数值计算 总结
数值计算心得体会简短数值计算方法总结
数值计算心得体会简短数值计算方法总结数值计算是一种重要的数学方法，通过给定的数值进行计算。
在进行
数值计算时，我总结了以下几点体会：
1.准确性：在进行数值计算时，准确性是至关重要的。
任何一个小的
计算错误都可能导致最后的结果完全不准确。
因此，需要非常仔细和谨慎
地进行计算，确保每一步都正确无误。
2.精度与舍入误差：在数值计算中，精度是一个重要的概念。
由于计
算机的数字表示有限，可能会产生舍入误差。
在算法中，需要考虑如何控
制和减小这种误差，以保持结果的精度。
3.迭代法和逼近法：在一些复杂的数值计算问题中，迭代法和逼近法
是常用的解决方法。
通过不断迭代，可以逼近最终的解。
在使用迭代法时，需要注意迭代的终止条件和收敛速度。
4.稳定性和数值稳定性分析：在数值计算中，稳定性是指计算结果对
输入数据的小变动不敏感。
如果一个算法不稳定，即使输入数据稍有变动，结果也可能完全不同。
因此，评估算法的稳定性是非常重要的。
总的来说，数值计算是一项有挑战性的任务，需要综合考虑准确性、
精度、稳定性等因素。
在实际应用中，需要选择合适的数值计算方法，并
根据具体情况优化算法，以获得最好的计算结果。
计算方法基础知识点总结
计算方法基础知识点总结一、基本运算1. 加法加法是最基本的运算之一，它是指将两个或多个数值相加得到和的过程。
例如，2+3=5，这里的2和3就是加数，而5是它们的和。
2. 减法减法是指一个数值减去另一个数值所得到的差。
例如，5-3=2，这里的5是被减数，3是减数，2是它们的差。
3. 乘法乘法是指将两个或多个数值相乘得到积的过程。
例如，2*3=6，这里的2和3就是乘数，而6是它们的积。
4. 除法除法是指一个数值除以另一个数值所得到的商。
例如，6÷3=2，这里的6是被除数，3是除数，2是它们的商。
二、数的比较和运算1. 比较运算比较运算是指将两个数值进行比较，得到它们的大小关系。
例如，5>3表示5大于3，而2<4表示2小于4。
2. 绝对值绝对值是指一个数值的大小，它表示这个数值到0的距离。
例如，|-5|=5，而|3|=3。
3. 平方和平方根平方是指一个数值乘以自己，得到的新的数值。
例如，3²=9，这里的3是底数，9则是它的平方。
平方根是指一个数值的平方所得的数值。
例如，√9=3，这里的9是被开方数，3是它的平方根。
4. 百分比百分比是指一个数值相对于100的比例。
例如，50%表示50分之一百。
百分比在日常生活和商业中经常使用，它可以用于表示增加、减少、比较等各种情况。
三、方程和不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指一个未知数的一次方程。
例如，2x+3=7就是一个一元一次方程，这里的x是未知数，2和3是已知数，7是等式的结果。
2. 一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的二次方程。
例如，x²+3x-4=0就是一个一元二次方程，这里的x是未知数，3和4是已知数，0是等式的结果。
3. 不等式不等式是指两个数值之间的大小关系。
例如，x>3表示x大于3，而x<5表示x小于5。
不等式与方程类似，但它表示的是范围而非精确的数值。
四、函数和集合1. 函数函数是数学中的重要概念，它表示一个变量与另一个变量之间的关系。
数值计算常用公式
数值计算常用公式数值计算是数学中的一种重要技巧，在各个学科中都有广泛的应用。
为了方便和加快数值计算的速度，人们总结出了一些常用的计算公式。
下面将介绍一些数值计算常用的公式。
1.四则运算常用公式：加法公式：a+b=b+a减法公式：a-b≠b-a乘法公式：a*b=b*a除法公式：a/b≠b/a2.平方和差公式：平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²3.指数公式：幂运算公式：aⁿ*aᵐ=aⁿ⁺ᵐ除法公式：aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ4.对数公式：对数运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy除法公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy5.百分比公式：百分比公式：x%=x/100百分数换分数：x% = x / 100 = x/100 * a/a = xa/100a分数换百分数：a/b=(a/b)*100%6.阶乘公式：阶乘公式：n!=n*(n-1)!7.平均值公式：平均值公式：平均值=总和/个数8.平方根公式：平方根公式：√a=b,则a=b²9.三角函数公式：正弦公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b)) 10.高斯公式：高斯求和公式：1+2+3+...+n=n(n+1)/2高斯公式的扩展：a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n−1)d)=n[a+(a+(n−1)d)]/211.解一元二次方程公式：一元二次方程公式：ax² + bx + c = 0, 求解公式：x = (-b ±√(b² - 4ac))/2a12.等差数列求和公式：等差数列求和公式：Sn=(a₁+aₙ)*n/213.等比数列求和公式：等比数列求和公式：S=a(1-qⁿ)/(1-q)14.泰勒级数展开公式：泰勒级数展开公式是一种表示一些函数为多项式的方法，可以用来近似计算函数的值。
数值计算及其不确定性问题(简化)总结
本课程的基本目的，是使学生通过学习和实验，初步建 立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为 进一步深入的学习打下坚实的基础。
数值分析
数值分析
数值计算与误差分析
第一节 数值算法
第二节 数值计算的误差分析 第三节 常用数学软件工具
xi=Di/D
(i=1,…,n)
这里,Di是指D中第i列元素用右端（b1,… bn）代替构成的行 列式。
数值分析
数值分析
克莱姆算法步骤
1. 2.
D for 2.1. 2.2.
( j1 jn )
t ( 1 ) a1 j1 a 2 j2 a nj n
i 1 n Di
( i1 i n ) t ( 1 ) a i1 1 bi2 j a in n
6 1 0.1667 0.0000334 6
就是舍入误差。
数值分析
数值分析
二、截断误差分析
例1：(截断误差)
x
1 2 1 3 1 n 已知e 1 x x x x 2! 3! n! 求e 1的近似值，并估计误差。
,
解：利用展开式的前三项，取n=2，
由Taylor公式：f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n ( x x0 ) ( x x0 ) n 1 n! ( n 1)!
0.001253 10 , 0.000068 10
6
6
数值分析
数值分析
数值计算方法期末总结
数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。
在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。
本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。
通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。
一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。
数值逼近可以分为插值和外推。
插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。
而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。
在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。
数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。
插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。
外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。
常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。
它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。
三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。
数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。
在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。
数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。
而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。
四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。
线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。
数值计算方法心得共(一)
数值计算方法心得共(一)
在我学习数值计算方法的过程中，我收获了很多。
以下是我总结的心得体会，希望能对正在学习和使用数值计算方法的人有所帮助。
一、了解原理
在学习数值计算方法之前，首先应该了解该方法的原理和适用范围。
只有了解它的本质和局限性，才能避免在使用这些方法时所遇到的误差和问题。
同时也能够更好的理解和掌握一个方法。
二、掌握基本算法
在学习数值计算方法的过程中，需要掌握一些基本算法，例如插值、数值积分、线性方程组求解、非线性方程求解、常微分方程求解等。
因为这些算法是其他高级算法的基础，会在后续的学习和实践中经常用到。
三、选择合适的方法和模型
在实际应用中，需要根据具体的问题和数据选择合适的数值计算方法和数学模型。
不同的方法和模型所涉及的数学理论和计算基础也各有不同，因此需要根据问题的需求和自己的能力来做出选择。
四、注意误差控制
数值计算方法在计算过程中会引入一定的误差，而且误差可能会逐渐积累，最终影响计算结果的准确性。
因此需要注意误差的控制，比如选择合适的数值精度、控制截断误差、避免数值不稳定等。
五、代码实现
数值计算方法通常需要编写相应的程序才能进行计算。
在实现程序的过程中，需要注意代码的可读性、可维护性和可扩展性，同时也需要
注意代码的运行效率和计算精度。
总之，在学习数值计算方法的过程中，需要注重理论学习、实践操作和代码实现。
只有掌握了数值计算方法的基本原理、基本算法和常见误差，才能更好的应用数值计算方法解决实际问题。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
现代数值计算方法公式的总结
现代数值计算方法公式一、插值法1. 拉格朗日（Lagrange ）插值法a）两点一次：b）三点二次:2. 牛顿（Newton）插值a）n次牛顿法多项式：其中b）向前差分:-------------------------------- A下减上c）向后差分:上减下3.三次埃米尔特Hermite )插值拟合曲线（最小二乘）©©三、数值积分1. 牛顿-柯特思（Newton-Cotes ）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2. 高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解X i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将X i带入求A3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式:积分区间［a,b］变换3•代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x 2,…X m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A 分解为 ，则原式变为 了求解 五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数OO 矩阵范数定义：设其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 满足条件，那么问题就变为定义: 设足条件1)非负性2) 其次行3) 三角不等式称常见范数: 其中R 为实数域、C 为复数域，若某实值函数 ，||x||=0 当且仅当x=0成立 域上的一个向量范数1） 非负性 2） 其次行3） 三角不等式4） 乘积性质称 为 常见范数：行范数列范数为 的最大按模特征值2. 谱半径3. 雅可比迭代向量:用第i 个方程解出xi 的方程，分量通式如下:矩阵：对于Ax=b,先将A 拆分成对角线矩阵D 减去下三角矩阵L ,再减去上三角矩 阵U 。
其中,||A||=0 当且仅当A=0成立域上的一个矩阵范数4. 高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b,先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角矩阵U。
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直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.1 基本步骤 高斯消去法步骤 1.[消去] 经过n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组
第 一 步 消 去 a 下 方 元 素 , 第 二 步 消 去 a 下 方 元 素 , . . . , 1 1 2 2 第 n 1 步 消 去 a 下 方 元 素 nn 1 , 1
误差分类
模型误差 数据误差 截断误差 计算误差 在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中数的位数限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
~ x 设 为真值, x 为真值的近似值
绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对 值，即 xxx , 或 x 绝对误差界：用一个满足 绝对误差的大小，并记为 的数 ,来表示
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
相对误差 相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对 值，即
相对误差界：用一个满足 相对误差的大小，并记为
的数Βιβλιοθήκη ,来表示相对误差界常用百分数表示
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
准确数字
各 位 数 字 皆 准 确 的 近 似 数 称 为 有 效 数 . 此 时 各 准 确 数 字 也 称 为 有 效 数 字
写成矩阵形式为
(2 -1 )
A x b
a11 a12 a a22 21 其中 A an1 an2
(A 0 )
a1n a2n ann
x1 x x 2 xn
b1 b b 2 bn
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由 误 差 估 计 式 (1 1 ) 可 知 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 x1 x2 ( x x ) x x2 1 2 1 x1 x 2 x1 x 2 ( x 1 x 2 ) x 2 x 1 x1 x 2 (x1x2) x1 x2 x 1 x1 x1 ( x ) x x 2 x 2 2 2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
数值计算方法总结
数值计算方法的一般概念 解线性代数方程组的直接法 插值法与最小二乘法 数值微积分
方程与方程组的迭代解法
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法
定义 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成 的完整的解题步骤. 描述 算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然 语言来进行描述。 具有的特征 正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、 使用资源少、逻辑结构简单、便于实现 计算结果可靠
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第 一 步 得 到 x , 第 二 步 得 到 x , . . . , 第 n 步 得 到 x n n 1 1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A Ab
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
在 误 差 估 计 式 (1-1),(1-2)中 y (x1,x2,...,xn ) xi xi i=1
n n
(x1,x2,...,xn )xi y xi xi i=1 xi 或 xi 表 示 解 的 误 差 相 对 参 量 xi的 误 差 的 放 大 或 缩 小 "倍 数 " xi
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且 应能估计误差。
稳定性 计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算 结果不致产生过大的影响 解 收敛性 通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
定义 误差是指近似值与真正值之差
1 ( x ) x 2 x ( x ) 1 x 2
第2章 解线性代数方程的直接法
求解n阶线性代数方程组
a a 1 1x 1 a 1 2x 2 1 nx n b 1 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n b 2 a a n 1x 1 a n2x 2 n nx n b n
3 即 , 运 算 量 为 o ( n )
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.3 选主元技术
分 为 n 1, 步 第 k 步 变 换行 n k: 求 倍 数 , 再 从 n 1 k 个 元 素 中 减 去 第 k 行 对 应 列 的 倍 数 , 因 此 所 需 乘 除 次 数 :
3 2 n n 5 n N ( nkn ) ( 1 k 1 ) 1 3 2 6 k 1 n
2.回代运算量
求 x 需 做 1 次 除 法 , 求 x 需 做 1 次 乘 法 和 1 次 除 法 , . . . , 求 x 需 n 1 次 n n 1 1 乘 法 和 1 次 除 法 , 因 此 所 需 乘 除 次 数 : n ( n 1 ) N 12. . . n 2 32 n 2 n 因 此 , NN 1 N n 2 3 3