数值分析第1章1.1
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数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析基础
数值分析基础整理：朱华伟参考文献：张卫国讲义一、绪论1.1数值分析理论1、课程介绍数值分析：是指用计算机求解各类数学问题的方法与理论。
数值分析中需要考虑的问题：a、理论可靠性：指由数值分析算法得出的结果值不值得信赖；b、计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性是指算法运行时间的长短；空间复杂性是指数据占据空间的大小，这里理解为数据占据计算机存储空间的大小。
c、结构要好：指实现算法的程序可移植性要好，可修改性要好等等。
早期主要考虑计算复杂性，现在主要考虑结构性要好，计算复杂度适中即可，也就是，在保证结构性要好的同时，计算复杂度要尽可能的小。
2、主要内容主要的数学模型：a、方程求根模型，如，一元二次方程。
可以用迭代法求解，迭即是重复，代即是代入。
b、线性方程组模型，可以用迭代法，直接法求解。
c、特征值的特征向量模型。
d、插值方法与数值微分模型。
e、数值逼近与数值拟合模型。
f 、 数值积分模型。
g 、 微分方程组的解的模型。
1.2误差及有效数字 1、误差的来源解决一个实际问题的过程： 分析问题假设、简化、抽象数学模型构造算法 编程求解误差有四种：a 、模型误差：由数学模型与实际问题的差别所造成。
b 、方法（算法）误差：有些问题需要截断进行处理，这样就会产生余项误差。
c 、舍入误差：计算机存储时出现的误差。
d 、观测（测量）误差：在进行实际数据的测量时产生的误差。
在数值分析中我们只关心舍入误差和观测误差。
2、误差的度量 有三种方式：a 、绝对误差与绝对误差界， 是绝对误差的界， 为准确值，x 为 的一个近似值。
，n 的取值取决于具体的b 、相对误差与相对误差界， 是相对误差的界。
通常c、有效数字有两种方法表示：1、如果舍去部分不超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位；如果舍去部分超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位的前一位。
2、规格法设，k>0且取整，取1~9，取0~9，若=，则x有n位有效数字，的取值取决于方法1，然后经过换算即可求出n。
数值分析 第1章 绪论 张铁版
3.绝对值太小的数不宜作除数 例7 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
1.00105 x 1.00y 1.00 1.00x 1.00y 2.00
105 x 1105
1.00001 0.9999899
(2) (1) 10
1.00105 x 1.00 y 1.00 解： x得， 消 5 5 5 (1.00 1.0010 ) y (2.00 1.0010 )
算法1:直接计算 n(n 1) 乘法次数：1+2+ +n= 2 加法次数：n
算法2：秦九韶算法(Hernor算法)：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n - 1, ,0) P ( x) S . 0 n
乘法次数：n，加法次数：n
( ) n1 Rn ( x) x (n 1)! f
( n1)
截断误差：
舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
§1.3 绝对误差、相对误差与有效数字
定义1 绝对误差，简称误差：
e x * x, 其中x为准确值x *的近似值.
误差限： | e | 的一个上界,即 x * x .
5
y
2 105 1105
1.00 10 x 1.00 y 1.00 x* 0.00, y* 1.00 y 1.00
错.为什么,怎么办？
４.简化计算程序，减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例8 计算多项式的值 Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
1 1 e1 * I 9 0.0684, ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10 ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n
数值分析-第一章全部
如果一个近似值是由精确值经四舍五入得 到的，那么，从这个近似值的末尾数向前数 起直到再无非零数字止，所数到的数字均为 有效数字
一般来说，绝对误差与小数位数有关， 相对误差与有效数字位数有关
定理 1.7
E
2 1.4142
就是舍入误差。
1.41421351.4142 0.0000135
模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截 断误差将结合具体算法讨论
分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是： 误差估计问题
x2
x2
x 2
截 断 误 差
0 1
3. 观测误差 初始数据大多数是由观测而得到的。由于观 测手段的限制，得到的数据必然有误差 4. 舍入误差 以计算机为工具进行数值运算时，由于计算 机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在 计算过程中也可能产生误差 产生的误差 例如， 用1.4142近似代替 2 ，
a 10 k 0. a1a2 an
（1-14）
其中 ai(i=1,2,…,n)是0到9中的 可以是有限或无限小数形式， 一个数字，a1 0, k为整数，n为正整数，如果其绝对误差界
1 x a 10 k n 2
则称a为x的具有n位有效数字的近似值。
（1-15）
有 对于 e 2.71828182，下面的各个值的有效数字的位数。 效 1 取 a 2.718 10 0.2718，其绝对误差界为 数 1 3 k n 3 n 4, 10 ， 字 e a 0.0003 2 位 a 是 e 的具有4位有效字的近似值。 数 1 与 取 a1 2.7182 10 0.27182 , 其绝对误差界为 小 1 3 10 ， e a1 0.00009 数 2 点 故 a1是 e 的具有4位有效数字的近似值。 的 取 a 0.02718 10 1 0.2718 作为 x 0.0271828182 位 的近似值， 1 臵 x a 0.000002 10 5 k n 5 n 4 。 2 无 也具有4位有效数字。 关
1.1数值分析的研究对象和特点
用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法， 用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多方 面的理论题，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外， 面的理论题，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，一个 数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。 数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值计算方 法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。 法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。 作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法外， 作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法外， 各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们首先要注 各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。 意掌握方法的基本原理和思想， 意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的 结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。 结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。 其次， 其次，要 通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方法 通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题， 的计算过程。最后，为了掌握本课程的内容， 的计算过程。最后，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理论 分析与计算练习。 分析与计算练习。
第一章 绪论 现在， 现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然学科和工程技术科学 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 与其他学科的联系十分紧密。 与其他学科的联系十分紧密。 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（ 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（包括算术 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。同一个数学问题可 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。评价一个算法的好坏主要有两 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 我们自然应该选择代 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性， 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性，包括时间复 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。
第一章 绪论 现在， 现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然学科和工程技术科学 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 与其他学科的联系十分紧密。 与其他学科的联系十分紧密。 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（ 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（包括算术 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。同一个数学问题可 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。评价一个算法的好坏主要有两 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 我们自然应该选择代 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性， 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性，包括时间复 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。
数值分析1.1
3. 数值分析的特点 (1)面向计算机，要根据计算机特点 设计切实可行的有效算法. (2) 有可靠的理论分析，能任意逼 近并达到精度要求，对近似计算 要保证收敛性和数值稳定性.
(3) 要有好的计算复杂性，时间复 杂性好是指节省时间，空间复杂 性好是指节省存贮量，这也是建 立算法要研究的问题. (4) 要有数值试验，即任何一个算 法除了从理论上要满足上述三点 外，还要通过数值试验证明是行 之有效的.
2.0001-1.9999
=0.0002 =0.02%
但对应的解为
x1 1 x2 1
x1 3 x 2 1
由此看出系数矩阵完全相同，而常数项矩 阵有微小差别的方程组，其解竟然相差得 很大！ 解的最大误差= 2 = 200%
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个 地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着 野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下 雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场 上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂， 这一罕见的现象将在那里出现。 连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身 穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命 令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这 是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野 战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在 营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场 前往礼堂。
数值分析
误差：e( x1 x2 ) x1 e( x2 *) x2 e( x1 ) x1 x2 x1 x2 x1 e( x2 *) x2 e( x1 ) e( x1 )e( x2 *) 误差限： ( x x ) x ( x2 *) x2 ( x )
* * 1 2 * 1 * * 1 * * * * * * * * * * *
到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字.
即
x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) 1 x x * 10mn1 2
(2.1)
其中a1 0 . 并且 (2.2)
例1
• 按四舍五入写出下述各数具有5位有效数字的近似 数： 187.9325 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8
加法和减法结果的误差
(x
* 1
x2 ) ( x1 x2 )
* 1
*
(x
x1 ) ( x2 x2 )
*
*
e( x ) e( x2 )
* 1
误差限： (x x ) (x ) (x )
* 1 * 2 * 1 * 2
乘法的结果误差
x x x1 x2 x x ( x x1 x )(x2 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 e( x1 ))(x2 e( x2 )) x x x x x e( x2 ) x2 e( x ) e( x )e( x2 ) x e ( x2 ) x2 e ( x ) e ( x ) e ( x 2 )
例2 重力加速度
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 m n 1 1 * 10 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， m 0, n 3. 绝对误差限 1 102. 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， m 3, n 3. 绝对误差限 2 105. 2 而相对误差限相同：
* * 1 2 * 1 * * 1 * * * * * * * * * * *
到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字.
即
x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) 1 x x * 10mn1 2
(2.1)
其中a1 0 . 并且 (2.2)
例1
• 按四舍五入写出下述各数具有5位有效数字的近似 数： 187.9325 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8
加法和减法结果的误差
(x
* 1
x2 ) ( x1 x2 )
* 1
*
(x
x1 ) ( x2 x2 )
*
*
e( x ) e( x2 )
* 1
误差限： (x x ) (x ) (x )
* 1 * 2 * 1 * 2
乘法的结果误差
x x x1 x2 x x ( x x1 x )(x2 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 e( x1 ))(x2 e( x2 )) x x x x x e( x2 ) x2 e( x ) e( x )e( x2 ) x e ( x2 ) x2 e ( x ) e ( x ) e ( x 2 )
例2 重力加速度
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 m n 1 1 * 10 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， m 0, n 3. 绝对误差限 1 102. 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， m 3, n 3. 绝对误差限 2 105. 2 而相对误差限相同：
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代科学发展的三种主要手段。
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由实际问题建立的数学模型往往不能求其准确解。这时需 要用数值分析方法求其数值近似解。这高度依赖于计算机技术 的发展。可以说没有计算机，就没有计算数学，而没有计算数 学也就没有科学计算。
三、计算方法与计算机
在计算机出现之前，计算方法只能计算规模较小的问题， 计算方法还仅是数学的一部分，并未形成一个单独的学科，方 法大都以数学家的名字命名，如牛顿插值、高斯消元、秦九韶 算法及辛普森公式等。计算机出现后，计算方法才真正成为一 门独立的学科——计算数学。计算机和计算方法的进步使计算 能力大幅度提高。两者相比，计算方法更重要。计算机和计算 方法之间也是相互促进。
工科研究生公共课程《数值分析》
教材 (Text Book)
数值分析
李庆扬、王能超和易大义 编著（清华大学出版社， 第5版 ）
参考书目 (Reference)
Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
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5、 通信卫星覆盖地球面积
实际问题
将地球考虑成 一个球体, 设 数学模型 R为地球半 径,h为卫星高 算法设计 度,D为覆盖面 在平面的投影
程序、上机
D
R R2 x 2 y 2
dxdy
结果
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二、计算数学与科学计算
由于计算机及科学技术的发展，求解各种数
学问题的数值方法越来越多地应用于科学技术各
领域，由此产生了许多交叉学科，如计算力学、
计算化学、计算物理、计算生物学、计算经济学
等，这就叫科学计算。计算数学研究它们适于计
算机编程的算法。计算数学是各门计算性学科的
共性基础。科学计算与理论研究和科学实验是现
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插值法 数值逼近 本 课 程 的 内 容 数据拟合的最小二乘法 数值积分和数值微分 线性方程组的求解
数值代数
非线性方程的求解 矩阵特征值*
常微分方程的数值方法
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第1章 数值分析 与科学计算引论
内容提要： 1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计中的技术
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五、学习方法
1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法
对于初学者来说，可能会觉得数值分析公式多、理论分析复杂。
3.重视各种方法的误差分析
4.掌握一些经典算法的代码
5.注意与实际问题相联系
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六、数值分析的实际应用
一个或多个完整的进程。通过它们将输入元变成了一个
输出元。面向计算机的算法可分为串行和并行算法两类。
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数值分析就是研究数值问题的算法，其特点为：
• 面向计算机：要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
• 有可靠的理论分析：能任意逼近并达到精度要求，对近似算 法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些 都建立在相应数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分 析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 • 要有好的计算复杂性：时间复杂性好是指节省时间，空间复 杂性好是指节省存储空间，这也是建立算法要研究的问题， 它关系到算法能否在计算机上实现。 • 要有数值实验：即任何一个算法除了从理论上要满足上述三 点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
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数值分析解决实际问题的方法步骤：
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计 实例 求
2
上机计算
问题的解
方程求根
x 2
2
牛顿法 x
k 1
=
1 2 ( xk ) 2 xk
程序设计
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上机计算
解
x 0 1 ， x1 1.5,
x 2 1.417,
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1.1 数uction
一、数学科学 与数值分析
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数学是科学之母。科学技术离不开 数学，通过建立数学模型与数学产生紧 密联系。数学以各种形式应用于科学技 术各领域。 数值分析也叫计算数学、计算方法， 是数学的一个分支，研究用计算机求解 各种数学问题的数值计算方法及其理论 与软件实现，是一门内容丰富、研究方 法深刻、与计算机紧密结合实用性较强 的数学课程。以从科学与工程问题中抽 象归纳出来的数学问题为研究对象。
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工科研究生公共课程数学系列
科学和工程计算基础 施妙根和顾丽珍编著 （清华大学出版社） 计算方法 钱焕延和赵晓彬编著 （西安电子科技大学出版社） 数值计算引论 J. THOMAS KING著，林成森、颜起居和李明霞译
（南京大学出版社）
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《数值分析》课程体系
第1章 第2章
数值分析与科学计算引论 插值法
第3 章
第4章 第5章 第7章 第9章
函数逼近与快速傅里叶变换
数值积分与数值微分 线性方程的直接解法 非线性方程与方程组的数值解法 常微分方程初值问题数值解法
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四、数值问题与算法 数值问题： 能用计算机计算的数值问题是指可以
对输入数据与输出数据之间函数关系进行一个确定而无 歧义的描述，输入输出数据可用有限维向量表示。
算法(Algorithm)：数值问题可用各种数值方法求
解，这些数值方法就是算法。具体指按规定顺序执行的