数字信号处理实验报告

《数字信号处理》实验报告学院：信息科学与工程学院专业班级：通信1303姓名学号：实验一 常见离散时间信号的产生和频谱分析一、 实验目的（1） 熟悉MATLAB 应用环境，常用窗口的功能和使用方法；（2） 加深对常用离散时间信号的理解；（3） 掌握简单的绘图命令；（4） 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号进行频域分析。

二、 实验原理（1） 常用离散时间信号a ）单位抽样序列⎩⎨⎧=01)(n δ00≠=n n 如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即：⎩⎨⎧=-01)(k n δ0≠=n k n b ）单位阶跃序列⎩⎨⎧=01)(n u 00<≥n n c ）矩形序列 ⎩⎨⎧=01)(n R N 其他10-≤≤N nd ）正弦序列)sin()(ϕ+=wn A n xe ）实指数序列f ）复指数序列()()jw n x n e σ+=（2）离散傅里叶变换：设连续正弦信号()x t 为0()sin()x t A t φ=Ω+这一信号的频率为0f ，角频率为002f πΩ=，信号的周期为00012T f π==Ω。

如果对此连续周期信号()x t 进行抽样，其抽样时间间隔为T ，抽样后信号以()x n 表示，则有0()()sin()t nT x n x t A nT φ===Ω+，如果令w 为数字频率，满足000012s sf w T f f π=Ω=Ω=，其中s f 是抽样重复频率，简称抽样频率。

为了在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性，通常对)(jw e X 在[]π2,0上进行M 点采样来观察分析。

对长度为N 的有限长序列x(n), 有∑-=-=10)()(N n n jw jw k k e n x e X其中 1,,1,02-==M k k Mw k ，π 通常M 应取得大一些，以便观察谱的细节变化。

取模|)(|k jw e X 可绘出幅频特性曲线。

（3）用DFT 进行普分析的三种误差三种误差：混叠现象、泄露现象、栅栏效应a) 混叠现象当采样频率小于两倍信号（这里指是信号）最大频率时，经过采样就会发生频谱混叠，这使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。

所以在利用DFT 分析连续信号的频谱时，必须注意这一问题。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱交叠现象不致出现。

()()nx n a u n =也就是说，在确定采样频率之前，必须对信号的性质有所了解，一般在采样前，信号通过一个防混叠低通滤波器。

b) 泄漏现象实际中的信号序列往往很长,为了方便我们往往用截短的序列来近似它们,这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析,这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。

泄漏是不能与混叠完全分离开的,因为泄漏导致频谱的扩散，从而造成混叠。

为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数，使频谱的扩散减到最小。

c) 栅栏效应因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以他不可能将频谱视为一个连续函数。

这样就产生了栅栏效应，就一定意义上看，DFT来观看频谱就好像通过一个尖桩的栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实频谱，这样就可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法就是借助在原序列的末端添补一些零值，从而变动DFT的点数。

这一方法实际上是人为地改变了对真实谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或者谷点暴露出来。

当然，这是每根谱线所对应的频率和原来的不同了。

综上所述，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减少和消除这些误差的影响。

三、实验内容（1）用MATLAB编程产生上述任意3种序列（长度可输入确定，对(d) (e) (f)中的参数可自行选择），并绘出其图形；a、产生正弦序列源程序n=-40:40;A=2;w=pi/8;f=pi/4;xn=A*sin(w.*n+f);plot(n,xn);stem(n,xn);axis([-40 40 -4.2 4.2])title('正弦序列');xlabel('n');ylabel('x(n)');box onb、产生单位阶跃函数源程序n=-20:20;xn=heaviside(n);xn(n==0)=1;plot(n,xn);stem(n,xn);axis([-20 20 0 1.2]);title(' 单位阶跃函数');xlabel('n');ylabel('u(n)');box onC、产生矩阵序列源程序矩阵序列n=-20:20;N=5;xn=heaviside(n)-heaviside(n-N);xn(n==0)=1;xn(n==N)=0;plot(n,xn);stem(n,xn);axis([-20 20 0 1.2]);title('矩阵序列');xlabel('n');ylabel('R_{N}(n)');box on（2） 混叠现象对连续信号01()sin(2***)x t pi f t =其中，01500f Hz =进行采样，分别取采样频率2000,1200,800s f Hz Hz Hz =，观察|)(|jw e X 的变化，并做记录(打印曲线),观察随着采样频率降低频谱混叠是否明显存在，说明原因。

源程序混叠x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);a=fs/N*(0:(N/2-1));b=abs(X(1:(N/2)));plot(a,b);title('取样频率为1000');subplot(2,2,1)n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot(fs/N*(0:N/2-1),abs(X(1:N/2)));title('取样频率为2000');subplot(2,2,3);f01=500;fs=1200;n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot(fs/N*(0:(N/2-1)),abs(X(1:(N/2)))); title('取样频率为1200');subplot(2,2,4);f01=500;fs=800;n=1/fs;N=length(t);t=0:n:0.1;x=sin(2*pi*f01*t);plot(t,x);X=fft(x,N);plot(fs/N*(0:(N/2-1)),abs(X(1:(N/2)))); title('取样频率为ª800');结论 连续信号的最高频率为1500f Hz ，根据取样定理，采样频率必须满足Fs>=2fc ，否则会在折叠频率Fs/2处出现频谱混叠。

通过实验当Fs 为1200HZ2000HZ 时峰值在500HZ 处没有发生混叠。

但当取样频率为800HZ 时 峰值在300HZ 处 产生较大的误差。

（4）截断效应 给定()cos()4x n n π=，截取一定长度的信号()()()y n x n w n =，()w n 为窗函数，长度为N ，()()N w n R n =。

分别取N=6，8，12，计算()y n 的N 点DFT 变换，画出其幅频特性曲线；做2N 点DFT 变换，分析当N 逐渐增大时，分析是否有频谱泄露现象、主瓣的宽度变化？如何减小泄露？源程序subplot(2,2,1);n=50;Rn=[ones(1,n)];wn=Rn;xn=cos((pi./4)*(0:n-1));yn=xn.*wn;N=6;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y((1:N/2)))); title('截断效应N=6');subplot(2,2,2);n=50;Rn=[ones(1,n)];wn=Rn;xn=cos((pi./4)*(0:n-1));yn=xn.*wn;N=8;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y((1:N/2)))); title('截断效应N=8');subplot(2,2,3);n=50;Rn=[ones(1,n)];wn=Rn;xn=cos((pi./4)*(0:n-1));yn=xn.*wn;N=12;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y((1:N/2)))); title('截断效应N=12');subplot(2,2,4);n=50;Rn=[ones(1,n)];wn=Rn;xn=cos((pi./4)*(0:n-1));yn=xn.*wn;N=1000;Y=fft(yn,2*N);plot(2*pi/N*(0:N/2-1),abs(Y((1:N/2)))); title('截断效应N=1000');结论 由上图可知，随着矩形窗的N 增大，主瓣宽度变窄，分辨率提高，泄露也相继减少峰起值占总比越来越接近9%。

随N 减少到20时，即取样长度比较小时，波形泄露比较严重，无法反映实际波形。

另外，为了减小谱间干扰，应用其他形状的窗函数，代替矩形窗会降低泄露程度。

（5）栅栏效应给定()4()x n R n =，分别计算()jw X e 在频率区间[]0,2π上的16点、32点、64点等间隔采样，绘制()jw X e 采样的幅频特性图，分析栅栏效应，如何减小栅栏效应？ 源程序n=0:1:10;xn=[ones(1,4),zeros(1,7)]; Xk16=fft(xn,16); Xk32=fft(xn,32); Xk64=fft(xn,64);subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');title('(a) x_1 (n)');xlabel('n');ylabel('x_1 (n)');k=0:15;wk=2*k/16;subplot(2,2,2);stem(wk,abs(Xk16),'.');title('(c)16µãDFTµÄ·ùƵÌØÐÔͼ');xlabel('\omega/\pi');ylabel('·ù¶È');k=0:31;wk=2*k/32;subplot(2,2,3);stem(wk,abs(Xk32),'.');title('(d)32µãDFTµÄ·ùƵÌØÐÔͼ');xlabel('\omega/\pi');ylabel('·ù¶È');k=0:63;wk=2*k/64;subplot(2,2,4);stem(wk,abs(Xk64),'.');title('(d)64µãDFTµÄ·ùƵÌØÐÔͼ');xlabel('\omega/\pi');ylabel('·ù¶È');结论 由栅栏效应可知，采样点的间隔是看不到的。