圆的标准方程

2 2
解：设点C（a，b）为直径 P1 P2 设点 （ ， ） 的中点，则 的中点，
P131 练习 3
9+3 4+6 =6 a= =5 b= 2 2
圆心坐标为（5，6） 圆心坐标为（ ， ）
P (4,9) 1
C
P2 (6,3)
r = CP 1 = （4 − 5） + 9 − 6） = 10 （
2 2
y
圆心C( , ), ),半径 圆心 (a,b),半径r
(x − a) + ( y − b) = r
2Hale Waihona Puke 22A2.圆心 2.圆心
①两条直线的交点 弦的垂直平分线） （弦的垂直平分线） ②直径的中点
C B
3.半径 3.半径
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
O C
x
作
业
P124 习题4.1 A组2 习题 组
3y x − 3y − 3 = 0 得 x = −3, 解方程组 y = −2. x − y + 1 = 0 ( − 3, − 2 ) 所以圆心C的坐标是 所以圆心 的坐标是
所以，圆心为 的圆的标准方程是 所以，圆心为C的圆的标准方程是
圆心为C的圆的半径长 圆心为 的圆的半径长
4.1.1圆的标准方程 圆的标准方程
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点的距离等于定长的点的集合 定点 圆心 定长 半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 当圆心位置与半径大小确定后， 定了． 定了． 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径． 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径． 圆心和半径
x +y =r
2 2
2
练习
1、圆心为 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的方程为（ B ） 、 半径长等于5的圆的方程为 的圆的方程为（ A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心 的坐标及半径 分别为（ D） 、 的圆心C的坐标及半径 分别为（ 的圆心 的坐标及半径r分别为 A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2 （ ， ） （ ， ） C C（0，2） r = 2 D C（2，0） r= 2 （ ， ） （ ， ） 3、已知 M (5,−7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点 在 则点M在 已知 （ B ） A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定
r =| AC |= (1 + 3) 2 + (1 + 2) 2 = 5
( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25
典型例题
例2 ∆ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, 3)， 8)，求它的外接圆的方程． －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) ( , ) O C E C(2,-8) ( , ) 圆心： 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径： 半径：圆心到圆上一点 D
CM = 10
圆的方程为
2 2 （x − 5）+ y − 6） = 10 （
CN = 13 > 10 CQ = 3 < 10
因此点M在圆上， 在圆外， 在圆内。 因此点 在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 在圆上 在圆外 在圆内
圆心： 圆心：直径的中点
半径： 半径：直径的一半
例：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 C(1,3)为圆心,并且和直线3 - 为圆心 相切的圆. 相切的圆. y
(5 − a ) 2 + (1 − b) 2 = r 2 2 2 2 (7 − a ) + ( −3 − b) = r (2 − a ) 2 + ( −8 − b) 2 = r 2
所求圆的方程为
a=2 ⇒ b = −3 r =5
待定系数法
(x−2) +(y+3) =25
x
B(7,-3) ( , )
典型例题
例1 ∆ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, 3)， 8)，求它的外接圆的方程． －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 (1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 都在圆上， 因为 － ， 它们的坐标都满足方程（ ）． ）．于是 它们的坐标都满足方程（1）．于是
A x
⇔ d =r ； 点在圆外 ⇔ d > r ； 点在圆内 ⇔ d <r ．
点在圆上
M3
已知圆心为C的圆经过点 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)， 例1 已知圆心为 的圆经过点 和 ， 且圆心C在直线上 在直线上l： 且圆心 在直线上 ：x －y +1=0，求圆心为 的圆的标 ，求圆心为C的圆的标 准方程． 准方程．
y A(1,1) ( , ) O C 弦AB的垂 AB的垂 直平分线
D
x B(2,-2) ( , )
l : x − y +1 = 0
圆心： 圆心：两条直线的交点 半径： 半径：圆心到圆上一点
典型例题
因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段 的中点 的坐标 的中点D的坐标 解：因为 因为 和 ，所以线段AB的中点 − 2 −1 3 1 = −3 直线AB的斜率 的斜率: ( ,− ), 直线 的斜率 k AB = 2 −1 2 2 ' 因此线段AB的垂直平分线 因此线段 的垂直平分线 l 的方程是 1 1 3 即 x − 3y − 3 = 0 y + = (x − ) 2 3 2
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上， 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程， 这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程 成立，则在这个圆上， 成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆 上． ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y 0 ) 在圆 y 内呢？还是在圆外呢？ 内呢？还是在圆外呢？ M2 如果设点M到圆心的距离为d,则 如果设点M到圆心的距离为d,则 o d, 可以看到： 可以看到：
圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 如图，在直角坐标系中，圆心 的位置用坐标 (a,b) 表示，半径 的大小等于圆上任意点 表示，半径r的大小等于圆上任意点 的大小等于圆上任意点M(x, y)与 与 圆心C 的距离． 圆心 (a,b) 的距离． y M(x,y) ( , ) 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x
(x−a) +(y−b) =r
2 2
(x−a) +(y−b) =r
2 2
2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r 圆心 ( , ),半径 ),半径 y M(x,y) ( , ) O x
(x − a) + ( y − b) = r
2 2
2
C
圆的标准方 程 若圆心为O（ ， ），则圆的方程为： ），则圆的方程为 若圆心为 （0，0），则圆的方程为：
解： 设所求圆的半径为r 设所求圆的半径为 则：
r=
| 3 × 1- 4 × 3 - 7 | 3 +4
2 2
16 = 5
C M
O
x
∴所求圆的方程为： 所求圆的方程为：
196 (x−1) +(y−3) = 25
2 2
圆心： 圆心：已知
半径： 半径：圆心到切线的距离
1.圆的标准方程 1.圆的标准方程
小结