四边形知识点总结大全(学生用)

四边形知识点总结大全
1．S 菱形 =2
1
ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高）
2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）
3．S 梯形 =2
1
（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线）
四 常识：
※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2
)
3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴. ※5．梯形中常见的辅助线：
A
B E F
D
E
C A
B D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
中点
中点
E
F
F A B
D C
A B
D
C
A B
D
C
A B
D C
中点
中点
G F
E
E
E
E
二、梯形常见的辅助线 1.延长两腰交于一点
作用：使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.平移一腰
作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高
作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线
作用：（1）得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和 （2）S 梯形ABCD =S △DBE
5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。

作用：可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF 。

例题
例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE =∠CDF，AB= CD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB =∠CFD = 90°，
∴△ABE≌△CDF.
∴∠BAE =∠DCF.
例2：如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：BE = CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB = OC.
又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO =∠CFO = 90º.
∵∠BOE =∠COF.
∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF.
评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.
例3如图6，E、F
的AD、BC
边上的点，且AE = CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，∠A =∠C.
∵AE = CF，∴△ABE≌△CDF.
（2）解析：四边形MFNE是平行四边形. （图1）
C
A D
B C
E
F
(图3)
M
N
O
A
B C
D
E F
（图2）
∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB =∠CFD ，BE = DF. 又∵M 、N 分别是BE 、DF 的中点，∴ME = FN. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB ∥DF ，即ME ∥FN. ∴四边形MFNE 是平行四边形.
评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.
例4如图4
的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.
求证：四边形AFCE 是菱形.
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴OA = OC ，∠EOA =∠FOC
，EA = EC. ∴△EOA ≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE 是平行四边形. 又∵EA = EC ， ∴四边形AFCE 是菱形.
例5如图5，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.
（1）如果 ，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论.
解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.
（1）①AE=CF ；②OE = OF ；③DE ⊥AC ，BF ⊥AC ；④DE ∥BF 等. （2）①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB = CD ，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF.
B
图5 C
∵AE=CF ，∴AC －AE = AC －CF ，即AF = CE. ∴△DEC ≌△BFA.
例6如图6，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.
（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
解析：（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵BC = CB ，AB = DC ，
∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC. 又∵EG ∥AC ，∠ACB =∠GEB. ∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG. ∵EG ∥OC ，EF ∥OG ， ∴四边形EGOF 是平行四边形. ∴OE = OF ，EF = OG.
∴四边形EGOF 的周长 = 2（OG ＋GE ）= 2（OG ＋GB ）= 2OB.
（2）如图7，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.
求证：四边形EFOG 的周长等于2OB
注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？
B
A。