第15章小结与复习导学案
八年级数学华师大版上册学案：第15章小结与复习-精选学习文档
第15章小结与复习【学习目标】1．让学生了解调查问题的方法过程，会收集相关数据，并进行初步整理；2．让学生学会制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图，并能从图表中获取信息；3．结合各种统计图，让学生学会从中获取正确的信息，并会作出合理的解释、推断和计算，发展学生的统计观念．【学习重点】制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图，并能从图表中获取信息．【学习难点】制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．行为提示：教会学生看书，自学互研时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：频率＝频数÷数据总数，各组频数之和等于数据总数．情景导入生成问题1．知识结构我能建2．知识梳理我能行一、收集数据的过程：第一步：明确调查问题；第二步：确定调查对象；第三步：选择调查方法；第四步：展开调查；第五步：记录结果；第六步：得出结论．频数与频率在统计调查中，每个对象出现的次数叫做频数，每个对象出现的次数与总次数的百分比叫做频率，所有对象的频率之和为1．数据的表示(1)数据的表示常用的统计图有扇形统计图、条形统计图、折线统计图；(2)扇形统计图反映出各部分数量的百分比；条形统计图直观地反映出数据的数量特征；折线统计图直观地反映出数量的变化趋势．自学互研生成能力知识模块一频数与频率典例1：已知30个数据被分成4个小组，各小组数据频数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频数分别是12和9，第四小组的频率是0.1．知识模块二扇形统计图典例2：某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2019年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：类别 A B C D频数30 40 24 b频率 a 0.4 0.24 0.06(1)表中的a＝0.3，b＝6；(2)根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数．解：(1)问卷调查的总人数是：40÷0.4＝100(名)，∴a＝30100＝0.3，b＝100×0.06＝6(名)；(2)类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4＝144°.注意：利用扇形统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究已知数据和统计图，才能做出正确的判断和解决问题．知识链接：圆心角度数＝360°×该部分所占的百分比．做这一类题的方法是：本题是统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，条形统计图能清楚地表示出某个项目的数据．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.知识模块三从统计图中获取信息典例3：在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，一共调查了200名同学；(2)条形统计图中，m＝40，n＝60；(3)在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是72°；(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据调查结果，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？解：(1)70÷35%＝200(人)；(2)n＝200×30%＝60(人)，m＝200－(70＋60＋30)＝40(人)；(3)40200×360°＝72°；(4)艺术类读物所占百分数为：错误!×100%＝20%，6000×(1－35%－30%－20%)＝900(册)，∴学校购买其他类读物900册比较合理．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一频数与频率知识模块二扇形统计图知识模块三从统计图中获取信息检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
新人教版初中数学八年级上册《第十五章分式：小结》优质课导学案_0
一、教学目标（知识、能力、教育）：1.使学生进一步掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的 根。
2.能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．二、教学重点： 解分式方程的基本思想和方法。
三、教学难点： 解决分式方程有关的实际问题。
四、教学媒体： PPT五、教学过程（一）、知识梳理：1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是： （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根； ⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式 方程必须验根。
验根的方法是将所求的 根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解 题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
（二）、基础过关练一练：1、 (2016义乌)解分式方程：2、(2016无锡)分式方程 的解是________． 2411x x x +=--431x x =-253520x x =-3. (2016凉山州)关于x 的方程321x x -+＝2＋1m x +无解，则m 的值为 ( ) A. －5 B. －8 C. －2 D. 54.若关于x 的分式方程+1x a x -＝a 无解，则a 的值为________．(三)、满分冲关闯一闯5. (2016江淮名校联考)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，依题意列方程正确的是( )A BC D6、(2009安徽4题4分)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是 ( )A. 8B. 7C. 6D. 57、(2013安徽20题10分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍,已知一副羽毛球拍比一幅乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多,多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元,请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样,求x.（四）、教学小结：（五）、布置作业 ：精炼版P11—12页六、教学反思： 253520x x=+253520x x =-253520x x =+。
新人教版八年级数学上册：15单元小结与复习导学案
学习
目标
1、加深认识本单元基础知识，并整理归纳出知识框架便于整体把握；
2乘、除、乘方等计算；能解可化为一元一次方程的分式方程；能列分式方程解决实际问题；
3、及时发现存在的问题，查漏补缺，体验学习的成败。
（一）、复习巩固
1、基础练习
详见课本158页复习题1、2（2）（4）(6)、3（2）（4）（6）（8）；
2、综合运用练习
详见课本158页---159页复习题6、8题
（二）合作练习
课本159页11题、
三、我的疑惑：
回顾本节课所学内容，你觉得还有什么疑惑说出来，当堂大家帮解决了。
导入（谈话导入）
学完每一个单元都应该进行单元小结与复习。本节课我们就来进行本单元的小 结与复习课。
复 习基础回顾
1、引导学生回顾认识本单元基础知识及其关系。
2、对本单元重点知识再认识与理解。采取抽查提问，发现问题给予校 正。
运用提升
一、例题解析
1、引导学生先独立思考完成解答，然后点评校正；
2、在教师的点拨和提示下学生试着完成，再点评校正；
二、合作练习
指导学生分组完成，然后通过发言交流达成全部解决。
（2）分式怎样约分和通分？依据是什么？
（3）n是正整数时，a-n(a≠0)表示什么意义？整数指数幂有哪些运算性质？
（4）怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
（5）方程是一种刻画实际问题中数量关系的数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
二、运用提升
课后作业
课本158--159页 4、10题（全做）
教学
反思
重点：分式的计算、分式方程的解法及其应用题的解法；
八年级数学上册 第15章 数据的收集与表示复习与小结导学案华东师大版
第15章 数据的收集与表示 年级八 学科 数学 课型 新授 授课人 学习内容 复习与小结学习目标 1、掌握勾股定理以及变式的简单应用，理解定理的一般探究方法．2、经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思想.学习重点 1、勾股定理的简单计算。
2、勾股定理的灵活运用。
学习难点 1、勾股定理的简单计算。
2、勾股定理的灵活运用。
导 学 过 程 复备栏一、知识回顾：1、结构2、要点勾股定理：在直角三角形中，两直角边的 等于斜边的 。
即如果直角三角形的两直角边长分别为a, b, 斜边为c ，则有 。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系式 ，那么这个三角形是 。
直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法勾股数：在三个正整数中，如果一个数的平方等于另两个数的平方和，那么这样的一组数就为勾股数。
注意：（1）常用的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25等。
（2）如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc 也是一组勾股数，其中n 为正整数。
二．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想。
例1、已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a =6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c= ．例2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边A C 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD的长吗？【巩固训练】：选择题：1、已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C ，则它的三条边之比为（ ）．A ．1：1：1B ．1：1 ：2C ．1： 2：3D ．1：4：12、已知直角三角形一个锐角60°，一直角边长为2，那么此直角三角形的周长是（ ）．A ．4+ 3B ．6+23C ．2+23D ．6+23、2+233、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．A ．6，7，8B ．5，6，7C ．4，5，6D ．3，4，54、下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两C B AD E个角相等5.若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）．A ．1 cm 2B 2 cm 2C ．3cm 2D ．4cm 26 ．在Rt △ABC 中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c 的长为（ ）．A ．9B 、10C 、11D ．107．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cmD ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm填空：1、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．2．一座桥横跨一江，桥长12m ，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m ，则小船实际行驶＿＿＿m ．3．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿＿．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，中线BE ＝13，另一条中线AD2＝331，则AB ＝＿＿＿．。
人教版八年级上册数学教案：第十五章分式复习与小结
3．分式的运算法则：
（1）乘法法则
（2）除法法则
（3）分式的乘方
（4）加减法则
4．解分式方程的步骤
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P158 练习 1 ， 2 ， 3
小结：
本节课你有何收获？
课时教案
课题
复习与小结
第 1课时
总第73课时
教学目标
知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
过程与方法：掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
重点
分式加减乘除混合运算及分式方程
教具
三角尺
难点
列分式方程解决实际问题
学具
三角尺
教师活动
学生活动
前
置
性
学
习
教师抽查学生的前置性作业的完成情况批改，并向老师汇报作业中存在的问题。
小
组
合
作
学
习
1.下列代数式中： , ， 是分式的有______________
2．当x满足__________时，分式 有意义。当x=__________时，分式 的值为零，当x满足____________时，分式 值为正
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
第15章 小结与复习 教案 2(华东师大版八年级上)doc
课题小结与复习教学目标知识与技能目标1.了解本章基本内容和本章知识结构;2.会运用实验的方法来研究频率与机会。
过程与方法目标对于一些不确定事件，可运用实验的方法寻找频率值，当频率值逐渐稳定时，可用稳定的频率值估计机会的大小;当我们手边没有相应的实物作为工具进行实验，或用实物进行实验困难很大时，就必须借助替代物或用计算器产生随机数进行模拟实验，无论用哪种模拟实验替代，都必须不影响实验结果。
情感态度与价值观目标通过本章小结与复习，培养学生的综合，归纳和创新能力，鼓励学生合作交流，在合作交流的过程中体验学习数学的乐趣。
教学过程二、创设情景，导入新课我们已经学完了这一章，这节课我们来共同回忆和小结这章主要学了哪些内容。
二、师生互动，课堂研究㈠提出问题，引发讨论请同学们根据本章知识的发生、发展过程，共同讨论，将本章知识设计整理，并完成下面的结构图。
㈡导入知识，解释疑难1.实验中寻找规律是本章的基础，为了得到更可靠的估计值，可以依靠集体的力量，把大家的实验数据累加起来，这不失为一种好方法。
在有条件的情况下，可以用现代技术，比如用计算器帮我们模拟实验，用计算机帮我们绘制折线图。
2.用概率估计机会的大小，得到的只是近似值。
实验的次数越大，概率值就越趋近于稳定，概率之间的差距就越容易接近于0，对这个估计值的把握就越大。
3.模拟实验的方法各种各样，但不论你选择了哪种方法，都必须保证实验在相同的条件下进行，否则会使结果受影响。
4.通过本章运用实验的方法来研究频率与机会，培养了学生科学的学习态度，真实地记录实验数据，养成崇尚科学的良好品质。
5.例题讲解一个口袋有6个彩球，其中4个白的，2个黄的，从袋中取球2次，每次取1个，考虑两种情况：A.第一次取一球观察后放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做放回抽样;B.第一次取一球不放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做不放回抽样。
请你通过实验或者模拟实验，分别就上面A、B两种情况求：⑴取到的2个球都是白球的机会;⑵取到的2个球颜色相同的机会。
15章分式复习与小结 导学案
第十四课时 第15章分式复习与小结【学习目标】1．复习整理本章的知识结构，形成知识体系．解决生活中的实际问题． 2．掌握列分式方程解决实际问题的基本方法，深化数学思想的认识． 【学习重点】建立本章知识结构，准确、熟练、灵活地进行分式的四则运算． 一、知识结构：二、熟记知识点1、若A 、B 均为_____式, 且B 中含有_________. 则式子 分式 有意义的条件是 ，值为零的条件是 ，2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)___________ .分式的值________. 用式子表示:3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________4、分式乘分式， ， 用式子表示： 分式除以分式， ， 用式子表示：5、同分母的分式相加减， 用式子表示：异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，再加减。
用式子表示：6、当n 是正整数时，=-na，7、科学计数也可表示一些绝对值较小的数，将他们表示成 的形式，其中n 是 ， ≤a＜ 。
8、解分式方程的步骤：(1)___________________;(2)___________________(3)____________________.(4)三、知识应用1、当x ＝ 时，分式31－x 有意义． 2、一种病菌的直径为0.0000036m ，用科学记数法表示为 .3、某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b<a )．若只由男生完成，每人需植树15棵；若只由女生完成，每人需植树 棵．4、已知a 2－6a +9与|b －1|互为相反数,则(a b b a -)÷(a +b )=______。
5、若非零实数a ，b 满足4a 2+b 2=4ab ，则ab =_____。
6、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。
华师大版八年级数学上册教案：第15章 小结与复习
第15章小结与复习1．让学生了解调查问题的方法过程，会收集相关数据，并进行初步整理；2．能用简单的统计表、折线图、条形图、扇形图来表示你所收集到的数据，并能识别它们各自有的优点；3．通过对数据的学习掌握分类比较的思考方式，理解数据与图表之间的联系；4．通过实例试图让学生经过观察、归纳猜想的过程，发展学生的数、形结合的数学思想方法．制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图，并能从图表中获取信息．制作统计图表、条形统计图、折线统计图和扇形统计图．一、情境导入整体感知本章知识结构思维导图：二、自学互研回顾新知【自主探究】活动：基础知识梳理1．频数与频率在统计调查中，每个对象出现的次数叫做频数，每个对象出现的次数与总次数的百分比叫做频率，所有对象的频率之和为1.2．数据的表示(1)数据的表示常用的统计图有扇形统计图、条形统计图、折线统计图；(2)扇形统计图反映出各部分数量的百分比；条形统计图直观地反映出数据的数量特征；折线统计图直观地反映出数量的变化趋势．【师生活动】①明了学情：关注学生对本章各知识点的掌握情况；②差异指导：对学生遗忘的知识及时引导、点拨，帮助学生查漏补缺；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，相互查漏补缺．三、典例剖析再探新知【合作探究】例1：已知30个数据被分成4个小组，各小组数据频数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频数分别是__12__和__9__，第四小组的频率是__130__．例2：某校课外兴趣小组在本校学生中开展”感动中国2015年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：类别 A B C D频数30 40 24 b频率 a 0.4 0.24 0.06(1)表中的a＝__0.3__，b＝__6__；(2)根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数．解：(1)问卷调查的总人数是：40÷0.4＝100(名)，∴a＝30100＝0.3，b＝100×0.06＝6(名)；(2)类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4＝144°.四、课堂小结回顾新知通过本节课的复习，你对本章知识又有了哪些新的认识？还存在哪些疑惑？请说出你的想法和同学们一起分享！五、检测反馈落实新知在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查中，一共调查了__200__名同学；(2)条形统计图中，m＝__40__，n＝__60__；(3)在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是__72°__；(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据调查结果，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？解：(1)70÷35%＝200(人)；(2)n＝200×30%＝60(人)，m＝200－(70＋60＋30)＝40(人)；(3)40200×360°＝72°；(4)艺术类读物所占百分数为：错误!×100%＝20%，6000×(1－35%－30%－20%)＝900(册)．购买其他类读物900册比较合理．六、课后作业巩固新知见学生用书．。
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第15分式小结与复习
【学习目标】：
了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。
学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。
学习难点 ：分式方程的应用。
学习过程 ：
一、知识点复习：
1. 分式的概念
（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式。
（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。
2. 分式有意义的条件：分
式的分母不能为 0，即A
B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。
3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 .
4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。
A A M B B M ⋅=⋅, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式）
5. 分式通分
（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;
（3）通分后的各分式的分母相同;
（4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.
6. 分式通分的步骤
（1）确定最简公分母
①取各分母系数的最小公倍数。
②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。
③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。
（2）将各分式化成相同分母的分式。
7. 分式的约分
（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。
（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。
8. 分子的变号规则
分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
用式子表示为：a a a b
b b -==--；a a a a b b b b ---=-==--
9. 分式的乘除法则
乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
a
c b
d ⋅= a
c
b d ÷=
10. 分式的乘方 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即n
a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=
11. 分式的加减
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
a b c c ±= a
c b
d ±=
()()---±---=
12. 分式的混合运算原则
（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。
（2）同级运算，按运算顺序进行。
（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。
（4）结果化为最简分式或整式。
13. 整数指数幂(m,n 为整数)
(1) m n a a ⋅= （2）()n m a = （3）()n
ab =
，（4）m n a a ÷=
（a ） （5）n
a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=
(6)零指数幂的性质： 0a = ( )，
负指数幂的性质：n a - = ( )
引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适
14. 分式方程
定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
整 式 方 程 ， 如 3x +3 = 4 x -2
分 式 方 程 , 如12
123x x =
+-
15.解分式方程方法
分式方程——————整式方程—————解出值——————得出方程的解
16. 列分式方程解应用题
(1)审——仔细审题，找出等量关系;
(2)设——合理设未知数;
(3)列——根据等量关系列出方程(组);
(4)解——解出方程(组);
(5)验答——检验写答案．
二、考点训练：
考点 1. 分式的概念和性质
例 1（1）已知分式1
1x x -+ 的值是零，那么 x 的值是（ ）A.-1 B.0 C.1 D.±１ （2）当 x________时，分式1
1x - 没有意义．
例 2 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A 、0.20.2a b a b ++=22a b a b ++
B 、11x x x y x y +--=--
C 、a b a b a b a b +-=-+
D 、12
12x y x y -
+ =22x y x y -+
考点 2：分式的化简与计算 ： 例 3 计算24111a a a a ++--的结果是________．
例 4 计算2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭
例 5 化简11x x x
x -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭ 考点 3：分式条件求值 ：
例 6 先化简，再求值：22333x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中 x =5 + 1
例 7 先化简代数式：
22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．
考点 4：可化为一元一次方程的分式方程 ：
例 8 解方程：2113
3x x x -=---
例 9 某市今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25％，小明家去年 12 月 份的水费是 18 元，而今年 5 月份的水费是 36 元．已知小明家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 6 立方米，求该市今年居民用水的价格．。