北师大数学必修2《1.4.2空间图形的公理》[寿老师]【市一等奖】优质课
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2018-2019学年北师大版必修二 1.4.2空间图形的公理 课件(32张)
图形语言：
公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判定直线或点是否在平面内；
⑵检验平面.
探究问题二 平时我们使用的相机支架为什么要做成 三条腿？
公理2：经过不在同一条直线上的三个点， 有且只有一个平面.
图形语言：
B A C
不共线的三点可以确定一个平面.
爵
练习一
判断下列各题的说法是否正确： （1）三点可以确定一个平面。 （2）直线和直线外的一个点确定一个平面。 （3）两条相交直线确定一个平面。 （4）圆心和圆上两点可以确定一个平面。 （5）两条平行直线确定一个平面。 （ （ （ （ （ ） ） ） ） ）
探究问题三
把三角板的一个角立在课桌面上，三角形所在的平 面与课桌所在的平面是否只相交于一点B ？为什么？
B
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言：
应用：判断两个平面是否相交及证明点在直线上。
练习二
判断下列各题的说法是否正确：
（1）两个平面相交，它们只有有限个公共点。 （2）如果两个平面有三个不共线的公共点，那 么这两个平面重合。
公理2
B
A
C
推论1 经过一条直线 和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
公理2
A
B C
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
公理2
A
B C
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
怎样用两根细线检验桌子的四条腿的底端是否共面？
怎样用两根细线来检 验桌子的四条腿的底 端是否共面？
（ ） （ ）
三
例题讲解
例1：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内。
2018-2019学年北师大版必修二第1章§4第2课时 空间图形的公理4及等角定理课件(47张)
π 当 θ＝ 2 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b
思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
[基础自测] 1．思考辨析 (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( ) )
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
图 1412
[解] (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， 1 ∴EH∥BD，EH＝2BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， 1 ∴FG∥BD，FG＝2BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
1．公理 4 (1)条件：两条直线平行于 同一条直线 ． (2)结论：这两条直线平行 ． a∥b ⇒ a∥c (3)符号表述： b∥c 2．等角定理 (1)条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行 ． (2)结论：这两个角相等或互补 ． .
3．空间两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点. 共面直线 平行直线：在同一平面内没有公共点.
(2) 由 (1) 知 EH∥BD ， 同 理 AC∥GH. 又 ∵ 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ， ∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.
[规律方法]
空间中证明两直线平行的方法：
(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、 用成比例线段证平行等． (2)利用公理 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行．
)
C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
高中数学 1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理)多媒体教学优质课件 北师大版必修2
直线的平面的个数为( )
A．1
B．3
C．6
D．0
【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显 然经过其中的两条直线(zhíxiàn)的平面有3个．
第二十一页，共23页。
1、空间直线的平行关系(guān xì)及相关定理.
2、异面直线(zhíxiàn)的定义及两条异面直线(zhíxiàn) 所成的角. 3、掌握求异面直线(zhíxiàn)所成的角的一般方法.
a
a
α
c bc
第九页，共23页。
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 ， AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置(wèi zhi)关系？为什么？
解: AB∥C1D1，AD1∥BC1 ， AA1 ∥ CC1，AC∥A1C1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
4.2 空间图形的公理(gōnglǐ)（公理 (gōnglǐ)4、定理）
第一页，共23页。
1、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能 力、几何直观(zhíguān)能力.通过典型例子的学习和自主探索活 动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映 出的辩证思维的价值观.
相交成60°
C C
A D
B
A B(D)
第十七页，共23页。
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出(zhǐ chū)下列各对线段所成
的角：
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1.
2）A1 B1与AC；
D1 A1
C1 B1
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 4.2空间图形的公理》
《空间图形的公理》教学设计一、教材分析（主要从两个方面）1、教材的地位与作用本节课是本章的重点，它不仅是《空间图形基本关系》的顺延，同时也对培养学生归纳能力、三种数学语言的转换能力和空间想象能力有重要的作用，另外它又为进一步研究空间线面、面面的平行和垂直等做好铺垫，具有承前启后的作用。
2．从学生的认知角度来看用文字语言描述的公理对学生来说不难理解，但三种语言的相互转化对部分学生来说就有一定的难度，公理的应用对学生来说比较困难，对逻辑思维能力有较高的要求。
二、目标分析（主要包括4个方面）1、学情目标本节课的授课对象是我校普通班的学生，因此本节课借助一些生活实例和长方体模型，让学生直观感知、实验和说理，得到四个公理，进而进行三种语言的相互转化，最终达到对公理的应用2、教学目标根据教材分析和学情目标，考虑到学生已有的认知心理特征，我制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：①通过一些生活实例和长方体模型，使学生了解空间图形的公理。
②让学生在探究的过程理解四个公理，并能将文字语言、符号语言和图形语言的相互转化（2）过程与方法：让学生体会从整体到局部，具体到抽象、抽象到具体的过程，培养学生类比归纳的能力（3）情感态度与价值观：使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，提高学生的观察能力3、教学重、难点结合前面的分析不难得到本节课的重难点为：重点：①空间图形公理的生成与理解②空间图形公理的应用重点突破:让学生通过一些生活实例和长方体模型理解四个公理，进而应用。
难点：空间图形公理的应用难点突破:通过多次感受接触，在充分发挥学生主体作用下，给予适当的提示和指导三、教学方法让学生感受空间几何体存在于现实生活周围，转变学生的数学学习方式，变被动学习为主动参与式学习，因此在教学过程中我采用了以引导探究为主的数学方法。
教学手段：利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学四、课堂结构：为了得到本节课的教学效果，我从复习回顾、巩固旧知创设情境，提出问题，师生互动，探究问题，例题讲解，形成技能，总结归纳，加深理解五个层次环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的五、教学过程1、复习回顾、巩固旧知（1）回顾平面的两个特征：①无限延展②平直的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）请叙述出空间点、线、面的位置关系（4）公理概念：就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的设计意图：复习平面的概念及其表示方法（符号语言、图形语言），和空间点、线、面位置关系及表示，为讲解四个公理作铺垫，承上启下。
1.4.2 空间图形的公理4及等角定理 课件(北师大必修2)
[通一类] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E，
F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，
C1D1的中点．
求证：(1)EF 綊 E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别 为AB，AD的中点， 所以EF 綊 BD.
同理，E1F1 綊 B1D1.
A．AB∥CD B．AB与CD是异面直线 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
(
)
[错解]
如图，∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD.故选A. [错因] 错解的原因在于，认为线段AB,BC,CD在同
一个平面内．
[正解]
构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝
∠BCD(如图(1))；
[研一题]
[例 1] 如图所示，在棱长为 a 的正
方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别为线
B1N BM 1 段 A1B， 1D1， 1B1 上的点， B A 若 ＝ ＝ ， B1D1 BA1 3
且 PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.
B 1N 1 [自主解答] ∵PN∥A1D1， ＝ ， B1D1 3 B 1P 1 得 ＝ ， B1A1 3 BM 1 又 ＝ ，∴PM∥BB1. BA1 3
而 BB1∥AA1， ∴PM∥AA1.
[悟一法] 空间中证明两直线平行的方法： ①借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、
平行四边形的性质，成比例线段平行．
②利用公理4，即证明两条直线都与第三条直 线平行．
[通一类] 1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将
平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，
北师版数学必修2课件：第1章 §4 第2课时 空间图形的公理4及等角定理
【导学号：39292020】
【精彩点拨】 理证明.
(1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定
(2)若四边形 EFGH 是矩形，则 EH⊥GH，从而推知 AC⊥BD.
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【自主解答】
(1)如题图，在△ABD 中，
∵EH 是△ABD 的中位线， 1 ∴EH∥BD，EH＝2BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， 1 ∴FG∥BD，FG＝2BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)由(1)知 EH∥BD， 同理 AC∥GH.又∵四边形 EFGH 是矩形， ∴EH⊥GH， ∴AC⊥BD.
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空间中证明两直线平行的方法： 1借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用 成比例线段证平行等. 2利用公理 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行.
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[再练一题] 1.已知在棱长为 a 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，M，N 分别为 CD，AD 的中 点.
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1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的： ①若一个角的两边与另一 个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个 角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向 相反，那么这两个角互补. 2.证明角相等，一般采用以下途径 (1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.
)
【解析】 若 c∥b，则 a∥b，与已知矛盾，因而 c 不与 b 平行. 【答案】 C
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Hale Waihona Puke 下一页教材整理 2 等角定理
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
学 方
＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB
当 堂
案
双
设 计
所成的角．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课
堂
互
图1－4－13
动
探 究
【思路探究】 如何找出异面直线所成的角？
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BS ·数学 必修2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
【自主解答】 如图所示，取BD的中点G，连接EG， 标
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BS ·数学 必修2
教
学
教 法
1．公理4
分
析
文字语言
教
学
方 案
平行于同一条直线的
设
计 两条直线平行
课
前
自
主
导 学
2.定理(等角定理)
图形语言
思
想
方
法
技
符号语言
巧
当
若a∥b，b∥c，
堂 双
基
则 a∥c
达 标
课 时 作 业
课 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个
互
动 的角．
探
究
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学
思
教
想
法
方
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②观察教室的门，用两个合页和一把锁就可以固定了，请说 明原因。
文字语言 公理1：经过不在同一条直线上的三
点,有且只有一个平面.
图形语言
B
A
C
公理作用 一、确定平面的依据
B
A C
l
b
α
C Aa
B
A
α
C
推论1 一条直线和直线外一点唯一确
定一个平面.
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.
推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
空间图形的公理
一．复习回顾、巩固旧知
1、平面的两个特征 ①无限延展 ②平直的（没有厚度）
2、平面的画法：常用平行四边形
3、请叙述出空间中点、线、面的位置关系 4、 公理概念：
就是经过人们长期观察与实践、不需要去证明的客观规律
二．创设情景、导入课题
探究问题一
①在门轴上找三点能否把门固定住？为什么？
a
图形语言
b
符号语言 公理作用
c
a // b, b // c a // c
证明平行关系的主要依据之一
13
，例1下列说法正确的是( C )
(A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 (C)梯形一定是平面图形 (D)两个平面有不在同一条直线 上的三个交点
练习
课本26页练习1，2，3，4.
课堂小结
点线面的关系
空间图形的 四个公理图形语言文字叙述 符号表示 作业：P28 1、2
文字语言 公理2: 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都
在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
一、判定线在面内 二一面是内、判，检定 只直 需验线 确在 定平平 直面面 线内 上的 两依 个据 点在，平即面要内判即定可直；线在平
二是检验平面的方法
8
直线的“直” 平面的“平”
桌面平 整吗？
探究问题三
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
探究问题三
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
文字语言 图形语言 符号语言 公理作用
公理3如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
作用：确定平面的依据
Ba
b
5
练习：
1、用四种方式解释在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABC1 的由来。
探究问题2:写字时如果把纸看作一个平面，把你的笔看
作是一条直线的话： (1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内 吗？ (3) 生活中还有没有类似结论的例子
P
且P
P
l
l且P l.
（1）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上.
判定点在线上的依据 12
探究问题4：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此结论是否成立？
公理4平行于同一条直线的两条直线
文平行字公语理言 平行.
文字语言 公理1：经过不在同一条直线上的三
点,有且只有一个平面.
图形语言
B
A
C
公理作用 一、确定平面的依据
B
A C
l
b
α
C Aa
B
A
α
C
推论1 一条直线和直线外一点唯一确
定一个平面.
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.
推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
空间图形的公理
一．复习回顾、巩固旧知
1、平面的两个特征 ①无限延展 ②平直的（没有厚度）
2、平面的画法：常用平行四边形
3、请叙述出空间中点、线、面的位置关系 4、 公理概念：
就是经过人们长期观察与实践、不需要去证明的客观规律
二．创设情景、导入课题
探究问题一
①在门轴上找三点能否把门固定住？为什么？
a
图形语言
b
符号语言 公理作用
c
a // b, b // c a // c
证明平行关系的主要依据之一
13
，例1下列说法正确的是( C )
(A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 (C)梯形一定是平面图形 (D)两个平面有不在同一条直线 上的三个交点
练习
课本26页练习1，2，3，4.
课堂小结
点线面的关系
空间图形的 四个公理图形语言文字叙述 符号表示 作业：P28 1、2
文字语言 公理2: 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都
在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言
A
B l
符号语言 公理作用
一、判定线在面内 二一面是内、判，检定 只直 需验线 确在 定平平 直面面 线内 上的 两依 个据 点在，平即面要内判即定可直；线在平
二是检验平面的方法
8
直线的“直” 平面的“平”
桌面平 整吗？
探究问题三
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
探究问题三
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
文字语言 图形语言 符号语言 公理作用
公理3如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
作用：确定平面的依据
Ba
b
5
练习：
1、用四种方式解释在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABC1 的由来。
探究问题2:写字时如果把纸看作一个平面，把你的笔看
作是一条直线的话： (1)你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？
(2)你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内 吗？ (3) 生活中还有没有类似结论的例子
P
且P
P
l
l且P l.
（1）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上.
判定点在线上的依据 12
探究问题4：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此结论是否成立？
公理4平行于同一条直线的两条直线
文平行字公语理言 平行.