数值分析(计算方法)第一章
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
数值分析第1章
4
误差来源
• • • • 模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差
2014/11/24
© Wuhan University Confidential
5
来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
2014/11/24
数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * ( x1* x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * ( x1* x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x | ( x ) | x | ( x * * 1 2 2 1) ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
3
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。
2014/11/24
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x x e 1 x ห้องสมุดไป่ตู้ 2! 3!
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
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来源四: 舍入误差
• 计算机长有限 3.14159
• 注意:少量运算的舍入误差一般是微不足道的,但是 在计算 机上完成千白万次运算后 误差的积累很惊人.
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算11n x nI ex e dx -=⎰(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式111101,1,2,e 1.nn x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 12,,I I …的值。
要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和21(1)(1)1(1),2!!ke k ---≈+-+++…并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差14711|0.3679|108!4R e --=-≤<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为000.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 010.6321A 1nn I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.表1 计算结果从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得111110001011(im )(max)11x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n nE I I =- 满足关系1,1,2,n n E nE n -=-=….由此容易推得0(1)!n n E n E =-，这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若401||102E -=⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
数值分析_第1章
x * 的第一位非零数字为止的所有数字
称为 有效数字。 x * 的有效数字。
（关心有效数字的位数） 关心有效数字的位数）
数学语言描述： 数学语言描述：
设 x = ± 0 .a 1 a 2 L × 10 m ,
x * = ± 0 .a1 a 2 L a n × 10 m
= ± ( a 1 × 10 − 1 + a 2 × பைடு நூலகம்0 − 2 L a n × 10 − n ) × 10 m ,
1 而 ε r ( x) = , 8726
y* = 0.8727 × 10 99 .
1 ε r ( y) = . 8726
ε ( x) = 0.0001×10 −99 , ε ( y ) = 0.0001×1099 .
三．有效数字 如果近似值
x * 的绝对误差限不超过
的某一位上的半个单位， x * 的某一位上的半个单位，则从该位起到
取 x * = xR = sR ×10 P , 则xR为 x 的舍入, xR ∈ F 且
1 1 −t P ×10 ×10 ×10−t xR − x 2 1 1−t 1 −t 2 ≤ = ≤ ×10 ×10 = ×10 . P x s ×10 s 2 2
p -1
s = 0 . d1 d 2 L d t L
1 (19) ( ≤ 10) s (20)
d1 ≠ 0 , d i = 0,1, L 9, i = 2, 3, L ,
0 . d1d 2 L d t 1.舍入法 : sR = 0 . d1d 2 L d t + 10 −t
0 ≤ d t +1 ≤ 4 < 5 1 d t +1 ≥ 5 = ×10 2
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
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1
0
1 dx ln 6 ln 5 ln( 1.2) x5
递推公式
I 0 ln( 1.2) 1 I n 5I n 1 , n
（1.8）
( n 1, 2, , 8)
按 (1.8) 式就可以逐步算出
I1 1 5I 0 0.09
1 I 2 5I 1 0.05 2
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时， 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取 单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
b b 2 4ac x1 10 9 , 2a b b 2 4ac x2 0 2a
b sign(b) b 2 4ac 109 算法2：先解出 x1 2a c c 109 再利用 x1 x2 x2 9 1 a a x1 10
算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究 科 学 实 验 科 学 计 算
计算数学
算法的研究和应用正是本课程的主题 ！
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题
机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数
来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多 的有限小数，如：
= 3.1415926…
x = 8.12345
1 0.3333 3
四舍五入后……
1 3.1416 0.0000074
1 2 0.333 0.000033 3
数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解： 常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法
教材 数值计算方法 徐涛 参考书目
编著 （吉林科学技术出版社）
--会用计算机进行科学计算
建立数学模型
选取计算方法
编写上机程序
计算得出结果
科学计算解题过程
一、计算数学的产生和早期发展
计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅
是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是
计算问题。
二、二十世纪计算数学的发展
数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。
1.45米的 绝对误差=？
不知道！
但实际问题往往可以估计出 e(x) 不超过某个正数，即，
x x * ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
就可以知道x范围为
x x x
* *
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
d 2s m 2 mg dt
其中 g 为重力加速度。
（1.1）
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差
求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。
例8：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算
1 + 2 + 3 + … + 40 + 109
4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。
一般来说，计算机处理下列运算的速度为
, , exp
5.算法的递推性
计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推 化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程 的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的 优点是简化结构和节省计算量。 多项式求值：给定的x 求下列n 次多项多的值。
输出无解信息
二、算法的优劣
计算量小 例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？ n=100?
存贮量少 逻辑结构简单
§3 数值计算中的误差
一、 误差的背景介绍
S4 输出计算的结果
x1 , x2
开始 输入
a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21 Yes No
D=0
x1 (b1 a 22 b2 a12 ) / D x 2 (b2 a11 b1 a 21 ) / D
输出 x1, x2 结 束
2、将（1.10）改写为
y x 1 x 1 x 1 x
则
y = 0.01581
类似地
sin( x ) sin x 2 cos x sin 2 2
x ln x ln y ln y
2. 绝对值太小的数不宜作除数
例6：
2.7182 2718.2 0.001
(i) (ii)
高斯消 去法
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
x y 17 (II) (4 2) y 48 - 17 2
48 17 2 y 7 只小兔 42
例：求解二元一次联立方程组
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果
D 0 ，则令计算机计算 x1 b1a22 b2 a12 D , x2 b2（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
P( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐项求和法； 3. 秦九韶方法；
例9：用秦和韶方法求多项式
P( x) 1 x 0.5x 2 0.16667 x 3 0.04167 x 4 0.00833x 5
如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时
2.7182 2471.1 0.0011
3. 避免大数吃小数
例7：用单精度计算 x 2 (109 1) x 109 0 的根。 精确解为
x1 109 , x2 1
b b 2 4ac x 2a
算法1：利用求根公式
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，
要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿， 应该有
代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17 ( I) 2 x 4 y 48
(-2)*(i) +(ii) , 得
3.14159 10 5
1 2
有效数位为3位 有效数位为5位 有效数位为4位
3.1416 0.0000074
3.1415 0.0000926
误差的传播与积累
例3：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
即x落在 [ x * , x * ] 内。在应用上，常常采用下列 写法来刻划x*的精度。
x x*
2．相对误差和相对误差限 定义2：设x是准确值，x*是近似值，称
e x x* x x
（1.6）
为近似值x的相对误差，相应地，若正数 r，
满足
x x* r x
（1.9）
不妨设I9 I10，于是由
1 1 I9 I 10 50 5
可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得
I8 0.019
I6 0.024
I7 0.021
I8 0.028
I4 0.034
I2 0.058
I3 0.043
I1 0.088
稳定的算法 ！
3 x 8.1235 0.000044
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！
二、绝对误差、相对误差和有效数字
1．绝对误差与绝对误差限 定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称
e( x) x x *
（1.5）
是近似值x的绝对误差,简称为误差。
数 值 分析
中国计量学院理学院
§1 数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机
计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；
计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术
现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；
没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；
软件的核心就是算法。
令
D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入
a11, a12 , a21, a22 , b1, b2 S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果
D0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则
D0
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 x2 D D