2009高数A(下)(试卷A及答案)

海南大学2008-2009学年度第2学期试卷科目：《高等数学A 》（下）试题(A 卷)姓名： 学 号： 学院： 专业班级：阅卷教师： 200 9 年 月 日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。

一、填空题：（每题3分，共15分）在以下各小题中画有_______处填上答案。

1、设向量()()121112αβαβ--------------=-=⨯=，，，，，，则向量积； 2、曲线23,,(1,1,1)x t y t z t ===在点处的切线方程为_____________； 3,222,LY R +=⎰设L 为圆周X 则积分_______________；4、设log y z x = ，则22_______________zx∂=∂；5、将函数1()f x x=展开成()1x +的幂级数为_______________；二、选择题（每题3分，共15分 选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）（ B ）1、已知22xdx aydyx y -+是某函数的全微分，则a =(A) 1 ; (B) –1 ; (C) –2 ; (D) 2 。

（ A ）2、设曲面∑是下半球面z =()222xy z dxdy ∑++=⎰⎰(A) 4r π- ; (B) 44r π ; (C) 4r π ; (D) 42r π-. （ ）3、设()f x 为续函数, ()()()'1,2ttyF t dy f x dx F ==⎰⎰则(A) 2()2f ; (B) ()2f ; (C) 0 ; (D) -()2f . （ B ）4、 幂级数n nn x )21(0∑∞=的收敛半径是（ ）(A) 3 , (B) 2 , (C)21 , (D) 31 （ C ）5、交换积分次序011(,)x dx f x y dy -+=⎰11()(,)x A f x y dx +-⎰11()(,)x B dy f x y dx -+⎰11()(,)y C dy f x y dx -⎰⎰110()(,)y D dy f x y dx -⎰三 、计算题（每小题6分，共48分）1、设22y x e +=Z ，求d Z 。

2、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量(2,1,1)(1,1,0),a b ==-和求这平面方程.3、设22(,)x y t yf x y e dt +=⎰，求()()()''"1,2,1,21,2x y xy f f f 及和(,)df x y 。

4、计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2yx =及直线2y x =-所围成的闭区域.5、化二次积分()220aa ydy f x y dx +⎰⎰为极坐标下的二次积分6、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω为曲面22z x y =+与平面4z =围成的空间闭区域7、利用格林公式计算曲线积分()()sin 22cos 2100xx ley y dx e y dy -+-⎰，其中lA （1，0）到点B （-1，0）的一段弧。

8 、求幂级数2021!nn n x n ∞=+∑的收敛域与和函数()s x .四、证明题（每小题6分，共12分）1、设(),z xy xF u =+而,()yu F u x=为可导函数，验证 .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂2=(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

五、应用题：（10分）求底圆半经相等的两个直交圆拄面222222x y r x z r +=+=及所围几何体的体积及其表面积。

2009年《高等数学A 》(下)A 卷答案 一、填空题(每小题3分，共15分)1,（5，-3，-1）； 2, 111123x y z ---==； 3, 22R π; 4, 21ln x y -； 5, ()01,(2,0)n n x x ∞=-+∈-∑。

二、单项选择题(每小题3分，共15分)1， （B ）； 2，（A ）； 3，（B ）； 4，（B ）; 5, (C).三、计算题（每小题6分，共48分。

）1, 解 ： d ()()ydy xdx e y x d e y x y x 22222222+=+=Z ++……………….. (6分)2，解：设平面的法向量为n,则()2111,1,3110i j kn a b =⨯==--___________(2分)所求平面方程为()()()1010x y z -+--+=___________(4分)即 340x y z +--=___________(6分) 3、解：()()()222222''",2,,2,,4x y xy y xy x y xy f x y xef x y ye e f x y xye +++==-= （2分）因此，()()()'5'52"51,22,1,24,1,28x y xy f e f e e f e ==-= （4分）()()()2222,22xy xy y df x y xe dx ye e dy ++=+- （6分）4，解：求出交点（1，-1），（4，2）以及画图 （2分）2221y yDxyd dy xydx σ+-=⎰⎰⎰⎰ （4分）2222225111()|[(2)]22y y x y dy y y y dy +--==+-⎰⎰ =55.8（6分） 5．解：因为在极坐标下积分域表示为0,02cos 4r a πθθ≤≤≤≤ （3分）()42cos 20a d f r rdr πθθ⎰⎰（6分）6.解： 利用拄面坐标，得()22243rzdv d rdr zdz πθΩ→=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 分=()()240164216623rr dr ππ-=⎰分 7,解： 作辅助线()1:0,l y x =→从-11，则由格林公式，得原积分11ll l l +=-⎰⎰⎰=()()1sin 22cos 2100x xD l Q P dxdy e y y dx e y dy x y ⎛⎫∂∂---+- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ （3分） =0Ddxdy -⎰⎰， 其中22:1,0D x y y +≤≥ =2π（6分）8,解： 求得幂级数的收敛域是：(,)-∞+∞ （2分）221(21)()!!xn n xn n n x dxx s x dx n n +∞∞==+==⎰∑∑⎰（4分）220()()!nxx n x s x dx x xe n ∞===∑⎰222()2x x s x e x e =+ （6分）四、证明题（每小题6分，共12分） 1，证明：()()()''21,z y z y F u xF u x xF u x x y x ∂∂⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭（3分） 因此，().z z F Fxy xy xF u y xy y z xy x y u u∂∂∂∂+=+-++=+∂∂∂∂ （6分） 2, 证明：记(),,0F x y z ==n ⎛⎫=M 点的切平面方程为)))0000x x y y z z --+-=——————（3分） 化为截距式，得1z+= 于是，截距和为a a =——————————（6分）五、应用题（10分）由对称性知，所求体积V 为第一卦限体积1V 的8倍，即10888rDV V dx σ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰3283r ⨯3163r =————（5分）由对称性知，所求面积S 为第一卦限表面积()1212s s s +=的8倍，即1161616DDs s dA ===⎰⎰——————（7分）=201616rr =⎰——————-（10分）说明：1、试卷为A3幅面。

试卷用Word文档排版，纸型：A4纵向，上下左右页边距均为2厘米。

2、试卷为流水改卷，每位任课教师需在所改试题前签名；试卷全部为一位教师批改时，可以不用在每题前的得分栏签名。

3、每道大题如有特别说明，请在大题后注明如：四、计算题（共30分）（注意：答题时要列出详细运算步骤并计算出中间运算数值和最终计算结果。

）6、答题纸由开课单位桉格式样式统一印制，试卷与答题纸要要编号。

答题纸（学生在答题过程中一律不许将试卷、答题纸拆散，否则该门课程考试成绩以零分记）姓名学号专业答题纸（学生在答题过程中一律不许将试卷、答题纸拆散，否则该门课程考试成绩以零分记）姓名学号专业。