三角函数的诱导公式(二)

§1.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆
π2－α，π2
＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32
2．若sin(3π＋α)＝－12
，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32
3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.223
4．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭
⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 2
5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2
，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33
C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－23
二、填空题
7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．
9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________.
三、解答题
11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋3π2＝－tan α.
12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2
，求sin α与cos α的值．
能力提升
13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭
⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．
14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧
sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α
2．异名 符号
作业设计
1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12
.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12
.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13
.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，
∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32
m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32
， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3
，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)]
＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－23
.] 7．－13
解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13
. 8．1
解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.
9.892 解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12
＝892
. 10．2
解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1
＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦
⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭
⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α
＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．
12．解 sin ⎝⎛⎭
⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭
⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169
. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169
， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169
， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝1713
， ③ sin α－cos α＝713
， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513
. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦
⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α
＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭
⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③
又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22
， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4
. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32
，又β∈(0，π)， 所以β＝π6
，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32
，又β∈(0，π)， 所以β＝π6
，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6
满足条件．。