2.3.1圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程课前预习案【知识梳理】1、 圆的定义：面内到一定点的距离等于 的点的轨迹是圆，定点是 ，定长是圆的 。
2、 圆的标准方程（1）以A （a,b)为圆心，半径为r 的圆的标准方程是 。
（2）以原点为圆心，半径为r （r>0）的圆的标准方程为 。
3、点与圆的位置关系及判定方法点M(m,n)与圆C ：222)()x a y b r -+-=（的位置关系的判定方法如表：【自主测评】1、以点（2，-1为半径的圆的标准方程是（ ）A 22(2)(1)x y ++-=B 22(2)(1)2x y ++-=C 22(2)(1)2x y -++=D 22(2)(1)x y -++=2、点（2,5）与圆2226x y +=的位置关系是（ ） A 在圆外 B 在圆内 C 在圆上 D 不确定3、已知圆的方程为22(2)(5)16x y -++=，则此圆的圆心为 ， 半径为 。
4、圆心为（-1,2）且过原点的圆的标准方程为 。
课内探究案【典型例题】例1 根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2);（2）圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切；（3）过点（0,1）和点（2,1）变式训练1：满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为坐标原点，半径为2；（2）圆心为点（3,4），且过坐标原点。
例2 求过点A(6,0),B(1,5)，且圆心在直线:2780-+=上的圆的方程。
l x y变式训练2:求过点A(-1,1)，B(1,3)且圆心在x轴上的圆的方程。
例3 赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m）.解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据（2）建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程（3）求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解（4）还原：将运算结果还原为对实际问题的解释当堂检测1、圆心是点C(3,4) ）A 22(3)(4)x y -+-=B 225x y +=C 22(3)(4)5x y +++=D 22(3)(4)5x y -+-= 2、求满足下列条件的圆的标准方程：（1） 已知点A(2,3),B(4,9),圆以线段AB 为直径； （2） 圆心为（0.-3），过点（3,1）；课后拓展案A 组1、求圆的标准方程：（1） 圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切； （2） 圆过点（0,1）和（0，3），半径为1. B 组2、若点P(2，-1)为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 。
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
2.3.1圆的标准方程
圆的标准方程
练习1、（课本P96-B组1#）
求满足下列条件的圆的方程：
(1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径；
(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);
(3) 圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切；
解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆 y
的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
r
所以圆C就是集合
C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，
O
点M适合的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M x
知识点拨：
圆的标准方程
2
（2）点在圆上： (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
r （3）点在圆内： (x0 a)2 ( y0 b)2 2
[点与圆的位置关系]
例题3、设圆 C : x 2 y 2 2ax 2 y (a 1)2 0
(a 0,且a 1), 则坐标原点的位置是（ A）。
(A) 在圆外 (B) 在圆上 （C）在圆内
设圆的方程为：( x a)2 y2 r 2
把点 A(-1,1 ), B(1,3)坐标 代入的圆方程中为：
(1 a)2 12 r 2 (1 a)2 32 r 2
a=2 , r2 = 10
(x 2)2 y2 10
圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
课时作业6：2.3.1 圆的标准方程
2．3.1 圆的标准方程一、基础过关1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，4答案 A2．已知A (0，－5)，B (0，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝2B ．x 2＋(y ＋3)2＝4C ．(x ＋3)2＋y 2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝2答案 B解析 圆的圆心是(0，－3)，半径r ＝12|－5－(－1)|＝2. 故圆的方程为x 2＋(y ＋3)2＝4.3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 圆心坐标为(2，－1)，圆的半径为(2－2)2＋(－1－0)2＝1，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.5．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 答案 5＋2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋ 2.6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝1 解析 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a －3×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，a ＋32＋2×b －12－3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝195，b ＝35.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝1. 7．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)；(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为点C (8，－3)，∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，⇒⎩⎨⎧ r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454. 二、能力提升8．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 A解析 由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r ＝|1＋1－4|12＋12＝2，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.10．与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程为__________________________________________．答案 (x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9解析 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2， ∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14.① ∵所求圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.②又∵所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0.③联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.11．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3. ∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.12．求圆(x －12)2＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程． 解 设所求圆的圆心为(m ，n )，它与(12，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1m －12·1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32. ∴所求圆的圆心坐标为(－2，32)，半径r ＝52. ∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋(y －32)2＝54. 三、探究与拓展13．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 故y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6. 故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.。
高中数学人教B版 2.3.1 圆的标准方程 课后练习、课时练习
一、单选题1. 圆心为且过点的圆的方程是（）A．B．C．D．2. 已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝13. 一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是（）A．B．C．D．4. 已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（）A．72 B．80 C．88 D．1005. 过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程式（）A．B．C．D．6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．B．C．D．二、多选题7. 下列结论正确的是（）A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．圆被直线截得的最短弦长为D．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是8. 圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（）A．B．C．D．三、填空题9. 过直线与直线的交点，圆心为的圆的标准方程是_____.10. 若直线是圆的一条对称轴，则__________.11. 已知圆C经过，两点，且在x轴上截得的弦长等于6，且圆C不过原点，则圆C的方程为___________．12. 机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点都在圆上，则在以线段中点为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向的直角坐标系中，圆的标准方程为_________．四、解答题13. 已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.14. 到两个定点A，B的距离之比为定值的所有的点组成什么形状的曲线？15. 用多种方法推导圆的标准方程：，圆心为，半径为r．16. 根据下列条件，求圆的标准方程：(1)过点和点，半径为．(2)经过两点，圆心在直线上．。
课件5：2.3.1 圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
.
3．以原点为圆心，半径为 r(r＞0)的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2 .
知识 2 点与圆的位置关系及判定方法 【问题导思】
点 A(1,1)、B(3,0)、C( 2， 2)同圆 x2＋y2＝4 的关系如图 所示，则|OA|、|OB|、|OC|同圆的半径 r＝2 什么关系？
【提示】 |OA|<2 |OB|>2 |OC|＝2
点 M(m，n)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置何法：
代数法：
用|CM|与 r 作比较 用圆的标准方程来判定
点M在 圆C上
|CM|＝r
(m－a)2＋(n－b)2＝r2
点M在 圆C外
|CM|＞r
当堂检测
1．圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3 的圆心坐标是( )
A．(2,1)
B．(2，－1)
C．(－2,1)
D．(－2，－1)
【解析】 结合圆的标准形式可知，圆 C 的圆心坐标为(2，
－1)．
【答案】 B
2．以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
类型3 圆的标准方程的应用 例 3 已知某圆拱桥，当水面距拱顶 2 米时，水面宽 12 米， 当水面下降 1 米后，水面宽多少米？ 【思路探究】 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐 标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性 求水面宽度．
【解】以拱顶为坐标原点， 以过拱顶且与圆拱相切的直线为 x 轴，以过拱顶的竖直直线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系， 则 O(0,0)，A(6，－2)． 设圆的标准方程为 x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)． 将 A(6，－2)的坐标代入方程得 r＝10， ∴圆的标准方程为 x2＋(y＋10)2＝100.
课时作业10：2.3.1 圆的标准方程
§2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程一、选择题1．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆答案 D2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 B解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.3．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是() A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 C解析 根据圆在直线x ＋y －2＝0上可排除B 、D ，再把点B 的坐标代入A ，C 选项中，可得C 正确．5．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．a ＜13C ．|a |＜15D ．|a |＜113 答案 D解析 依题意有(5a )2＋144a 2＜1，得169a 2＜1，所以a 2＜1169，即|a |＜113，故选D. 6．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 答案 D解析 设圆心坐标为(a,0)， 由题意知，|a |5＝5，∴|a |＝5. ∵圆C 位于y 轴左侧，∴a ＝－5，∴圆C 的标准方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.7．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得a <0，b >0，即－a >0，－b <0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2答案 B解析 如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.二、填空题9．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为____________________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析已知圆的圆心M的坐标为(－2,1)，关于原点对称的点的坐标为(2，－1)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.10．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．答案5＋ 2解析点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，即最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，为5＋ 2.11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析∵圆心在第一象限，且与x轴相切，∴设圆心坐标为(a,1)，则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，即|4a－3|5＝1，得a＝2或a＝－12(舍去)，∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.三、解答题12．如图，Rt△ABC的顶点坐标A(－2,0)，C(4,0)，直角顶点B在y轴上，M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的标准方程．解因为直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，C(4,0)，直角顶点B在y轴上，M为直角三角形ABC外接圆的圆心，则点M为AC中点，所以圆心M(1,0)，又因为半径r＝|AM|＝3，所以圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9.13．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C 与两坐标轴都相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)求圆C 关于直线x －y ＋2＝0对称的圆的标准方程．解 (1)由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(－2,2)，半径为2，所以圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.(2)设(－2,2)关于直线x －y ＋2＝0的对称点为(a ，b )．则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －22－b ＋22＋2＝0，b －2a ＋2＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 故所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝4.四、探究与拓展14．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1 答案 C解析 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，得圆心C 1的坐标为(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.15．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求(1)周长最小的圆的标准方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解 (1)当AB 为直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小．即圆以AB 的中点(0,1)为圆心，半径r ＝12|AB |＝10. 则圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)由于AB 的斜率为k ＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.即圆心坐标为C (3,2)． 又r ＝|AC |＝(3－1)2＋(2＋2)2＝2 5.所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.。
2.3.1 圆的标准方程
张喜林制2.3.1 圆的标准方程教材知识检索考点知识清单1．圆的定义平面内到一定点的距离等于 的点的轨迹是 ．定点为____，定长是2．圆的标准方程设圆心坐标为（a ，6），半径为r ，则圆的标准方程为____，若圆心在坐标原点，则圆的方程为3．点与圆的位置关系设圆的标准方程为,)()(222r b y a x =-+-有一点M ，其坐标为(m ，n)，则(1)点M 在圆上⇔ ；(2)点M 在圆内⇔ ；(3)点M 在圆外⇔ 。
要点核心解读1．几种特殊形式的圆的方程2．如何根据条件求圆的标准方程要求圆的标准方程必须求出圆心坐标和半径，确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组．求a 、b 、r 的一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为-+-y a x （2)(;)22r b =(2)根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；(3)解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到所求圆的方程， 另外，在求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质，这样可大大地减少计算量，一般地，圆心的三个重要几何性质为：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心在某一条弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．3．点与圆的位置关系设点),(00y x P 到圆222)()(r b y a x =-+-的圆心C 的距离为d ，则.)()(2020b y a x d -+-=(1)当d=r 即22020)()(r b y a x =-+-时，点P 在圆上；(2)当d>r 即22020)()(r b y a x >-+-时，点P 在圆外；(3)当d<r 即22020)()(r b y a x <-+-时，点P 在圆内．典例分类剖析考点1 点与圆的位置关系命题规律已知点的坐标和圆的方程，判断点在圆内、圆上或圆外．[例1] 已知两点)9,4(1P 和),3,6(2P 求以21P P 为直径的圆的方程，并判断点M(6，9)和点Q(5，3)在圆上、圆外或圆内？[答案] 由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径,10)39()64(21||212221=-+-⨯==P P r ∴ 圆的方程为.10)6()5(22=-+-y x ,10)63()55(,10)69()56(2222<-+-=-+-∴ 点M 在圆上，点Q 在圆内．母题迁移 1．(1)点)5,(2m P 与圆2422=+y x 的位置关系是( )．A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定(2)设P （x ，y ）是曲线4)4(22=++y x 上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为( )226.+A 26.B 5.C 6.D考点2 求圆的标准方程命题规律通过求圆心及圆的半径，确定圆的标准方程．[例2] 求过点),5,2(),3,2(---B A 且圆心在直线032=--y x 上的圆的方程．[解析] 设法求出圆的圆心和半径即可．[答案] 解法一：由圆心在直线032=--y x 上，可设圆心坐标为),,32(b b M +再由|,|||MB MA = 得,)5(]2)32[()3(]2)32[(2222++++=++-+b b b b化简得.2,02-==+b b∴ 圆心为),2,1(--M 半径为,10)23()12(||=+-++=MA∴ 所求圆的方程为.10)2()1(22=+++y x解法二： ∵ 圆过)5,2()3,2(---B A 、两点，∴ 圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的垂直平分线方程为.042=++y x设所求圆的圆心坐标为C(a ，b)，则有 ⎩⎨⎧=++=--,042,032b a b a 解得 ⎩⎨⎧-=-=.2,1b a ),2,1(--∴C 半径=+-++==)23()12(||CA r .10∴ 所求圆的方程为 .10)2()1(22=+++y x[点拨] 点在一条直线上，将点用一个参变量表示，是一种好的方法，这种方法有着很广泛的应用，应重点掌握并应用于解题之中．母题迁移 2．根据下列条件，求圆的方程，①经过点A(6，5)，B(O ，1)两点，并且圆心在直线+x 30910=+y 上，②经过点)2,3(),4,1(B A -且圆心在y 轴上的圆，考点3 求圆的方程命题规律已知圆的切线，求圆的方程．[例3] 求与圆0222=-+x y x 外切，且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-的圆的方程．[解析] 使用圆的标准方程，由题设列出方程组，求解待定系数．[答案] 设所求圆的方程为.)()(222r b y a x =-+-圆0222=-+x y x 的圆心为(1，0)，半径为1． 由两圆外切得,1)0()1(22+=-+-r b a ① 由于圆与直线03=+y x 相切于点),3,3(-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-⋅-+∴③②.)3(1|3|,1)31(332r b a a b 由②得),4(3-=a b 代入③得.|62|-=a r当a>3时，将)4(3,62-=-=a b a r 代入①得+-2)1(a ,)52()4(322-=-a a 解得,4=a 代入②及62-=a r 得,0=b ,2=r当a<3时，将)4(3),62(-=--=a b a r 代入①得a=0，从而求得.6,34=-=r b 故所求圆的方程为.36)34(/4)4(2222=++⋅=+-y kx y x[点拨] 确定圆的方程需要三个独立条件．“选标准、定参数”是解题的基本方法，其中，选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．母题迁移 3．已知圆C 的圆心在直线01:1=+-y x l 上，该圆与直线0943=+-y x 相切，且截直线0334:2=+-y x l 所得的弦长为2，求圆C 的方程．优化分层测讯学业水平测试1．以点(2，-1)为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )．2)1()2(22=-++⋅y x A 2)1()2(22=-++⋅y x B2)1()2.(22=++-y x C 2)1()2.(22=++-y x D2．点)12,15(a a +在圆1)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是( )． 1||.<a A 131.<a B 51||.<a C 131||.<a D 3．经过两点)2,3(),4,1(B A -且圆心在y 轴上的圆的方程是( )．10)1(.22=++y x A 10)1.(22=+-y x B 10)1(.22=-+y x C 10)1(22=++⋅y x D4．已知两点),1,6()5,4(---B A 、则以线段AB 为直径的圆的方程是222)().(5r b y a x =-+-过原点，则a 、b 、r 应满足的条件是6．求经过点P(l ，1)和坐标原点，并且圆心在直线++y x 3201=上的圆的标准方程．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．(2010年青岛)过点P(4，2)作圆422=+y x 的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )．5)1()2(22=-+-⋅y x A 20)2()4.(22=-+-y x B5)1()2.(22=+++y x C 20)2()4.(22=+++y x D2．如图2 -3 -1 -1，定圆半径为a ，圆心为(b ，c)，则直线++by ax 0=c 与01=+-y x 的交点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2008年山东高考）若圆C 的半径为1，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，圆心在第一象限，则该圆的标准方程是( )．1)37()3.(22=-+-y x A 1)1()2.(22=-+-y x B 1)3()1.(22=-+-y x C 1)1()23.(22=-+-y x D 4．（2009年重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )．1)2(.22=++y x A 1)2(.22=-+y x B 1)3()1(22=-+-⋅y x C 1)3(.22=-+y x D5．已知动点M 到定点(8，O)的距离等于M 到点(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )．32.22=+y x A 16.22=+y x B 16)1.(22=+-y x C 16)1(.22=-+y x D6．点(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围为( )． 11.<<-a A 10.<<a B 11.>-<a a C 或 1.±=a D7．（2011年黄冈模拟）若直线03=++a y x 过圆-++x y x 22204=y 的圆心，则a 的值为( )．1.-A 1.B 3.C 3.-D8．若圆422=+y x 和圆4)2()2(22=-++y x 关于直线L 对称，则直线L 的芳程是( )． 0.=+y x A 02.=-+y x B 02.=--y x C 02.=+-y x D二、填空题（5分x4 =20分）9．与圆16)3()2(22=++-y x 同心且过点P( -1，1)的圆的方程为10．圆1)6()2(22=-++y x 关于直线0543:=+-y x l 的对称圆的方程是11．以(3，4)为圆心并且与07434=--y x 相切的圆的方程是12.与x 轴切于(5，0)并在y 轴上截得的弦长为10的圆的方程为三、解答题（10分x4 =40分）13.求圆心在直线x y 4-=上，且与直线01:=-+y x l 相切于点)2,3(-P 的圆的方程．14.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为,72求圆的方程．15.求经过点A （-2，-4），且与直线0263:=-+y x l 相切于点B(8，6)的圆的方程．16.若圆C 经过坐标原点，且圆心在直线32+-=x y 上运动，求当半径最小时圆的方程．。
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2.3.1 圆的标准方程（课前预习案）
班级_____姓名____编写：孙娜时间：2014.11.8 编号：46
【课前预习】
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
问题2：右图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了
【学生活动】
问题3如何建立圆的方程呢？设右图中点C的坐标为（a，b），圆的半径为r.
（1）找等量关系
（2）化简：
【数学建构】
1、圆的标准方程：，这个方程表示以点为圆心，为半径的圆。
问题4：和直线的方程相比较，圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
自学检测：写出下列圆的圆心和半径：
(1) (x-3)2+(y-2)2=5；(2) (x+4)2+(y+3)2=7；(3) (x+2)2+ y2=4
课内探究案
【学习目标】
1.了解确定圆的条件，会根据此条件确定圆的标准方程；
2.能利用已知条件，确定圆心和半径，从而写出标准方程
学法指导：从确定圆的条件理解圆的标准方程，一个圆只要圆心和半径给定，那么圆就被确定，于是在写标准方程时，只要求出半径和圆心，即可按格式写出标准方程.
【典例分析】
【例1】写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C(3,4)
（3）经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；（4）圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0
相切。
【例2】已知两点
1(4,9)
P和
2(6,3)
P，求以
12
PP为直径的圆的方程；并判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
【例3】赵州桥的跨度是37.02 m，圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆方程.
【例4】求下列圆的方程：
(1)圆心在直线y=－2x上，且与直线y=1－x相切于点(2，－1).
(2)圆心为C(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为
课后拓展案
A组
1.已知圆的方程是(x－2)2+(y－3)2=4，则点P(3，2) （）
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
2.圆心在点P(－2，3)，并且与y轴相切的圆的方程是（）
A.(x－2)2+(y+3)2=4
B.(x+2)2+(y－3)2=4
C.(x－2)2+(y+3)2=9
D.(x+2)2+(y－3)2=9
3.过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程是（）
A.(x－3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y－1)2=4
C.(x－1)2+(y－1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
4.方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（）
A.以(a,b)为圆心的圆
B.点(a,b)
C.以(－a,－b)为圆心的圆
D.点(－a,－b)
5.若点P(1,－3)在圆x2+y2=m2上,则m的值为_______.
6若点P(5a+1,12a)在圆(x－1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是_______.
7.根据下列条件，求圆的方程.
(1)圆心在点C(－2，1)，并过点A(2，－2)；
(2)圆心在点C(1，3)，并与直线3x－4y－6=0相切；
C--为圆心，并且与y轴相切的圆的方程。
（3）求以点(1,5)
（4）过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
B组
探究：一动点在圆x2+y2=1上运动,它与定点B(3,2)连线的中点轨迹方程是（）
A.(x+3)2+y2=4
B.(x－6)2+(y－4)2=1
C.(2x－3)2+(2y－2)2=1
D.(x－3)2+(y－2)2=1
探究：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？。