知1()ln 1f x x x =++，1()(0)g x x x x=+>. （1）求()f x 的极值；（2） 函数()()()h x f x ag x =-有两个极值点1x ，212()x x x <，若1()h x m <恒成立，求实数m 的取值范围.22.已知点(2,3)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，设A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点，下顶点，且点C 到直线AB 的距离为7. （1）求椭圆的方程；（2）设O 为坐标原点，11(,)M x y ，2212(,)()N x y x x ≠为椭圆上两点，且22121222a x xb y y OM ON a b +⋅=+，试问MON ∆的面积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.洛阳市2017—2018学年高二质量检测数学试卷参考答案（理）一、选择题1-5: CAABD 6-10: CACBC 11、12：DD二、填空题13. 1 14. 2 15. 57-16. 1(2,)e e+-+∞ 三、解答题17.解：（1）由题意知，2()sin cos f x x x x =+1cos 2)sin 22x x =-+1sin 222x x =sin(2)3x π=-+. ∵sin(2)[1,1]3x π-∈-，∴()sin(2)3f x x π=-[1∈-+. （2）∵()sin()2322Af A π=-+=， ∴sin()03A π-=，∵(0,)A π∈，2(,)333A πππ-∈-，∴03A π-=，解得3A π=.∵4a =，5b c +=，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 可得22216()3253b c bc b c bc bc =+-=+-=-，解得3bc =，∴11sin 322ABC S bc A ∆==⨯=. 18.解：（1）因为1120n n n n a a a a +++-=， 即112n n n n a a a a ++-=，∴112n na a +1-=， 由等差数列的定义可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2d =的等差数列.∴112(1)21nn n a =+-=-. （2）由（1）知212n nn b -=， 所以21321222n nn S -=++⋅⋅⋅+，两边同时乘以12得，231113212222n n n S +-=++⋅⋅⋅+，两式相减得23111111212()222222n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+-，即1111(1)1121422122212n n n n S -+--=+⨯--113121222n n n -+-=--，所以2332n nn S +=-. 19.解：（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80之间的学生人数为0.01252020050⨯⨯=，在[]80,100之间的学生人数为0.00752020030⨯⨯=，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为：又2K 的观测值为2200(80503040)1208011090K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.498 6.635≈>，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与A 类学生有关. （2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该学生为“A 类”的概率为8022005p ==. 依题意知2(3,)5X B ，所以3322()()(1)55iii P X i C -==-(0,1,2,3)i =，所以X 的分布列为所以期望()5E X np ==，方差()(1)25D X np p =-=.20.解：（1）取AD 的中点G ，连接GM ，GN ，在三角形ADE 中， ∵M ，G 分别为AE ，AD 的中点，∴//MG DE ，∵DE ⊂平面CDEF ，MG ⊄平面CDEF ，∴//MG 平面CDEF . 由于G ，N 分别为AD ，BC 的中点，由棱柱的性质可得//GN DC ， ∵CD ⊂平面CDEF ，GN ⊄平面CDEF ，∴//GN 平面CDEF . 又GM ⊂平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，MGNG G =，∴平面//GMN 平面CDEF ，∵MN ⊂平面GMN ， ∴//MN 平面CDEF .（2）连接EB ，在Rt ABE ∆中，1AB =，AE =∴2BE =，又1DE =，DB =∴222EB ED DB +=，∴ED EB ⊥，又DE AE ⊥且AE EB E =，∴DE ⊥平面ABFE .建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)E，A ，(0,1,0)F ，(0,1,1)C ，(AC =-，(AE =-，(0,0,1)FC =.设平面AFC 的法向量为(,,)m x y z =，则300m AC y z m FC z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，则0z =，令1x =， 得y =(1,3,0)m =为平面AFC 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为111(,,)n x y z =，则11113030n AE n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则10x =，令11y =，得11z =-， ∴(0,1,1)n =-为平面ACE 的一个法向量.设m ，n 所成角为θ，则3cos 22m n m nθ⋅===⋅， 由图可知二面角E AC F --的余弦值为421.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22111'()x f x x x x-=-=， 令'()0f x =，得1x =，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，且极小值(1)2f =，无极大值. （2）()()()h x f x ag x =-1ln 1ax ax x x=++--，其定义域为(0,)+∞， 则2211'()a h x a x x x=--+2221(1)(1)ax x a x ax a x x -++--+-==-， 当0a =时，'()0h x =仅有一解1x =，不合题意. 当0a ≠时，令'()0h x =得1x =或1ax a-=. 由题意得，10a a ->，且11a a -≠，所以11(0,)(,1)22a ∈， 此时()h x 的两个极值点分别为1x =，1ax a-=.当1(0,)2a ∈时，11a a ->，所以11x =，21ax a-=， 1()(1)22h x h a ==-，而22(1,2)a -∈，又1()h x m <恒成立，则2m ≥.当1(,1)2a ∈时，11a a -<，所以11ax a-=，21x =， 111()()ln 2a ah x h a a a--==+.设1()ln2a a a aϕ-=+，则2221'()(1)a a a a a ϕ-+-=-2112()220(1)a a a -+=-<-， 所以()a ϕ在1(,1)2上为减函数，1()()12a ϕϕ<=， 所以1()1h x <，又1()h x m <恒成立，则1m ≥.综上所述，实数m 的取值范围为[2,)+∞. 22.解：（1）由题意得，直线AB 的方程为1x ya b+=-，(0,)C b -，∴点C 到直线AB 的距离d ==，20b -=. 又点(2,3)在椭圆上，∴22491a b +=，联立解得4a =，b =所以椭圆的方程为2211612x y +=. （2）由12x x ≠知直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为(0)y kx m m =+≠，代入2211612x y +=，并整理得222(34)84480k x kmx m +++-=. ∵22226416(34)(12)k m k m ∆=-+-2248(1216)0k m =+->， ∴2212160k m +->，∴122834kmx x k+=-+，21224(12)34m x x k -=+， ∴1212()()y y kx m kx m =++222212122348()34m k k x x km x x m k -=+++=+.又1212OM ON x x y y ⋅=+，∴221212121222a x xb y y x x y y a b ++=+121216121612x x y y +=+， 整理得2268m k =+（满足0∆>），∵12MN x x =-===.又点O到直线MN的距离d=，∴12MONS MN d∆=⨯⨯12m=⨯=∴MON∆的面积为定值。