13.2命题、定理、证明-导学案
《命题、定理、定义》 导学案
《命题、定理、定义》导学案一、学习目标1、了解命题的概念，能区分命题的条件和结论。
2、理解定理和定义的概念，知道定理是经过证明的真命题，定义是对概念的明确规定。
3、会判断一个语句是否为命题，能将命题改写为“如果……那么……”的形式。
二、学习重难点1、重点（1）命题的概念和构成。
（2）区分命题的条件和结论。
2、难点将命题改写为“如果……那么……”的形式，并判断其真假。
三、知识回顾在数学中，我们经常会遇到各种各样的语句，比如：“两点之间，线段最短”“对顶角相等”等等。
那么，这些语句有什么特点呢？四、新课导入观察下面的语句：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（2）等式两边加同一个数，结果仍是等式。
（3）对顶角相等。
思考：这些语句有什么共同的特点？五、知识讲解1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。
例如：“同旁内角互补，两直线平行”“直角都相等”等都是命题。
注意：命题必须是一个完整的句子，并且能够判断真假。
2、命题的构成命题由条件和结论两部分组成。
条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
例如：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
”其中“两条直线都与第三条直线平行”是条件，“这两条直线也互相平行”是结论。
3、命题的形式通常，命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的是条件，“那么”后面接的是结论。
例如：“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
4、真命题与假命题如果命题的结论是正确的，那么这样的命题叫做真命题；如果命题的结论是错误的，那么这样的命题叫做假命题。
例如：“直角都相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题。
5、定理经过推理证实为真命题的命题叫做定理。
定理可以作为继续推理的依据。
例如：“三角形内角和等于180°”就是一个定理。
6、定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。
例如：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”就是直角三角形的定义。
第三单元命题、定理、证明-导学案
第三单元命题定理证明一、教法建议抛砖引玉本单元的主要内容是命题，定理和证明，在教学时，通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，但不要在这些概念和术语上下功夫，能初步掌握就可以了，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假，要讲清楚这些内容，注意结合熟悉的事例，要求学生了解就可以了，不要让学生死记硬背这些术语.对于命题的证明,要重点讲解.教学时,在前面已有的基础上,向学生详细介绍证明的一般步骤，举例说明证明一个命题的全过程，练习和习题中配备较多的证明的填空练习，要让学生重点练习，在练中学，使学生了解综合法证明几何命题的格式，为今后证明训练打下基础.在教学中，注重培养学生的逻辑思维能力.逻辑推理训练是培养逻辑思维能力的一个重要内容，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式.掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题.教学中要从易到难，慢慢增加难度.在学中掌握，在用中掌握与提高.千万不能操之过急.指点迷津在学习命题时，有些命题的题设和结论不明显.例如，“同角（或等角）的余角相等”，“同角（或等角）的补角相等”等，一些没有写成“如果……那么……”形式的命题，往往搞不清哪是题设，哪是结论，又没有一个通用方法可以套用.如何分清题设和结论，只要多研究实例，多作练习，在实践中学习，从中升华.有时需要结合图形作具体分析.对于像“同角的余角相等”，“对顶角相等”这类简述的命题，一般可以添上省去的词语后再进行分析，类似这样的命题，把它的图形画出来，更有助于对命题分析.教学中循序渐进，由浅入深，图文并茂.学练结合，加强指导.将会共渡难关，收到较好成效！二、学海导航思维基础基础知识必须强化，扎实，才能为更好学习铺平道路.1.判断一件事情的句子，叫 .2.每个命题都是由题设，两部分组成.题设是；结论是由已知事项 .3.如果题设成立，，像这样的命题，叫做 .4.题设成立时，不能保证结论总是正确的，也就是，这些命题都是错误的命题，像这样的命题叫做 .5.它们的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，，这样的真命题称为公理.6.它们的正确性是用推理的方法进行证实的，这种定理，推理过程叫做证明.7.___________叫等量代换.8.证明一个命题一般步骤是：（1）；（2）；（3） .在一般情况下，分析的过程不要求写出来.9.判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不 . 学法指要【例1】判断下列语句是不是命题:（1）线段的中点到线段两端点的距离相等；（2）相等的两个角是对顶角；（3）过已知直线外的任一点画出已知直线的垂线；（4）凡直角都相等；（5）不相等的两个角不是对顶角；（6）与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交.思考：1.你知道什么叫命题吗？ 2.怎样判定一个句子是命题？思路分析：判断一件事情的句子，叫做命题.由此可知，判定一件事情的句子是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题.根据这一分析，思路自然清晰.解：根据命题的定义可知：1，2，4，5，6是命题；3.不是命题.【例2】将下列各句改写成“如果……那么……”的形式.1.对顶角相等；2.等角的余角相等；3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；4.同旁内角互补，两直线平行；5.同圆的半径相等.思考：1.如何把省略掉的词语重新补上？ 2.根据命题你能画出图形吗？根据图形，能写出“如果……那么……”的命题吗？ 3.对省去“如果”“那么”的命题如何进行分析？思路分析：省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了.解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等.【例3】指出下列命题的题设部分和结论部分.1.直角都相等；2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；4.钝角大于它的补角；5.大于90°而小于180°的角是钝角；6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角.思考：1.每个命题都由哪两部分组成？请你说出来. 2.题设表示什么意思？结论表示什么意思？ 3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？能否改写成“如果……那么……”形式呢？ 4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？又如何表示？思路分析：解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思，便可找出题设与结论，对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义.根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分.解：1.题设：两个角都是直角；结论：这两个角相等.2.题设：互为邻补角的两个角的两条角平分线；结论：这两个角平分线互相垂直.3.题设：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；结论：垂线段最短.4.题设：∠α是∠β的补角，且90°<∠α<180°；结论：∠α<∠β5.题设：90°<∠α<180°结论：∠α是钝角.6.题设：两个角的和等于平角；结论：这两个角互补.【例4】判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.1.两点之间,线段最短；2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3；3.同旁内角互补；4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行；5.如果a+b=0，那么a=0,b=0；6.两个锐角的和是锐角.思考：1.什么叫命题？ 2.什么叫真命题？ 3.什么叫假命题？ 4.判别假命题的方法是什么？请你叙述.思路分析：要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可.于是以上各题真假便眉目分明了.解：1.真命题，这是关于线段的一个公理.2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是-3.3.假命题，任意两条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三条直线所截，才有同旁内角互补的结论.4.假命题：如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行.5.假命题：如果a=2,b=-2,2+(-2)=0a=2≠0,b=-2≠0.6.假命题，如果60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角.【例5】区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理？1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；2.两点之间，线段最短；3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；4.对顶角相等；5.垂线段最短.思考：1.定义、公理、定理的内容你知道吗？ 2.定义、公理、定理有何区别？思路分析：只要理解定义、公理、定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理.解：（1），（2）是公理；（3）是定义；（4），（5）是定理.【例6】填写下面证明中的空格：已知：如图2-97，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠B=∠ADE.证明：∵ CD⊥AB，GF⊥AB（已知）∴∠CDB= =90°（）∴∥（）∴∠1= （）∵∠1=∠2（已知）∴∠2= （）∴∥（）∴∠B=∠ADE图2-97思考：1.叙述平行线判定公理、定理； 2.叙述平行线性质公理、定理. 3.证明一个命题有哪些步骤呢？ 4.证明两角相等有哪些思维方法？思路分析：括号里的证明依据，应从已知入手，结合图形，联想公理、定理，便可填写准确的依据.解：∠FGB；垂直定义；CD，FG；同位角相等，二直线平行；∠BCD；二直线平行，同位角相等；∠BCD；等量代换；DE，BC；内错角相等，二直线平行；二直线平行，同位角相等. 思维体操【例1】已知：如图2-98，AD∥BC，∠A=∠C求证：AB∥CD图2-98思考：1.要证明二直线平行，你考虑有几种方法？ 2.证明二直线平行是用平行线判定公理及定理，还是用平行线性质公理及定理？思路分析：证明二直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明二直线平行问题，通常转化为证角等或者同旁内角互补问题.所以对本例，至少可找到两种以上思路.证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C（已知）∴∠C=∠CBE（等量代换）∴ AB∥CD（内错角相等，二直线平行）又证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）∵∠ABC+∠CBE=180°（邻补角定义）∵∠A=∠C（已知）∴∠ABC+∠C=180°（等量代换）∴ AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）再证明：∵ AD∥BC（已知）∴∠A+∠ABC=180°（二直线平行，同旁内角互补）∵∠A=∠C（已知）∴∠C+∠ABC=180°（等量代换）∴ AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）证法四：延长BC，DC（如图2-99）∠1=∠2（对顶角相等）∵∠1=∠C，∴∠2=∠C（等量代换）∵∠A=∠C（已知）∴∠2=∠A（等量代换）∵ AD∥BC（已知）∴∠A=∠3（二直线平行，同位角相等）∴∠3=∠2（等量代换）∴ AB∥CD（同位角相等，二直线平行）图2-99【例2】如图2-100.1.已知AD∥BC,可以得出哪些角相等?为什么?2.已知AB∥DC,可以得出哪些角的和是180°,为什么?3.已知∠3=∠7,可以得出哪两条直线平行?为什么?4.已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°,可以得出哪两条直线平行?为什么?5.由哪两条直线平行，可以得到∠4=∠8，为什么？6.由哪两条直线平行，可以得到∠3+∠4+∠5+∠6=180°？为什么？图2-100思考：1.怎样找两个角相等或互补？ 2.如何找出两条直线平行？它的依据是什么？3.平行线的判定公理及定理与平行线的性质公理与定理有何区别？思路分析：证明两角相等或互补，通常转化证二直线平行，从而通过同位角，内错角或同旁内角可沟通题设与结论关系.反之，要证二直线平行，一般地说可转化证明两角相等，两角互补，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可达目的，沿着这两大思路进行思维，再结合题设与图形，思路顿开.解：1.∠1=∠5，∠4=∠8.因为二直线平行，内错角相等；2.∠1+∠2+∠7+∠8=180°，∠3+∠4+∠5+∠6=180°，因为二直线平行，同旁内角互补；3.AB∥CD.因为内错角相等，二直线平行；4.AD∥BC.因为同旁内角互补，二直线平行；5.AD∥BC.因为二直线平行，内错角相等；6.AB∥CD.因为二直线平行，同旁内角互补.【例3】如图2-101，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：CD平分∠ACE.思考：1.你知道角平分线定义吗？ 2.证明两角相等，通常选取哪些方法？ 3.同角（或等角）的余角有何关系？图2-101思路分析：从题设及观察图形可知，首先由∠DCA=∠CAB证得AB∥CD，进而可知∠DCB=90°-∠1，∠DCE=90°-∠2，又∠1=∠2，根据等角的余角相等，即可获证.证明：∵∠DCA=∠CAB（已知）∴ AB∥CD（内错角相等，二直线平行）∴∠ABC+∠BCD=180°（二直线平行，同旁内角互补）∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-90°=90°∴∠DCA=90°-∠1又∵∠DCE=180°-∠BCD-∠2=180°-90°-∠2=90°-∠2∵∠1=∠2（已知）∴∠DCA=∠DCE（等角的余角相等）从而CD平分∠ACE.三、智能显示心中有数了解命题的概念，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式.对定义、公理、定理的概念要了解，了解“证明的必要性和推理过程中要每步有据，了解综合法证明的格式.动脑动手1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例.（1）邻补角是互补角；（2）互补角是邻补角；（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；（4）不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.2.指出下列命题的题设和结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）任意两个直角都相等.3.完成下面证明：已知：如图2-102，AB∥CD，AD∥BC.求证：∠A=∠C图2-1024.证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.（只要求画出图形，写出已知，求证）创新园地1.已知：如图2-103，∠1=∠2.求证：∠2=∠32.如图2-104，AB∥CD，BEFGD是折线，求证：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G图2-103 图2-1043.如图2-105，ABCDEFG中，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M，求证：∠AMG=∠34.如图2-106，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠BEF=∠EFC5.如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36°，∠ACB=60°，AQ平分∠FAC，求∠HAQ 的度数.图2-105 图2-106 图2-107四、同步题库一、填空题1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分是题设，用“”开始的部分是结论.2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 .3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1和l2的关系为 .4.如图2-108所示，直线l∥m，若∠α=70°，则∠β= .5.如图2-109所示，a∥b，∠1-2∠2=60°，则∠1= ；∠2= .图2-108 图2-1096.“同位角相等，两直线平行”这个命题的题设是 .7.“过两点有且只有一条直线”是 .8. 叫做命题，每个命题都是由；两部分组成.9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做 .10.证明一个命题的步骤是：①根据题意, ；②根据题设、结论、结合图形、写出； .③经过分析，找出由推出的途径，写出 .二、选择题11.下列语句中，不是命题的是 .（A）两点之间，线段最短（B）对顶角不相等（C）连结A、B两点（D）不重合的两条直线有一个交点12.给出下列四个命题：①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直.其中真命题有 .（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个13.如图2-110，下列推理中正确的是 .（A）∵∠1=∠2，∴ AB∥CD（B）∵∠ABC+BCD=180°，∴ AD∥BC（C）∵ AD∥BC，∴∠3=∠4（D）∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2∴ AB∥CD图2-11014.下列命题，正确的是 .（A）如果∠α=180°-∠β，则∠α是补角（B）如果∠α+∠β=90°，则∠α是余角（C）40°角是50°角的余角（D）余角是补角的一半15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是 .（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（B）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（C）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角（D）如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等16.下列语句是命题的是 .（1）过一点作直线的垂线（2）如果a∥b且b∥c，那么a∥c（3）∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3（4）同位角互补，两直线平行（A）（2）（B）（2）、（3）（C）（2）、（3）（4）（D）（1）、（2）、（3）、（4）17.下列命题，正确的是 .（A）两锐角的和是直角（B）若∠AOB+∠BOC=90°，则∠AOC是直角（C）若∠α是∠β的邻补角,则∠α与∠β中一定有一个是钝角,一个是锐角（D）若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角18.下列命题是假命题的是 .（A）垂线段最短（B）对顶角相等（C）同位角相等（D）一个锐角的补角大于这个锐角19.下列命题中，假命题是 .（A）没有公共点的两条直线必定平行（B）同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l，垂足为B，A、B两点不重点，那么l1⊥l（C）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短（D）两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行20.下列四个命题中,真命题是 .（A）如果一个角有补角，则这个角必是钝角（B）如果一个角有余角，则这个角必是锐角（C）互补的两个角一定是邻补角（D）如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补三、解答题21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：（1）邻补角的平分线互相垂直.（2）两直线平行，内错角相等.22.已知点C，C′分别是AB、A′B′的中点，AC=A′C′，求证：AB=A′B′23.如图2-111所示，已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，求证：DE⊥BC24.如图2-112所示，已知∠1+∠2=180°，求证：∠3+∠4=180°25.如图2-113所示，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK 是∠MGB的平分线，∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数.图2-111 图2-112图2-113 图2-11426.已知：如图2-114，AB∥DC，AD∥BC，∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数.27.已知：如图2-115所示，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，求证：BC∥AE.图2-115 图2-11628.已知：如图2-116所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.29.图2-117，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，求证：AD平分∠BAC.30.已知，如图2-118，∠COF+∠C=180°，∠C=∠B，求证：AB∥EF.图2-117 图2-118参考答案动脑动手1.（1）真命题：（2）假命题.如图2-119，∠α+∠β=180°，但它们不是邻补角.（3）假命题.如图6能被2整除，但不能被4整除.（4）假命题.如图3>2，都乘以-1，则-3<-2.图2-1192.（1）题设：两条平行线被第三条直线所截.结论：同旁内角互补；（2）题设：等式的两边加上同一个数或同一整式.结论：所得的结果仍是等式.（3）题设：两条直线同平行于第三条直线.结论：这两条直线平行.（4）题设：两个角都是直角.结论：这两个有相等.3.AB∥CD，已知；∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）；AD∥BC，已知，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠A=∠C（同角的补角相等）4.如图2-120，已知：AB∥CD，EF分别交AB、CD于E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG∥FH.图2-120创新园地1.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ a∥b（内错角相等，二直线平行）∴∠2=∠3（二直线平行，内错角相等）又证：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）2.证明：过E点作EF′∥AB，过F作FF′∥AB，过G作GG′∥AB，则有AB∥EE′∥FF′∥GG′∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D（两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠F+∠D=∠1+∠3+∠4+∠6=（∠1+∠2）+（∠5+∠6）=∠E+∠G（等量代换）∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G注：本例的其他证法，请读者探索.3.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ AM∥CD（内错角相等，两直线平行）同理：∠4=∠5∴ GM∥DE∴∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角二边，那么这两个角相等或互补）4.证明：连结BC∵ AB∥CD（已知）∴∠ABC=∠BCD（二直线平行，内错角相等）又∵∠1=∠2（已知）∴ ∠EBC=∠FCB （等式性质）∴ EB ∥CF （内错角相等，二直线平行）∴ ∠BEF=∠EFC （二直线平行，内错角相等）5.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ EF ∥AH （同位角相等，二直线平行）∵ ∠2=∠3（已知）∴ AH ∥CD （同位角相等，二直线平行）∵ GE ∥AH （已证）∴ ∠FAH=∠GFA=36°（二直线平行，内错角相等）∵ AH ∥BD （已知）∠HAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）∴ ∠FAC=∠FAH+∠HAC=36°+60°=96°∵ AQ 平分∠FAC （已知）∴ ∠FAQ=21∠FAC=48° ∴ ∠FAH=∠FAQ-∠FAH=48°-36°=12°同步题库一、填空题1.如果；那么2.如果两个角是等角，那么这两个角的余角相等3.相交4.50°5.140°；40°6.同位角相等7.公理8.判断某一件事情的句子；题设9.真命题 10.①画出图形 ②已知：求证 ③已知，求证，证明的过程二、选择题11.C 12.A 13.D 14.C 15.B 16.C 17.D 18.C 19.A 20.B三、解答题21.（1）已知如图2-121，∠AOC 与∠BOC 为邻补角，OD 为∠AOC 平分线，OE 为∠BOC 平分线，求证：OD ⊥OE.（2）已知如图2-122；直线a ∥b.求证：∠1=∠2.图2-121 图2-12222.证明：∵ C 为AB 中点（已知）∴ AC=21AB （中点定义） ∵ C ′为A ′B ′中点（已知） ∴ A ′C ′=21A ′B ′（中点定义） ∵ AC=A ′C ′（已知）∴ 21AB=21A ′B ′（等量代换） ∴ AB=A ′B ′（等式性质）23.证明：∵ ∠ACD=∠CDE （已知）∴ AC ∥DE （内错角相等，二直线平行）∴ ∠DEB=∠ACB （二直线平行，同位角相等） ∵ AC ⊥BC （已知）∴ ∠ACB=90°（垂直定义）∴ ∠DEB=90°（等量代换）∴ DE ⊥BC （垂直定义）24.证明：∵ ∠2+∠5=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴ ∠1=∠5（同角的补角相等）∴ a ∥b （同位有相等，二直线平行）∴ ∠3=∠6（二直线平行，同位角相等） ∵ ∠6+∠4=180°（邻补角定义）∴ ∠3+∠4=180°（等量代换）25.解：∵ MN ⊥AB （已知）∴ ∠MGB=90°=∠AGM （垂直定义）∵ GK 平分∠MGB （已知）∴ ∠MGK=21∠MGB=45°（角平分线定义） ∵ AB ∥DC （已知）∴ ∠AGE=∠CHG=120°（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠MGE=∠AGE-∠AGM=30°∴ ∠KGE=∠KGM-∠MGE=45°-30°=15°26.解：∵ AB ∥DC （已知）∴ ∠2=∠4=38°（二直线平行，内错角相等） ∵ ∠1=30°（已知）∴ ∠1+∠4=68°=∠A∵ AD ∥BC （已知）∴ ∠3=∠A=68°（二直线平行，同位角相等）27.证明：∵ BE 平分∠ABC （已知）∴ ∠ABE=∠EBC∠ABC=2∠ABE （角平分线定义）∵ ∠CBF=∠CFB=65°（已知）∴ ∠FBA=∠CFB=65°∴ AB ∥DC （内错角相等，二直线平行）∴ ∠EDF=∠A （二直线平行，同位角相等） ∵ ∠EDF=50°（已知）∴ ∠A=50°（等量代换）∴ ∠A+∠ABC=50°+130°=180°∴ BC ∥AE （同旁内角互补，二直线平行）28.证明：∵ AC ∥DE （已知）∴∠ACD=∠EDC（二直线平行，内错角相等）∵ DC∥EF（已知）∴∠DCE=∠BEF（二直线平行，同位角相等）∠EDC=∠FED（二直线平行，内错角相等）∵ DC平分∠BCA（已知）∴∠ACD=∠DCB（角平分线定义）∴∠FED=∠BEF（等量代换）∴ EF平分∠BED（角平分线定义）29.证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知）∴ EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠E（二直线平行，同位角相等）∴∠3=∠2（二直线平行，内错角相等）∠E=∠3（已知）∴∠1=∠2（等量代换）∴ AD平分∠BAC（角平分线定义）30.证明：∵∠COF+∠C=180°（已知）∴ EF∥CD（同旁内角互补，二直线平行）∵∠C=∠B（已知）∴ AB∥DC（内错角相等，二直线平行）∴ AB∥EF（平行于同一条直线的二直线平行）。
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4
沪科版数学八年级上册13.2《命题与证明》教学设计4一. 教材分析《命题与证明》是沪科版数学八年级上册13.2章节的内容，本节课的主要内容是让学生理解命题的概念，掌握证明的方法和技巧。
教材通过引入生活中的实例，让学生体会命题的意义，进而引导学生学习证明的基本方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对数学概念有一定的理解。
但是，对于证明这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对证明方法的不理解，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解命题的概念，能正确写出题设和结论。
2.让学生掌握证明的方法和技巧，能运用所学的证明方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：命题的概念，证明的方法和技巧。
2.难点：证明方法的灵活运用，对复杂命题的证明。
五. 教学方法1.采用实例导入法，通过生活中的实例引导学生理解命题的意义。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索证明的方法。
3.采用分组合作法，让学生在合作中交流和分享证明的方法和经验。
4.采用讲解法，教师对重点和难点进行讲解和解答。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入和讲解。
2.准备一些证明题目，用于巩固和拓展。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“如果一个人是男生，那么他一定有喉结”，让学生理解命题的概念，引导学生写出题设和结论。
2.呈现（10分钟）呈现一些简单的命题，如“勾股定理”和“平行线的性质”，让学生尝试证明。
教师在旁边指导，解答学生的疑问。
3.操练（10分钟）学生分组合作，每组选择一个命题进行证明。
教师巡回指导，检查学生的证明过程，纠正错误。
4.巩固（10分钟）教师选取一些学生的证明题目，进行讲解和分析，让学生理解和掌握证明的方法和技巧。
13.2 全反射导学案
13.2全反射导学案【学习目标】1.知道光疏介质和光密介质。
2.知道光的全反射现象。
3.知道介质的临界角与该种介质的折射率之间的关系式。
4.知道全反射现象的一些实际应用。
【重点难点】掌握临界角的概念和发生全反射的条件;全反射的应用，对全反射现象的解释.【课前预习】1.物理学中，把折射率较小的介质称为光疏介质，折射率较大的介质叫做光密介质。
2.光疏介质和光密介质是相对的，第题中，水相对空气是光密介质，但是它相对玻璃是光疏介质。
3.根据折射定律可知，光从空气射入水中时，入射角大于折射角；而光从水中射入空气中时，入射角小于折射角。
由此得到一个很重要的结论：光从光疏介质射入光密介质时，折射角小于入射角，光从光密介质射入光疏介质时，折射角大于入射角。
4.观察演示实验；由实验可以看出，当光沿着半圆形的玻璃砖的半径射到直边上时，一部分光从玻璃砖的直边上折射到空气中，另一部分光反射回玻璃砖内，当逐渐增大入射角时，会看到空气中的折射角在增大，并且折射光线离法线越来越远，而且折射光线越来越弱，反射光线越来越强，当入射角增大到某一角度，使折射角大到°时，折射光线完全消失，只剩下反射光线，这种现象叫做光的全反射。
5.我们把刚好发生全反射时（即折射角等于°时）的入射角叫做这种介质的临界角；因为发生全反射时折射角大于入射角，所以只有光从光密介质射入光疏介质时，才可能发生全反射。
例：某种介质的折射率为，临界角为，则根据临界角是折射角等于°时的入射角，再根据折射定律及光路可逆可得： 【典题探究】知识点一 全反射现象例1.如图所示，是两面平行的透明玻璃砖，面和面平行，它们分别是玻璃和空气的界面，设为界面Ⅰ和界面Ⅱ，光线从界面Ⅰ射入玻璃砖，再从界面Ⅱ射出，回到空气中，如果改变光到达界面Ⅰ时的入射角，则( )A.只要入射角足够大，光线在界面Ⅰ上可能发生全反射现象B.只要入射角足够大，光线在界面Ⅱ上可能发生全反射现象C.不管入射角多大，光线在界面Ⅰ上都不可能发生全反射现象D.不管入射角多大，光线在界面Ⅱ上都不可能发生全反射现象答案：CD误区警示 有的同学认为在界面Ⅱ，光由光密介质进入光疏介质，只要入射角足够大，就可能发生全反射现象.这是错误的，错误的原因在于孤立地讨论光在界面Ⅱ能否发生全反射现象，而没有认识到光是由界面Ⅰ进入玻璃后再到达界面Ⅱ，到达界面Ⅱ时光的入射角等于在界面Ⅰ的折射角，它的大小是受到折射定律限制的，因此在界面Ⅱ上的入射角总是小于临界角.°空气 介C C n sin 1sin 90sin ==ο知识点二 折射与全反射例2.已知介质对某单色光的临界角为C ，则（ ）A.该介质对单色光的折射率等于Csin 1 B.此单色光在该介质中的传播速度等于csinC ·（是光在真空中的传播速度）C.此单色光在该介质中的波长是在真空中波长的sinC 倍D.此单色光在该介质中的频率是在真空中的Csin 1倍 答案：ABC例3.半径为的半圆柱形玻璃，横截面如图所示，为圆心，已知玻璃的折射率为2，当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为°，一束光以与平面成°角的方向射向半圆柱形玻璃，求能从射出的光束的宽度为多少？解析：如图所示，进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心位置，且入射角等于临界角，恰好在点发生全反射.光线①左侧的光线（如：光线②）经球面折射后，射在上发生全反射，不能射出.光线①右侧的光线经半球面折射后，射到面上的入射角均小于临界角，能从面上射出.最右边射向半球的光线③与球面相切，入射角°，由折射定律知：n i sin 22，则°.故光线③将垂直射出.所以在面上射出的光束宽度应是22. 答案：22 巧解提示 先画出光路图，再进行分析，分析时要注意全反射的条件，并要注意应用几条特殊的光线来分析问题.知识点三 全反射现象的应用例4.如图所示，一根长为的直光导纤维，它的折射率为.光从它的一个端面射入，又从另一端面射出所需的最长时间为多少？（设光在真空中的光速为） 答案：cL n 2。
命题、定理、证明——导学案
命题、定理、证明——导学案导学目标：1、了解命题的概念。
2、能区分命题的题设和结论。
3、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。
导学重点难：命题的概念和区分命题的题设和结论预学内容：课本P20—22页要求：掌握命题的概念，对一个命题能区分哪是题设，哪是结论。
对我们学过的一些命题会判断真假。
（课前完成）我的问题：命题：命题由和两部分组成。
数学中的命题常可写成的形式。
一、A 例如：①两直线平行，同位角相等；②等角的余角相等；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行。
B 例如：（1）直线AB与CD平行吗？（2）过点A画直线l的垂线。
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
①请同学们比较这两组语句有什么区别？与同伴交流。
②师生共同归纳：③举出一些生活中具有类似特征的语句（学生举例）。
二、命题的组成（看A组语句）题论和结论分别是什么？把它写成“如果……，那么……”的形式。
aB 点评：对一个命题，添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结设更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增减词语，不能生搬硬套。
三、真假命题（1）两个锐角的和是锐角；（2）邻补角是互补的角；（3）同旁内角互补。
问：（1）上面三句话是命题吗？各自的题设和结论是什么？（2）判断三句话对吗？如果不对举出反例。
真命题：假命题：练习：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一反例说明。
（1）一个角的补角是钝角；（2）两个正数的差仍是正数；（3）如果a 是正有理数，那么a 2＞a ；（4）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除。
四、定理：证明：例：如图，已知直线b ∥c ，a ⊥b ，求证a ⊥c.学案：1、在下面的括号内，填上推理的根据。
如图，∵∠A+∠B=180°，∴AD ∥BC （ ）∴∠C+∠D=180°，（ ）2、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论。
《命题、定理、证明》导学案 人教七下数学
4321F B A E G C H D 5.3.2 命题、定理、证明【学习目标】1、知道什么是命题、真命题、假命题、定理；2、会根据“题设”和“结论”把命题改果……，那么……”的形式，并能正确判定命题的真假。
【学习重点与难点】1.重点：确定命题的“题设”与“结论”，并会改写成“如果……， 那么……”的形式2.难点：判断命题的真假【课前检测】1.如图，（1）如果∠1=________,那么DE ∥ AC ；(2) 如果∠1=________,那么EF ∥ BC ；(3)如果∠FED+ ∠________=180°,那么AC ∥ED ；(4) 如果∠2+ ∠________=180°,那么AB ∥DF.2．如图，∠1=120°，∠1=120°，∠3＝110°。
求∠4【课堂活动】活动一、认识命题的构成大家一起读一读下列语句：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边同加同一个数，结果仍是等式。
像这样对一件事情作出判断的语句，叫做命题。
你能再举出一些命题的例子吗？比如：命题由“题设”和“结论”两部分组成，“题设”指已知事项，“结论”指由已知事项推导出的事项。
命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，这里的“如果”后面接的是“题设”（即已知条件），“那么”后面接的是“结论”如（1）中的“两条直线都与第三条直线平行”是已知条件，是“题设”，而“这两条直线也互相平行”是“结论”。
请同学们将（2）（4）的命题改写成“如果……，那么……”的形式（2）（4）而有些命题的“题设”和“结论”不是很明显，要经过分析才能找出“题设”和“结论”，如“对顶角相等”，这里的前提是“对顶角”，结论是“相等”，因此我们可以改成练习：1。
指出下列命题的“题设”与“结论”（1）不相等的两个角不是对顶角题设：结论：（2）互余的两个角不一定相等题设：结论：（3）若a>0，b>0，则ab>0题设：结论：（4）若a∥b,b∥c，则a∥c题设：结论：2。
【新人教版】2019-2020八年级数学上册 第13章 13.2 命题与证明 第1课时 命题与证明教案
13.2命题与证明第1课时命题与证明◇教学目标◇【知识与技能】1.了解命题、真命题、假命题的意义,了解公理、定理、证明的概念;2.了解原命题、逆命题的意义;3.会判断一个命题的真假,能用举反例的方法判断命题的真假,会写出一个命题的逆命题.【过程与方法】通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑思维.【情感、态度与价值观】通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.让学生积极参与教学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲.◇教学重难点◇【教学重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区别.【教学难点】严密完整地写出推理过程.◇教学过程◇一、情境导入上一节课中,我们研究三角形的性质是通过折叠、剪拼或度量得到三角形的内角和为180°的,但这些做法都会出现很多误差,会存在疑问.有没有更准确更严格的方法得出结论呢?二、合作探究问题1:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.例如:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.判断哪些是正确的,哪些是错误的?结论:(1)(2)(4)是正确的,(3)是错误的.问题2:什么叫命题?什么叫真命题?什么叫假命题?结论:对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题,其中正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.典例1判断下面语句中哪些是命题?(1)请关上窗户;(2)你明天上学吗?(3)天真冷啊!(4)昨天我们去旅游了。
[解析](4)是命题,(1)(2)(3)不是命题问题3:(1)命题的一般形式是什么?(2)什么叫原命题、逆命题?(3)什么叫反例?结论:(1)命题的一般形式是“如果p,那么q”或“如果p,则q”.(2)将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆命题.(3)符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.典例2指出下列命题的条件与结论:(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.[解析](1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.(2)“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.写出下列命题的逆命题,并判断所得逆命题的真假,如果是假命题,请举一个反例:(1)内错角相等,两直线平行;(2)如果a=0,那么ab=0.[解析](1)逆命题是“两直线平行,内错角相等”,是真命题.(2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题.反例,当a=1,b=0时,ab=0.典例3已知:如图,直线c与直线a,b相交,且∠1=∠2.求证:a∥b.[解析]∵∠1=∠2,(已知)又∵∠1=∠3,(对顶角相等)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.[解析]∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,(已知)∴∠1=错误！未找到引用源。
八年级数学上册13.2命题与证明教案(新版)沪科版
13．2 命题与证明第1课时命题1．了解命题的含义．2．对命题的概念有正确的理解．3．会区分命题的条件和结论．重点找出命题的条件(题设)和结论．难点命题概念的理解．一、创设情境，导入新课教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等．根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．同旁内角相等，两直线平行；4．直角都相等．二、合作交流，探究新知学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、4是正确的，句子3是错误的．像这样对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．上面判断性语句1、2、4都是正确的命题，称为真命题，3是错误的命题，称为假命题．教师：在数学中，许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果,,那么,,”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果,,那么,,”的形式，就可以分清它的题设和结论了．例如，命题4可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等．”应用迁移、巩固提高1．教师提出问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,,那么,,”的形式，并分别指出命题的题设和结论．学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．2．教师提出问题2：把下列命题写成“如果,,那么,,”的形式，并说出它们的条件和结论．(1)对顶角相等；(2)如果a＞b，b＞c, 那么a>c.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案．(1)条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等．(2)条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a>c.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题．说出上题的逆命题，并讨论．三、运用新知，深化理解例1 写出下列命题的题设和结论：(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)对顶角相等；(3)三角形内角和等于180°.分析：第(1)题中有“如果”“那么”，条件结论明显，第(2)(3)题可先改写成“如果,,那么,,”的形式，再找出题设和结论．解：(1)题设是“a2＝b2”，结论是“a＝b”；(2)改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．题设：“两个角是对顶角”，结论：“这两个角相等”；(3)改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.题设：“三个角是一个三角形的三个内角”，结论：“三个角的和等于180°”．【归纳总结】通常情况下命题都可以写成“如果,,那么,,”的形式，当条件结论不是很明显的时候，把所给命题改写成“如果,,那么,,”的形式可以帮助我们找出题设和结论，在改写时，要做到语句通顺，措辞准确．例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α＋∠β＝180°；(2)如果△ABC是直角三角形，那么△ABC的内角中一定有两个锐角．分析：(1)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据邻补角的定义判断命题的真假；(2)交换原命题中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命题的逆命题，然后根据三角形的角的关系判断命题的真假．解：(1)逆命题为：如果∠α＋∠β＝180°，那么∠α与∠β是邻补角，此逆命题为假命题；(2)逆命题为：如果一个三角形中有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题为假命题．【归纳总结】将命题的条件与结论互换，得到新命题，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，所举的例子，如果符合命题条件，但不满足命题的结论，称之为反例；要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．四、课堂练习，巩固提高1．教材P77练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题；命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果,,那么,,”的形式；命题的分类：真命题和假命题（要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可）；逆命题：原命题为“如果p，那么q”，逆命题则为“如果q，那么p”．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84习题13.2第1～3题．第2课时证明(一)1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念．2．了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题．重点证明的含义和表述格式．难点按规定格式表述证明的过程．一、创设情境，导入新课教师借助多媒体设备向学生演示，比较线段AB和线段CD的长度．通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性．二、合作交流，探究新知证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由．分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论．教师对具体的说理过程予以详细的板书．小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式．(2)通过教材例3，例4的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求．【归纳总结】证明几何命题的表述格式：①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程．三、运用新知，深化理解例1 如图，下列推理中正确的有( )①因为∠1＝∠2，所以b∥c(同位角相等，两直线平行)；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：结合图形，根据平行线的判定方法逐一进行判断．①因为∠1、∠２不是同位角，所以不能证明b∥c，故错误；②因为∠3＝∠4，所以a∥c(内错角相等，两直线平行)，正确；③因为∠4＋∠5＝180°，所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，正确．故正确的是②③，共2个．故选 C.【归纳总结】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．例2 完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠B.证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°(已知)，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥______(同旁内角互补，两直线平行)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴______∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴EF∥______，∴∠3＝∠B(两直线平行，同位角相等)．分析：求出∠D＋∠EFD＝180°，根据平行线的判定推出AD∥EF，AD∥BC，即可推出答案．∵∠D＝110°，∠EFD＝70°，∴∠D＋∠EFD＝180°，∴AD∥EF.又∵∠1＝∠2，∴AD ∥BC，∴EF∥BC.故答案为：EF，AD，BC.【归纳总结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．反过来就是平行线的判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P78～79练习及P80练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知(1)证明的含义．(2)真命题证明的步骤和格式．(3)思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P84～85习题13.2第5～8题．第3课时证明(二)1.通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程．2.能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来．重点根据具体的证明过程，填写推理的理由．难点将文字语言表述的证明题改写成用图形语言和符号语言表述的证明题．一、创设情境，导入新课在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？(1.度量法； 2.折叠法； 3.剪拼法．)但观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明．二、合作交流，探究新知1.三角形内角和定理的证明(1)理解题意，分清题目的条件和结论；(2)请同学们分别用图形语言和符号语言表述命题．已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证法一：(请学生参照剪贴的方法去证明)证法二：(引导学生仿照证法一添加辅助线转化成平角去证明)除此之外还有哪些证法呢？引导学生积极思考．2．总结证明命题的一般步骤：(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)；(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母；(3)结合图形和命题写出已知和求证；(4)分析因果关系，探索证明思路；(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；(6)检查表述过程是否正确，完善．3．小试牛刀尝试写出下列问题的已知、求证并画图：(1)求证：直角三角形的两个锐角互余．(2)求证：对顶角相等．4．证明：直角三角形的两个锐角互余．(请学生画图口答即可．)推论1：直角三角形两锐角互余．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、运用新知，深化理解例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠３分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.分析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠2＋∠3＝180°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠HPE＋∠2＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.【归纳总结】本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等是解答本题的关键．例2 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？分析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠１与∠２与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：因为AB∥CD，所以∠BAC＋∠DCA＝180°.又因为AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，所以∠1＝12∠BAC，∠2＝12DCA，所以∠1＋∠2＝12(∠BAC＋∠DCA)，所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC为直角三角形．【归纳总结】判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．四、课堂练习，巩固提高1．教材P81～82练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知三角形内角和定理的证明及推论1、2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.六、布置作业请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．第4课时三角形的外角1．了解三角形的外角．2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．一、创设情境，导入新课什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．二、合作交流，探究新知探究问题1：如图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？教师利用投影出示图形，并提出问题．教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．【教学说明】教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．通过学生的归纳，总结，证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程．培养学生的推理论证能力．三、运用新知，深化理解教师出示教材例5，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角．然后师生共同写出规范的解答过程．思考：还有没有其他的方法可以证明？【教学说明】先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．例1 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.分析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【归纳总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．例2 如图，求证：(1)∠BDC>∠A；(2)∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．证法一：(1)连接AD，并延长AD，如图，则∠１是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角．∴∠1>∠3.∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠1＋∠2>∠3＋∠4(不等式的性质)．即：∠BDC>∠BAC.(2)由(1)作图知∠1＝∠3＋∠B，∠2＝∠4＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠B＋∠C(等式的性质)，即：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.证法二：(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E)，如图．则∠BDC是△CDE的一个外角．∴∠BDC>∠DEC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)，∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BDC>∠A(不等式的性质)．(2)由(1)作图知∠BDC＝∠C＋∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∵∠DEC是△ABE的一个外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∴∠BDC＝∠B＋∠C＋∠A(等量代换)．【教学说明】让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明过程中，引导学生作辅助线找到一个过渡角．四、课堂练习，巩固提高1．教材P83练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P85习题13.2第9题．。
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阳光实验学校八年级数学组导学案
执笔人：陈诚审核人: 秦光华时间：2013年9月22日
班级姓名
《命题、定理、证明》导学案
一、学习目标：
知识点： 1了解命题、定理和证明的概念，能区分命题的题设和结论，
2能判断命题的真假
3能对命题的正确性进行证明
重点：命题的判断及区分题设、结论
难点：对命题的正确性进行证明
二、合作探究：自学课本21-23页，5分钟内完成下列问题。
要求先自主学习，
确有困难以组为单位，组长组织讨论解决，仍解决不了的可跨组讨论。
1、叫命题，命题是由和组成，
2数学中的命题常可以写成“如果…，那么…”的形式．
“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是．3命题分为两种和
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做
如果题设成立，不能保证结论一定成立这样的命题叫做
4有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，这样的真命题叫做
写出我们学过的两个基本事实
5有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做
如:平行线判定定理
平行线性质定理
6证明的根据可以是
三、尝试应用
1、判断下列语句是不是命题？
（1）你吃饭了吗？（）（2）两点之间，线段最短。
（）（3）请画出两条互相平行的直线。
（）（4）过直线外一点作已知直线的垂线。
（）（5）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。
（）（6）对顶角不相等。
（）
2、下列命题中的题设是什么？结论是什么？
①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
②如果a＞b，b＞c，那么a=c ③对顶角相等
④同位角相等
3 下列语句是命题吗？如果是请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0
（4）对顶角相等
4判断下列命题的真假。
真的用“√”，假的用“×表示。
1 一个角的补角大于这个角( )
2 相等的两个角是对顶角（）
3 若A=B，则2A =2B （）
4）同旁内角互补（）
四、拓展提升：
1请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．
命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．命题1是真命题还是假命题？
你能画出图形并用符号语言表述命题的题设和结论吗？
请同学们思考如何利用已经学过的定义定理
来证明这个结论呢？
命题2 相等的角是对顶角
判断这个命题的真假
这个命题题设和结论分别是什么？
你能举出反例吗？（画出图形）
五、反思与修正。