数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。

有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。

注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。

另外它还有编制不出通用程序的困难。

有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。

是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。

1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。

其中的未知数是网格点上的因变量的数值。

为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。

广义差分法应用最多的领域之一是电磁场的计算，另一个应用最多也最成功的领域是流体力学和地下流体力学。

广义差分法的优点：既最大限度的保持了差分法的简单性，又兼有有限元法的精确性(1)网格剖分灵活(包括三角剖分、四边形剖分)，几何误差小，便于处理自然边值条件．(2)工作量比有限差分法大，比有限元法小．但精确度比有限差分法高，与有限元法的收敛阶相同(计算表明精确性略低于有限元法)．(3)保持物理量的局部守恒．这对流体及地下流体计算是重要的．(4)广义差分法的理论几乎和有限元法达到同样完善的程度．特别是，由一次元广义差分法的误差估计便导致有限差分法和不规刚网格差分法的一般理论．(5)广义差分法的变分形式(广义Galerkin形式)有助于沟通有限元法和差分法的理论和算法．有限体积法和有限差分法的区别：一个区别就是有限体积法的截断误差是不定的（跟取的相邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截断误差（微分方法离散方程）。

有限体积法和有限差分法最本质的区别是，前者是根据积分方程推导出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决与对导数处理的精度，一般有限体积法总体的精度为二阶，有限体积法对于守恒型方程导出的离散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助Taylor展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度也和有限体积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一些。

当然二者也有联系，有时导出的形式一样，但是概念上是不一样的。

有限元法（FEM：Finite Element Method）是R.Courant于1943年首先提出的，20世纪50年代有航空结构工程师们说发展，随后逐渐波及到土木结构工程，到了60年代，在一切连续领域都愈来愈广泛地得到应用。

有限元方法侧重于定态问题（椭圆形问题）。

它是用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。

有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构（由若干杆件组成的结构，在土木、建筑、机械、船舶、水利等工程中应用很广）的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。

在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

（1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；（2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；（3）从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。

有限元法方面的经典文献有Ciarlet的《The Finite Element Method for Elliptic Problems》和Brenner & Scott的《Mathematical heory of the Finite Element Method》。

有限元方法的优点：有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。

它可以用任意形状的网格分割区域，还可以根据场函数的需要疏密有致地、自如地布置节点，因而对区域的形状有较大的适应性，另外，有限元方法在实用上更大的优越性还在于，它与大容量的计算机相结合，可以编制通用的计算程序。

有限元方法的不足：工作量巨大！注：有限元方法是把微分方程定解问题转化为求一个等价的“变分问题”，其基本问题可以归纳为：1)把微分方程定解问题转化为变分形式2)选定单元的形状，对求解区域做剖分3)构造基函数或者单元形状函数4)形成有限元方程5)求解有限元方程边界元法（目前在很多工程技术问题应用）是在有限元之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。

又称边界积分方程。

它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法，谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。

其基本思想是把解近似地展开成平滑函数(一般是正交多项式)的有限级数展开式﹐即所谓解的近似谱展开式﹐再根据此展开式和原方程﹐求出展开式系数的方程组。

谱方法实质上是标准的分离变量技术的一种推广。

一般多取切比雪夫多项式和勒让德多项式作为近似展开式的基函数。

对于周期性边界条件﹐用傅里叶级数和调和级数比较方便。

谱方法的精度﹐直接取决于级数展开式的项数。

利用快速傅里叶变换技术﹐可迅速完成求解过程﹐比任何有限阶的有限差分解都更快地收敛到真解。

一般说﹐谱方法远比普通一﹑二阶差分法准确。

由于快速傅里叶变换之类的技术不断发展﹐谱方法的运算量越来越少﹐一般是很合算的。

特别是对于二维以上的问题﹐用差分法计算必须设置足够多的网格点﹐造成计算量的增加﹐而用谱方法一般不需取太多的项就可得到较高精度的解。

因此谱方法在计算流体力学复杂流场的问题中有广泛应用。

双曲型方程：考虑常系数方程0,,0u ua x R t t x∂∂+=∈>∂∂ 其中a 为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。

1. 迎风格式：11110,00,0n nn nj jj j n nn njjj ju u u u a a h uuu u aa hττ+-++--+=>--+=<这两个差分格式都是条件稳定的，都具有一阶精度的。

2.二阶迎风格式：1112()(1)(2)2n n n nn n njj j j j j j a u u a u u a u u u λλλ+---=-----+ 该格式是二阶精度，条件稳定。

3．Lax-Friedrichs 格式首先考虑中心差分格式11102n n n nj jj j u u u u ahτ++---+=其截断误差为2()O h τ+，但绝对不稳定，1954年Lax 和Friedrichs 提出了Lax 格式111111()202n n n n n j j j j j u u u u u a hτ++-+--+-+=该格式具有一阶精度，条件稳定。

x-Wendroff1960年Lax 和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层差分格式22111112()(2)22n n n n n n njjj j j j j a a uu u u u u u h hττ++-+-=--+-+ 该格式条件稳定5Wendroff 隐式格式：111111111()()022n n n n n n n n j j j j j j j j u u u u u u u u a h hττ++++--------+++= 该格式具有二阶精度，且绝对稳定。