浙江师范大学《微分几何》(期末考试)试卷
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
浙江师范大学《微分几何》考试卷05
浙江师范大学《 微分几何 》考试卷（2005 ----2006 学年第 一 学期）考试形式 闭卷 使用学生 数学031-034考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。
一、填空题（每空2分，共16分 ）1、向量函数)(t X X 是定长的充要条件是 .2、柱面X}),(),({v u G u F 的第一基本形式为 。
3、若曲面 和曲面}2,,{:1y x X等距，则 的高斯曲率K= 。
4、坐标网是渐近线网的充要条件是 。
5、若曲面上的曲线 既是渐近线又是曲率线，则 是 。
6、曲面 )1,2(),(,,),( v u uv v u v u v u X 在的切平面方程为 曲线；法线方程为 。
7、曲面上沿着一条非直线的曲线 ，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线 是曲面上 曲线。
二、是非题（每小题2分共10分）1、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。
（ ）2、球面上每一条曲线都是曲率线。
（ ）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。
（ ）4、高斯曲率不是内蕴量。
（ ）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线 是圆柱螺线。
（ ） 三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分） 1、问是否存在曲面使得,cos ,0,12221211u g g g 1,0,cos 2212211 u 。
为什么2、求曲线3231,21,t t t X 的曲率k 和挠率 。
3、求曲线)(s Y Y的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。
4、求曲面22212)()(:u d du I 的高斯曲率K 。
5、求正螺面22121,sin ,cos au u u u u X上测地线的方程。
6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。
7、设非直线曲线 和另一条曲线*之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线 的切线是*的主法线，证明 是平面曲线。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
微分几何期末复习题
A. ；B. ；C. ；D. 。
53.若在曲面上 一点 ,则曲面在该 点的高斯曲 率K()
A.>0；B.< 0；C.= 0；D.符号不确定。
54.对于圆柱面 ，以下结论不 正确的是()
A.坐标网是正 交网；B.沿同一直母 线的切平面 是同一个；
C.其上高斯曲率为零；D.其上没有抛 物点。
55.曲面是其单 位法向量，下列第二类 基本量的计 算中，不正确的是()
A. ；B. ；C. ；D. 。
56.球面上的大 圆不可能是 球面上的()
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线。
45．曲面上的曲 纹坐标网为 共轭网的充 要条件是。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
A.直线；B.平面曲线；C.抛物线；D.圆柱螺线。
33.在伪球面上 ，任何测地三 角形的内角 之和()
A.等于 ；B.小于 ；C.大于 ；D.不能确定。
2020-2021某大学《微分几何》期末课程考试试卷B(含答案)
2020-2021《微分几何》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期：试卷所需时间：120分钟 闭卷 试卷总分：100一：填空题 （每空2分，共16分）1．向量函数)(t 具有固定长度的充要条件是 ．2．与切线垂直的平面称为 ，与副法线垂直的平面称为 ． 3．曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是 ．4．空间曲面上的脐点处的第一基本量和第二基本量满足关系式： ． ５．空间曲线如果是一般螺线，则它的曲率和挠率满足关系式： ．二：判断题：（每题2分，共１2分）1. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的位置．（ ） 2．曲面上非脐点的主曲率是此点法曲率的最大值和最小值．（ ） 3. 极小曲面的高斯曲率恒等于零．( )4．向量)(t)(t ．( ) 5．曲面上椭圆点对应的迪潘邦指标线是椭圆．( ) 6．平面上的单位圆的旋转数为０．( )三. 计算题：1、计算球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =的第二基本形式．（１０分）2、求曲线{})3(,3),3()(323t t a at t t a t +−=的曲率和挠率． (１５分)３、求曲面S ：},sin ,cos {av v u v u r =上，由微分方程dv a u du 22+=定义的曲线的正交轨线．（１０分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________４、求螺旋线{}t t t t ,sin ,cos )(=在点()0,0,1的基本向量γβα,,，以及法平面、密切平面及从切平面的方程． (25分)四、证明题：设曲面Ｓ上的一条曲率线不是渐近曲线，并且它的密切平面与曲面Ｓ的切平面相交成定角，证明：该曲线必定是一条平面曲线．（１２分）2020-2021《微分几何》期末课程考试试卷B 答案适用专业： 考试日期：试卷所需时间：120分钟 闭卷 试卷总分：100一：填空题 （每空2分，共16分）1．向量函数)(t r 具有固定长度的充要条件是0=•'r r ．2．与切线垂直的平面称为 法平面 ，与副法线垂直的平面称为 密切平面 ． 3．曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是0=M ．4．空间曲面上的脐点处的第一基本量和第二基本量满足关系式：NGM F L E ==． ５．空间曲线如果是一般螺线，则它的曲率和挠率满足关系式：c k=τ．二：判断题：（每题2分，共１2分）1. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的位置．（ F ） 2．曲面上非脐点的主曲率是此点法曲率的最大值和最小值．（ T ） 3. 极小曲面的高斯曲率恒等于零．( F )4．向量)(t)(t ．( F ) 5．曲面上椭圆点对应的迪潘邦指标线是椭圆．( T ) 6．平面上的单位圆的旋转数为０．( F )三. 计算题：1、计算球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =的第二基本形式．（１０分） 解：L=θ2cos −，M=0，N=-1 ，222cos θϕθd d −−=2、求曲线{})3(,3),3()(323t t a at t t a t +−=的曲率和挠率． (１５分)解：}1,2,1{322't t t a r +−=，}2,2,2{3''t t a r −=，}2,0,2{3'''−=a r }22,4,22{9222'''+−−=⨯t t t a r r)1(218||22'''+=⨯t a r r ，2242''')1(648)(+=⨯t a r r3''''''216),,(a r r r = )1(23||2'+=t a r223'''')1(31||||+=⨯=t a r r r k 222''''''''')1(31)(),,(+=⨯=t a r r r r r τ３、求曲面S ：},sin ,cos {av v u v u r =上，由微分方程dv a u du 22+=定义的曲线的正交轨线．（１０分）解：v ce a u u −=++22院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________４、求螺旋线{}t t t t ,sin ,cos )(=在点()0,0,1的基本向量γβα,,，以及法平面、密切平面及从切平面的方程． (25分)解{}11021,,=α {}001,,−=β{}11021,,−=γ法平面：0=+Z Y 密切平面：0=+−Z Y 从切平面：01=−X四、证明题：设曲面Ｓ上的一条曲率线不是渐近曲线，并且它的密切平面与曲面Ｓ的切平面相交成定角，证明：该曲线必定是一条平面曲线．（１２分）证明：αλ||•⇒=n dr dn 00≠•⇒≠βn k nc =•⇒n n γγ成定角与00=⇒=⇒ττβn 平面曲线。
(完整版)微分几何期末1..
1、等距变换一定是保角变换（×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）3、二阶微分方程A(u,v)du2B(u,v)dudv B(u,v)dv0总表示曲面上两族曲线。
（×）224、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的（×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F0,这里F是第一基本量（√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。
（√ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。
(×）8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向.（√ )9、LN-M2不是内蕴量。
(×）10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。
(√）11、曲线r=....r（s）为一般螺线的充要条件为（r，r,r）=0（√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向.(√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线.（×)14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。
（× )15、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。
（√）16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。
(×)17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线。
(√ )18、球面曲线的主法线必过球心（×）19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0。
（×)20、曲面上的渐进网一定存在。
（×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一.（√)22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0. (×）23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。
（√）24、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量. (×)25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。
(×)26、在空间曲线的非逗留点处,密切平面存在且唯一。
（√ )27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称：1.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.2.(单选题)(本题1.0分)A.B.10C.答案：A.解析：无.3.(单选题)(本题1.0分)A.可去奇点B.本性奇点C.m级极点D.小于m级的极点4.(单选题)(本题1.0分)A.5B.4C.3D.25.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.解析：无.6.(单选题)(本题1.0分)A.1B.2C.3D.4答案：D.解析：无.7.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.8.(单选题)(本题A.1B.2C.D.9.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.10.(单选题)(本题1.0分)A.等于0B.等于1C.等于iD.不存在11.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.12.(单选题)下列级数中，绝对收敛的级数为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.13.(单选题)(本题1.0分)A.有界区域B.无界区域C.有界闭区域D.无界闭区域14.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.15.(单选题)(本题1.0分)A.不存在的B.唯一的C.纯虚数D.实数16.(单选题)(本题1.0分)A.8iB.-8iC.16iD.-16i17.(单选题)下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.18.(单选题)实数m=（），复数(本题1.0分)A.4B.3C.2D.519.(单选题)。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.20.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.21.(单选题)(本题1.0分) A.B.C.D.答案：A.解析：无.22.(单选题)下列数中，为实数的是（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.23.(单选题)(本题1.0分)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件答案：B.解析：无.24.(单选题)。
(整理)微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。
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（2004-2005学年第一学期）
考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02、03级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月21日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.
一（10%）是非题（正确打√，错误打×）
1、等距变换一定是保角变换.
2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.
3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.
4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.
5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. 二（33%）填空题
1、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02
x π<<，则α= ① ，β= ② ， γ= ③ ，κ= ④ ，τ= ⑤ .
2、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02
v π
≤<，则它的第一基本形式为 ⑥ ，第二基本形式为 ⑦ ，高斯曲率K = ⑧ ，平均曲率 H = ⑨ ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ⑩ ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 ○11 . 三（24%）计算题
1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.
2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.
四（33%）综合题
1、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.
2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.
3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？。