(新)高中数学北师大版选修11第三章变化的快慢与变化率word教案1
数学北师大版选修11 第三章1 变化的快慢与变化率 课件(29张)
方法归纳 求函数平均变化率的步骤： 第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)． 第三步，求平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）.
2.已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并比较函数在两区间上变化 的快慢． 解：自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（2）2－ －1f（1）＝2＋21－（1 1＋1）＝12；
1.在函数f(x)＝x2＋x的图像上取点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx， 2＋Δy)，则自变量和函数的改变量分别是 ____Δ_x____、___Δ_y____． 解析：Δx＝1＋Δx－1＝Δx， Δy＝2＋Δy－2＝Δy.
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1. (1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率; (2)比较两函数在区间[－3，－1]上函数值变化的快慢． [解] (1)当自变量 x∈[－3，－1]时,Δx＝(－1)－(－3)＝2. 对于函数 f(x)，其 Δy＝f(－1)－f(－3)＝6， ∴f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为ΔΔyx＝62＝3，
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)， 若记 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx 可正，可负，可为零( × ) (2)函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝f（x2）x2－ －xf（1 x1）＝ f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）( √ )
栏目 导引
4．(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0，是指时间间隔 Δt 越来 越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定 的常数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度．
版高中数学北师大版选修11教案：第三章节1变化的快慢以及变化率[001]正式版
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学习目标1.理解函数的均匀变化率和刹时变化率的观点.2.会求物体运动的均匀速度并估计刹时速度．知识点一函数的均匀变化率察看图形，回答以下问题：思虑1函数f(x)在区间[x1，x2]上均匀变化率的大小与曲线在区间上的峻峭程度有何关系？思虑2如何理解自变量的增量、函数值的增量？梳理均匀变化率(1)定义式：y＝________________.x本质：___________________________________________之比．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__________________________________________．y(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则均匀变化率x fx2－fx1表示割线P1P2的________．x2－x1知识点二刹时变化率思虑1物体的均匀速度可否精准反应物体的运动状态？思虑2如何描绘物体在某一时辰的运动状态？梳理要求物体在t0时辰的刹时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋t)内的均匀速度s＝________________，而后t趋于0，获得物体在t时辰的____________．t0种类一函数的均匀变化率命题角度1求函数的均匀变化率例1求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3周边的均匀变化率，取x都为1，哪一点周边的均匀变3化率最大？反省与感悟求均匀变化率的主要步骤y先计算函数值的改变量y＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量x＝x2－x1；fx2－fx1(3)得均匀变化率x＝x2－x1.追踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及周边一点B(－1＋x，－6＋y)，则yx＝________.(2)如下图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的均匀变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的均匀变化率为________．命题角度2均匀变化率的几何意义例2过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和的斜率为2，求x的值．Q(1＋x，y)作曲线的割线，已知割线PQ反省与感悟函数y＝f(x)从x1到x2的均匀变化率的本质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝y＝fx2－fx1.x x2－x1追踪训练2(1)甲，乙两人走过的行程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如下图，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的均匀速度v甲，v乙的关系是()A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确立x(2)过曲线 y ＝f(x)＝ 图像上一点(2，－2)及周边一点(2＋ x ，－2＋ y)作割线，则当 x时割线的斜率为________． 种类二求函数的刹时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为1 2，求 s ＝v 0t －gt2物体在时辰t 0处的刹时速度．反省与感悟 (1)求刹时速度的步骤①求位移改变量s ＝s(t 0＋t)－s(t 0)；②求均匀速度v ＝s；t③当t 趋于0s时，均匀速度t 趋于刹时速度．(2)求当 x 无穷趋近于 y的值0时x①在表达式中，可把x 作为一个数来参加运算；yx 无穷趋近于0就是令 x ＝0，求出结果即可．②求出 x 的表达式后， 追踪训练 3一质点M 按运动方程 s(t)＝at 2＋1 做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的刹时速度为 8m/s ，求常数a 的值．1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数()A．在x0处的变化率B．在区间[x0，x1]上的均匀变化率C．在x1处的变化率D．以上结论都不对2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的均匀速度是()A．B．2C．D．3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时辰的刹时速度为零，则相应的时辰为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝44．球的半径从1增添到2时，球的体积均匀膨胀率为________．2＋2在x0＝1,2,3周边x取1时的均匀变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，5．设函数f(x)＝3x2k2，k3的大小．1．均匀变化率反应函数在某个范围内变化的快慢；刹时变化率反应函数在某点处变化的快慢．2．能够使用迫近的思想理解刹时变化率，同时联合变化率的本质意义．答案精析问题导学知识点一思虑1 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的均匀变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上峻峭程度的“数目化”，曲线峻峭程度是均匀变化率的“视觉化”．均匀变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“峻峭”，反之亦然．思虑2 (1)自变量的增量：用 x表示，即x＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增添量”．(2)函数值的增量：用y表示，即y＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋x)－f(x1)，表示函数值在x1的“增添量”．(3)增量其实不必定都是正当，也能够是负值，函数值的增量还能够是0，比方常数函数，其函数值的增量就是0.梳理(1)fx2－fx1(2)函数值的改变量与自变量的改变量(3)快慢(4)斜率x2－x1知识点二思虑1不可以．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点而后回到起跳高度的过程中，均匀速度为0，而运动员向来处于运动状态．思虑2能够使用刹时速度精准描绘物体在某一时辰的运动状态．梳理st0＋t－st0刹时速度t题型研究例1解在x＝1周边的均匀变化率为k1＝f1＋x－f1＝1＋x2－1x x2＋x；在x＝2周边的均匀变化率为k2＝f2＋x－f2＝2＋x2－22x x4＋x；在x＝3周边的均匀变化率为k3＝f3＋x－f3＝3＋x2－32x x6＋x.当x＝1时，k1＝2＋1＝7，333k 2＝4＋1＝13，k 3＝6＋1＝19.3 3 3 3因为k 1<k 2<k 3，所以在 x ＝3周边的均匀变化率最大．13 追踪训练1 (1) x(2)24分析(1)y ＝f －1＋x －f －1xx2＝－1＋ x＋2－1＋ x －5－－6x.函数f(x)在区间[－1,1]上的均匀变化率为f1－f －12－1 1＝＝.1－－1 2 2由函数f(x)的图像知，x ＋3，－1≤x ≤1， x ＋1，1<x ≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的均匀变化率为3f2－f0＝3－2＝3.2－024例2解割线 PQ 的斜率即为函数 f(x)从1到1＋x 的均匀变化率yx .∵Δy ＝f(1＋ x)－f(1)(1＋x)2－(1＋x)－(12－1) x ＋(x)2， y∴割线PQ 的斜率k ＝x ＝1＋x. 又∵割线PQ 的斜率为 2，∴1＋ x ＝2，∴x ＝1. 追踪训练 2 (1)B(2)23分析(1)设直线 AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由均匀变化率的几何意义知，s 1(t)在[0，t 0]上的均匀变化率 v 甲＝k AC ，s 2(t)在[0，t 0]上的均匀变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲 <v 乙．(2)当x ＝时，2＋x ＝，故－2＋y ＝＝－5，1－3－ 5＋22故k PQ ＝－2＝3.1212例3解因为 s ＝v 0(t 0＋t)－2g(t 0＋t)－v 0t 0－ 2gt 0＝(v 0－gt 0) 1 2，t －g(t)2所以s ＝v 0－gt 0－1gt.t2s当t 趋于 0时，t 趋于v 0－gt 0，故物体在时辰 t 0处的刹时速度为v 0－gt 0.追踪训练3解 质点M 在t ＝2时的刹时速度即为函数在t ＝2处的刹时变化率．∵质点M 在t ＝2周边的均匀变化率s ＝s2＋t －s2tt＝a2＋t 2－4at＝4a ＋at ，当 t 趋于0 时，s趋于4a ，t4a ＝8，得a ＝2.当堂训练28π1．B 2.B 3.B 4.35．解函数在[x 0，x 0＋x]上的均匀变化率为 6x 0＋3x.当x 0＝1， x ＝12时，函数在[1,1.5]上的均匀变化率为k 1＝6×1＋3×＝； 当x 0＝2， x ＝12时，函数在[2,2.5]上的均匀变化率为k 2＝6×2＋3×＝；当x 0＝3，x ＝1时，函数在[3,3.5]上的均匀变化率为 2k 3＝6×3＋3×＝，所以k 1<k 2<k 3.学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化
变化的快慢与变化率学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时变化率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子 表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的。
习惯用 来表示，即： 。
（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0） [问题2] 我们把物体在某一时刻的速度称为________。
一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 。
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。
附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；②定义的变化形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000； ()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000； 0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
[问题4]求函数()f x 在0x 处导数三步法：①求函数的增量： 。
北师大版高中数学选修变换的快慢与变化率学案
第二章变化率与导数1.1变化的快慢与变化率（第一课时）一、学习目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求确定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.二、学习重点：从变化率的角度重新认识平均速度的意义，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化快慢的数量描述.三、学习难点：对平均变化率的数学意义的认识。
四、学法指导：通过具体问题，感受在现实世界和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率的实际意义。
五、知识链接：速度、平均速度、瞬时速度。
六、学习内容：一、微积分的发展简史：十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
1684年，德国的莱布尼茨他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，其中含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)ΔyΔx ＝f－1＋Δx －f －Δx＝－1＋Δx2＋－1＋Δx －5－－Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝a＋Δt 2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s－s 2.1－2＝3＋2×2.1－＋0.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f－f 2－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋a＋Δt ＋1－＋a ＋Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝1＋Δx2＋2－(112＋2)＝1＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 2＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx ＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴ΔyΔx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －t －－＝t 2－t －－2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝－＋Δx2＋＋Δx －－4＋Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ①29＋t －2 t②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt ＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修11
【自主解答】 设这辆车在 t＝2 附近的时间变化量为Δ t，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋ 2(Δt)2，
则ΔΔst＝8＋2Δt. 当Δt 趋于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8. 所以，这辆车在 t＝2 时的瞬时速度为 8 m/s.
函数的瞬时变化率
对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程
中，若设Δ x＝x1－x0，Δ y＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是Δ Δ
xy＝f（x1）x1－ －fx（0 x0）＝
.当Δ x 趋于 0 时，平均变化率就趋源自函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时
变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．
§1 变化的快慢与变化率
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能：了解实际问题中平均变化率的意义，理 解函数的平均变化率的概念与函数的瞬时变化率的概念． 2．过程与方法：通过大量实例分析理解平均变化率与瞬 时变化率． 3．情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会变 化率在实际问题中的作用，提高学习兴趣．
【解】 设这辆汽车在 t＝0 附近的时间变化量为Δt， 则位移的增量 Δ s＝[2(0＋Δt)2＋3]－(2×02＋3)＝2(Δt)2， 则ΔΔst＝2Δt. 当Δt 趋于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 0. 所以，这辆车在 t＝0 时的瞬时速度为 0.
1. 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量，Δ s＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度，v＝ΔΔst； (3)当Δt 趋于 0 时，平均速度ΔΔst趋于瞬时速度． 2. 在研究物体某一时刻的速度时，常用逼近思想，即 Δt 趋于 0 时，平均速度趋向于某一个常数．
高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修11
高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修11[对应学生用书P34]平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x (min) 0 10 20 30 40 50 60 y (℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h ，是否可能超速行驶？ 提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx为平均变化率，其中Δx 可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35]求平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝(x 0＋Δx )3－x 3＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3，∴函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为：Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2. 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0； (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0答案：C2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1 解析：Δs Δt ＝3＋2.12－3＋222.1－2＝4.1.答案：D3．求函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx . 即平均变化率为－8－2Δx .求瞬时变化率[例2] 以初速度00t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度． [思路点拨] 本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.[一点通]求函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率，可以先求函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 处的平均变化率，再求当Δx 趋于0时平均变化率的值，即为函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．1米/秒B ．－1米/秒C ．2米/秒D ．－2米/秒解析：由Δs Δt ＝[1－3＋Δt ]－1－3Δt ＝－ΔtΔt ＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f (x )＝x 2－3在x ＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2－3]－(12－3)＝(Δx )2＋2Δx －2＋2＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 2＋2ΔxΔx ＝Δx ＋2. 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于2.所以函数y ＝x 2－3在x ＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢． 2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx 趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．[对应课时跟踪训练十一]1．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ， ∴ΔyΔx＝Δx ＋2. 答案：C2．某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间段(3,3＋Δt )内的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：v －＝Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3Δt＝[3＋Δt2＋3]－32＋3Δt＝6＋Δt .答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 趋于0时，12＋18Δt 趋于12，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1， Δx ＝e 2－e ， ∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e6．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝12＋Δt2－14Δt＝－4＋Δt42＋Δt 2，当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝－14. 答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)的函数关系为h (t )＝－5t 2＋6t ＋10.(1)求该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度； (2)求该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度．解：(1)由h (t )＝－5t 2＋6t ＋10，得该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度： Δh Δt ＝h 3－h 13－1＝－14. 故该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度为－14 m/s ； (2)∵Δh Δt ＝h 1＋Δt －h 1Δt＝[－51＋Δt 2＋61＋Δt ＋10]－－5×12＋6×1＋10Δt＝－5Δt2－4ΔtΔt＝－5·Δt －4，∴当Δt 趋于0时，ΔhΔt趋于－4，即该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度为－4 m/s. 8．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3， ①29＋3t －32， 0≤t ＜3. ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物休的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt ＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1
——教学资料参考参考范本——高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1______年______月______日____________________部门平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35]求平均变化率[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：Δy＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.Δx当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)求平均变化率＝.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A．0.41 B．3C．4 D．4.1解析：＝＝4.1.答案：D3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.求瞬时变化率[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.[一点通]求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A．1米/秒B．－1米/秒C．2米/秒D．－2米/秒解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2.当Δx趋于0时，趋于2.所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )A．Δx＋B．Δx－－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－1Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.答案：C2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )A．6＋Δt B．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt解析：＝＝ΔΔt＝＝6＋Δt.答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A．2 B．1C. D.14解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④ B．②①③④C．②①④③ D．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.答案：1e2－e6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．解析：＝＝1Δ－14Δt＝－，当Δt趋于0时，＝－.答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：ΔhΔt＝＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵＝ΔΔt＝ΔΔΔt＝ΔΔΔt＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s ＝⎩⎨⎧3t2＋2， ①②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，趋于－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，趋于－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
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变化的快慢与变化率
一、教学目标
(1) 理解瞬时速度，会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度 (2)理解瞬时变化率概念， 实际背景，培养学生解决实际问题的能力 二、教学重点、难点
重点：瞬时速度，瞬时变化率概念及计算 难点：瞬时变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 （一）、复习引入
1、什么叫做平均变化率?
00()()
f x x f x x
+∆-∆
2、如何精确地刻画物体在某一瞬间的速度呢？ （二）、例题分析
例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为2
2
1gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式
101)
()(t t t s t s t s --=
∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度
9.531
5
.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）
． 我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度
5.491
.05
.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。
用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度．
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度．
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的
10
1
，计算出相应的平均速度得到下表：
t 0/s
t 1/s
时间的改变量 （Δt ）/s
路程的改变量 （Δs ）/m
平均速度⎪⎭
⎫
⎝⎛∆∆t s /（m/s ） 5 5.1 0.1 4.95 49.5
5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5
…
…
…
…
可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。
从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m ．
例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。
x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
x x f y 2)(==。
估计该合金棒在x =2m 处的线密度．
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度． 解：由x x f y 2)(==，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
x 0/s x 1/s
长度x 的改变量
（Δx ）/m
质量y 的改变量 （Δs ）/kg 平均线密度
⎪⎭
⎫
⎝⎛∆∆x y /（kg/m ） 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2
…
…
…
…
可以看出，当x 1趋于x 0=2m 时，平均线密度趋于0.71kg/m ，因此，可以认为合金棒在
x 0=2m 处的线密度为0.71kg/m 。
从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m 的物理
意义是，如果有1m 长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg ．
（三）、抽象概括：对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从x 0变到x 1的过程当中，若设Δx = x 1－x ０，)()(01x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是
x
x f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)
()()()(000101， 而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． （四）、交流思考
思考：速度对于时间的瞬时变化率又是什么呢？ 1、速度的平均变化率：
t
t v t t v ∆-∆+)
()(00
2、瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t
t v t t v ∆-∆+)
()(00无限趋近于一个常数，这个常
数称为t=t 0时的瞬时加速度． （五）、巩固提高
1、一辆汽车按规律s ＝3t 2
＋1做直线运动，求这辆汽车在t ＝3秒时的瞬时速度． 解析：∵Δs＝3(3＋Δt)2
＋1－(3×32
＋1)＝3Δt 2
＋18Δt，
∴Δs Δt ＝3Δt 2
＋18Δt
Δt ＝3Δt＋18. ∵当Δt 无限趋近于0时，
Δs
Δt
无限趋近于18， ∴这辆汽车在t ＝3秒时的瞬时速度的大小为18.
2、某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度分别是多少？ 解析：
0000
()()()s t t s t v t t vt s v t t t
+∆-+∆-∆===∆∆∆ ∴当Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt
无限趋近于常数v ，即物体在任意时刻的瞬时速度都是v.
四、课堂小结 1、瞬时变化率的定义
2、求瞬时变化率的步骤
五、布置作业
课本习题 3、4、5。