最初中数学路径最短问题专题复习
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)
初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。
(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。
解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。
人教版初中数学《最短路径问题》专题突破含答案解析
专题09 最短路径问题一、单选题1．（2021·湖北随县·）如图，在ABC ∆中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，5cm AC =，8cm BC =．则AEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．8cmB ．5cmC ．18cmD ．13cm【答案】D【分析】 连接BE ，依据是AB 的垂直平分线，可得AE =BE ，进而得到AE +CE =BE +CE ，依据BE +CE ≥BC ，可知当B ，E ，C 在同一直线上时，BE +CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变，故△AEC 的周长最小值等于AC +BC ．【详解】如图，连接BE ，△点D 是AB 边的中点， l △AB ，△l 是AB 的垂直平分线，△AE =BE ，△AE +CE =BE +CE ，△BE +CE ≥BC ，△当B ，E ，C 在同一直线上时，BE +CE 的最小值等于BC 的长，而AC 长不变，△△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．故选：D．【点睛】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．2．（2021·北京朝阳区·和平街第一中学）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P 是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．【详解】解：如图：△EF垂直平分BC，△B、C关于EF对称，△当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，故选：B.【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.3．（2021·杭州市公益中学七年级期末）如图，A 是直线l 外一点，点B ，E ，D ，C 在直线l 上，且AD l ⊥，D 为垂足，如果量得7cm AB =，6cm AE =，5cm AD =，11cm AC =，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．11 cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm【答案】D【分析】 根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可知AD 的长度是点A 到直线l 的距离，从而得解．【详解】△AD=5cm ，△点A 到直线l 的距离是5cm ．故选D ．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记定义是解题的关键．4．（2021·全国八年级专题练习）如图所示,在Rt△ABC 中,△ACB =90°,△B =15°,AB 边的垂直平分线交AB 于点E ,交BC 于点D ,且BD =13 cm,则AC 的长是( )A ．13 cmB ．6.5 cmC ．30 cmD ．【答案】B【分析】 利用线段垂直平分线的性质得AD=BD ，利用等腰三角形的性质得△DAE=△B=15°且AD=BD=13cm ，再利用外角的性质得△ADC=30°，解直角三角形即可得AC 的值．【详解】解：△AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D （已知）△AD=BD （线段垂直平分线的性质）△△DAE=△B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）△△ADC=30°（外角性质）△16.52AC AD cm==．故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到△ADC=30°是正确解答本题的关键．5．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK CK+的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC【答案】C【分析】连接AK，根据垂直平分线的性质可得KA KB=，进而根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】连接AK，如图，EF垂直平分AB，KA KB∴=，∴BK CK AK CK AC+=+≥，的最小值为AC的长度．即BK CK故选C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．6．（2021·福建梅列区·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．A点处B．D点处C．AD的中点处D．ABC三条高的交点处【答案】D【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【详解】解：连接BP，△△ABC是等边三角形，D是BC的中点，△AD是BC的垂直平分线，△PB=PC，当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上，又△BE为中线，△ABC是等边三角形△点P 为△ABC 的三条中线的交点，也就是△ABC 的三条高的交点．故选：D【点睛】本题考查的是等边三角形的重心的概念和性质，熟记等边三角形的重心的概念和性质是解题的关键． 7．（2021·湖南长沙县·）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是其角平分线，E 是边AB 的中点，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +的最小值是（ ）A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【答案】B【分析】 如图，连接PC ，根据等腰三角形的“三线合一”性质及线段的垂直平分线的性质证明PB =PC ，即可推出PB +PE =PC +PE ，由PC +PE ≥CE ，推出P 、C 、E 共线时，PB +PE 的值最小，最小值为CE 的长度．【详解】解：如图，连接PC ，△AB AC =，AD 是其角平分线，△AD △BC ，BD =CD ，△PB =PC ，△PB +PE =PC +PE ，△PC +PE ≥CE ，△P 、C 、E 共线时，PB +PE 的值最小，最小值为CE 的长度．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．（2021·贵州遵义市·）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）A．5B．7C．10D．14【答案】B【分析】如图，连接AF，AP．利用三角形的面积公式求出AF，求出PB+PF的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接AF，AP．△AC＝AB，CF＝BF＝1BC＝2，2△AF△BC，•BC•AF＝10，BC＝4，△S△ABC＝12△AF＝5，△DE垂直平分线段AB，△PA＝PB，△△PBF的周长＝PB+PF+BF＝PA+PF+2，△PA+PF≥AF，△PA+PF的最小值为5，△△PBF的周长的最小值为7．故选：B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段长垂直平分线的性质解决问题．9．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·九年级）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD 的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为（）A．4B．4+C．8D．4+【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E'，连接E F'交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF +最小，再利用三角形三边关系解题即可．的周长最小，即OE OF【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E'，连接E F'交BD于点O，故点P 与点O 重合时，四边形PECF 的周长最小，即OE OF +最小， E 和E '关于BD 对称，则,4OE OE EO OF E O OF ''=+=+=连接E P '，同样E P PE '=，EP PF E P PF E F ''+=+>而4E F E O OF ''=+=，即EP PF E F '+>所以当P 与O 重合时，四边形PECF 周长最小，即为4228++=，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·江苏盐城市·景山中学七年级期末）如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ︒∠=∠=，AB BC =，AE DE =在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为（ ）A ．55°B ．56°C ．57°D ．58°【答案】B【分析】 作A 关于BC 的对称点G ，A 关于DE 的对称点H ，△AMN 的周长为AM +MN +AN =MG +MN +NH ，根据两点之间，线段最短即可．【详解】解：作A 关于BC 的对称点G ，A 关于DE 的对称点H ，连接MG ，NH ，则AM=MG，AN=NH，△△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，△△BAE=152°，△△G+△H=28°，△AM=MG，AN=NH，△△G=△GAM，△H=△HAN，△AMN+△ANM=2△G+2△H=2×28°=56°，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键．、上11．（2021·浙江浙江省·八年级期末）如图，四边形ABCD中，11090，，在BC CDBAD B D∠=︒∠=∠=︒分别找一点M、N，使AMN周长最小，则AMN ANM∠+∠的度数为（）A．110︒B．120︒C．130︒D．140︒【答案】D【分析】作点A 关于BC 的对称点A '，关于CD 的对称点A ''，根据轴对称确定最短路线问题，连接A A '''与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，利用三角形的内角和定理列式求出A A ∠'+∠''，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2()AMN ANM A A ∠+∠=∠'+∠''，然后计算即可得解．【详解】解：如图，作点A 关于BC 的对称点A '，关于CD 的对称点A ''，连接A A '''与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，110BAD ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，18011070A A ∴∠'+∠''=︒-︒=︒，由轴对称的性质得：A A AM ∠'=∠'，A A AN ∠''=∠''，2()270140AMN ANM A A ∴∠+∠=∠'+∠''=⨯︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用． 12．（2021·广西兴宁区·南宁三中八年级期中）如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒【答案】B【分析】 如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN最小易知△OPM=△OPM′=△NPQ ，△OQP=△AQN′=△AQN ，KD△OQN=180°-30°-△ONQ ，△OPM=△NPQ=30°+△OQP ，△OQP=△AQN=30°+△ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．△18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP 30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ， △303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．（2021·辽宁皇姑区·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝5，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是___．【答案】5【分析】根据等边三角形的性质，可知B与C关于AD对称，过C作CF△AB交AD于点E，交AB于点F，则EB+EF的最小值为CF的长，求出CF的长即可求解．【详解】解：△△ABC是等边三角形，D是BC边中点，△AD△BC，△B与C关于AD对称，过C作CF△AB交AD于点E，交AB于点F，则BE+EF=CE+EF=CF，则EB+EF的最小值为CF的长，△AD=5，△CF=5，故答案为5．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法，此题确定EB+EF的最小值为CF的长是解题的关键．14．（2019·浙江杭州市·八年级期中）如图，在ABC 中，15A ∠=︒，AB =D ，E 分别在AB ，AC 上运动，连结BE 、ED ，则DE BE +的最小值为________．【答案】【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，过B ′作B ′D △AB 交AC 于E ，连接AB ′，B ′D 即为BE +ED 的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】解：作B 关于AC 的对称点B ′，过B ′作B ′D △AB 交AC 于E ，连接AB ′，此时B ′E +ED =BE +ED 为最小值，此时△B ′AB =2△BAC =30°，B ′D =12AB ′=12AB =即BE +ED 的最小值为故答案为：【点睛】此题考查了最短路径问题，关键是作点B 关于AC 的对称点B '，利用轴对称的性质解答即可．15．（2021·广水市教学研究室八年级期末）如图，在△AB C 中，AB =3cm ，AC =5cm ，AB △AC ，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点则△ABP 周长的最小值是_____．【答案】8cm【分析】如图（见解析），先根据三角形的周长公式可得当PA+PB最小时，△ABP的周长最小，再根据垂直平分线的性质可得PC=PB，从而可得PA+PB=PA+PC，然后根据两点之间线段最短可得PA+PC的最小值为AC，由此即可得出答案．【详解】如图，连接PC，△AB=3 cm△△ABP的周长为AB+PA+PB=3+PA+PB，要使△ABP的周长最小，则需PA+PB的值最小，△EF垂直平分BC，△PC=PB，△PA+PB=PA+PC，由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线，即点P在AC边上时，PA+PC取得最小值，最小值为AC，即PA+PB的最小值为AC=5 cm，则△ABP周长的最小值是3+5=8 cm，故答案为：8．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．16．（2021·湖北天门市·八年级期末）如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．【答案】10【分析】如图，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点D 与点P 重合时，AD BD +的最小值等于AC 的长，根据AB ，AC 的长度即可得到ABD △周长的最小值．【详解】△EF 垂直平分BC ，△点B 与点C 关于EF 对称，如图，设AC 与EF 相交于点P ,△当D 和P 重合时，AD BD +的值最小，最小值等于AC 的长，△4AB =，6AC =，△ABD △的周长的最小值是4610AB AC +=+=，故答案为：10．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质，解答此题的关键是准确找出点D 的位置．17．（2021·全国八年级专题练习）如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA PB +的最小值是________．【答案】4【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 为AC 与EF 的交点时，AP+BP 的最小值，依据AC 的长度即可得到结【详解】解：△EF 是BC 中垂线，△点B 关于直线EF 的对称点为C ，当点P 为AC 与EF 的交点时，PA+PB 取得最小值，且PC=PB△最小值为PA+PC=AC=4，故答案为：4．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．18．（2020·东海晶都双语学校八年级月考）如图，等腰三角形∆ABC 的面积为90，底边BC=12，腰AC 的垂直平分线EF 交AC ，AB 于点E ，F ，若D 为BC 边中点，M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆的周长最小值为________【答案】21【分析】连接AD ，AM ，由于ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ⊥，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA MC =，推出MC DM MA DM AD +=+≥，故AD 的长为BM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥， 11129022ABC S BC AD AD ，解得15AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA MC =，MC DM MA DM AD ， AD ∴的长为CM MD +的最小值，CDM ∴∆的周长最短11()15122122CM MD CD AD BC ，故答案是：21．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 19．（2021·天津育贤中学）如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝30°，BC ＝8，AD 是△BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】4【分析】过C 作CM △AB ，交AD 于P ，交AB 于M ，过P 作PQ △AC 于Q ，根据垂直平分线的性质得到PC +PQ 的最小值即CM的长，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得结果．【详解】解：如图，过C作CM△AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ△AC于Q，△AD是△BAC的平分线，△PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，△CM△AB，△B＝30°，BC＝8，△CM＝12BC＝4，△PC+PQ的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握各性质是解题的关键．20．（2021·辽宁于洪区·七年级期末）如图，点P是△AOB内任意一点，OP＝9，M、N分别是射线OA和OB 上的动点，若△PMN周长的最小值为9，则△AOB＝___°．【答案】30【分析】分别分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P′OP″为等边三角形，△AOB=12△P′OP″=30°．【详解】解：分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P′N+NM+MP″=P′P″，△由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小，△P′P″=9，由对称OP=OP′=OP″=9，△△P′OP″为等边三角形，△△P′OP″=60°，△△P′OB=△POB，△P″OA=△POA，△P′OP″=30°．△△AOB=12故答案为：30°．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，全等三角形的判断和性质是解题的关键．三、解答题21．（2021·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级月考）作图题：（1）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．①在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；②在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小；（2）在（1）问的结果下，连接BB1、CC1，求四边形BB1C1C的面积．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）12 【分析】（1）①作,,A B C 关于直线l 对称点111,,A B C ,再顺次连接111,,A B C ，则即111A B C △为所求三角形； ②连接1AC ，与l 交于点P ，则点P 即为所求； （2）根据网格的特点计算梯形BB 1C 1C 的面积即可． 【详解】（1）如图，①作,,A B C 关于直线l 对称点111,,A B C ,再顺次连接111,,A B C ，则即111A B C △为所求三角形； ②连接1AC ，与l 交于点P ，则点P 即为所求；PAC △的周长11PA AC PC AC PA PC AC AC =++=++≥+当1,,A P C 三点共线时，PAC △的周长最小（2）如图，连接BB 1、CC 1，BB 1C 1C 的面积()1244122=⨯+⨯=【点睛】本题考查了画轴对称图形，根据两点之间线段最短求最短距离作图，根据网格的特点求解是解题的关键． 22．（2021·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，点A 、B 分别在直线m 的上方．（1）在直线m 上找到点P ，使得AP BP +最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若点A 、B 到直线m 的距离分别为3.5cm 、8.5cm ，且点B 在点A 的东北方向，则AP BP +的最短距离为______cm ．【答案】（1）见解析；（2）13． 【分析】（1）作点A 关于直线m 的对称点A '，连接A B '，根据两点之间线段最短解题；（2）过点A 作AE BD ⊥于点E ，延长BD ，作A C BD '⊥于点C ，Rt A BC '中，利用勾股定理解题． 【详解】解：（1）如图，点P 即是所作的点．（2）如图，3.5cm,=8.5cm AF FA BD '==，过点A 作AE BD ⊥于点E ，延长BD ，作A C BD '⊥于点C ， 3.5cm AF FA DE CD '∴====8.5+3.5=12cm BC BD CD ∴=+=45,90BAE AEB ∠=︒∠=︒45ABE ∴∠=︒8.5 3.55cm AE BE BD DE ∴==-=-=5A C AE '∴==cm ，Rt A BC '中，A B ' 故答案为：13． 【点睛】本题考查轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23．（2021·陕西临渭区·）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（请用直尺保留作图痕迹）．（1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的111A B C △； （2）在DE 上画出点P ，使1PB PC +最小； （3）在DE 上画出点Q ，使△QAB 的周长最小； （4）△ABC 的面积是 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）52．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到111A B C △；（2）依据“两点之间，线段最短”，连接11B C ，与DE 的交点P 即为所求；（3）依据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”，连接1A B ，与DE 的交点Q 即为所求； （4）依据割补法进行计算，即可得到△ABC 的面积． 【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，点P 即为所求； （3）如图所示，点Q 即为所求； （4）△ABC 的面积111=23131212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，52=． 故答案为：52．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解题关键是要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决． 24．（2021·重庆忠县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ⊥，30BAO ∠=︒．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB ∠=︒，求ACE ∠的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO ∠交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3 【分析】（1）根据30所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论； （2）由题意可知EOB △是等腰直角三角形，先证明CGA AOB △≌△，得GE GA AE =+=OE AE AO CG +==即可证明CGE 是等腰直角三角形，结论可得；（3）作点O 关于BF 的对称点D ，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，并与射线BF 交于点M ，连接,OD OM ,此时m 的值最小，求出DN 的长即可．【详解】解：（1）30BAO ∠=︒，90AOB ∠=︒,22612AB OB ∴==⨯=，又△点D 为AB 的中点， △162OD AB ==； （2）45OEB ∠=︒，90EOB ∠=︒，△45OBE ∠=︒,EOB ∴是等腰直角三角形，OE OB ∴=，过点C 作CG x ⊥轴于点G ，△,AB AC AB AC =⊥, △ABC 是等腰直角三角形， △90CAB ∠=︒, △90CAG BAO ∠+∠=︒， △90CAG ACG ∠+∠=︒, △BAO ACG ∠=∠,△90CGA AOB ∠=∠=︒,AC AB =,∴CGA AOB △≌△，CG AO ∴=，GA OB =，30BAO ACG ∠=∠=︒ GE GA AE ∴=+=OE AE AO CG +==， CGE ∴△是等腰直角三角形，即45ECG ∠=︒， △30ACG ∠=︒,15ACE ECG ACG ∴∠=∠-∠=︒；（3）存在点M ，N ；作点O 关于BF 的对称点D ， 过点D 作DN x ⊥轴于点N ，并与射线BF 交于点M ， 连接,OD OM ,则BF 垂直平分OD ， △OM DM =,BO BD =, △OM MN MD MN DN -=-=, 当D ，N ，M 在一条直线上时， m 最小，最小值为DN 的长度， △30BAO ∠=︒, △12OB AB BD ==, △D 为AB 的中点， △,DN AO BO AO ⊥⊥, △//DN BO ,△132DN OB ==,△3m OM MN DM MN DN =-=-==． 故m 的最小值为3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题，中位线定理，熟知性质定理是解题的关键．25．（2021·河南郏县·七年级期末）已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP . ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠=______；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB △的周长最小时，求APB ∠的度数．【答案】（1）①100°；②当90MON ∠=︒时，10GH =；（2）60APB ∠=︒． 【分析】（1）依据轴对称可得OG OP OM GP =⊥，，即可得到OM 平分△POG ，ON 平分△POH ，进而得出△GOH =2△MON =2×50°=100°；②当△MON =90°时，△GOH =180°，此时点G ，O ，H 在同一直线上，可得GH =GO +HO =10；（2）设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P ′、P ″，当点A 、B 在P ′P ″上时，△PAB 周长为PA AB BP P P ++='"，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出△APB 的度数． 【详解】（1）①△点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ， △OG =OP ，OM △GP ， △OM 平分△POG ，同理可得ON 平分△POH ， △△GOH =2△MON =2×50°=100°， 故答案为：100°；②5OG OP OH ===，10GH =， G ∴、O 、H 三点其线，1802GOH MON ∴∠=︒=∠，90MON ∴∠=︒，当90MON ∠=︒时，10GH =；（2）如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP ，OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ， 则AP AP '=，BP BP ''=，此时PAB 周长的最小值等于P P '''的长. 由轴对称性质可得，OP OP OP '''==，P OA POA '∠=∠， P OB POB ''∠=∠，2260120P OP MON '''∴∠=∠=⨯︒=︒，()180120230OP P OP P ''''''∴∠=∠=︒-︒÷=︒，由轴对称性质可得30APO OP A '∠=∠=︒，30BPO OP B ''∠=∠=︒ 303060APB ∴∠=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．26．（2021·重庆南岸区·七年级期末）要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区发送快件．（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图中，画出点P 的大致位置；（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请在如图中画出点M 的大致位置；BD DC．延长BD交AC于点E．（3）如图，D是ABC内一点，连接,+>①，△在DEC中，DE EC DC在ABE△中，AB AE BD DE+>+②；+++>++；△①＋②得DE EC AB AE DC BD DE+>+．△AB AC BD DC如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据线段垂直平分线点性质点P 在线段AB 的垂直平分线上，作AB 的垂直平分线，与l 的交点即为所求；（2）根据两点之间线段最短的性质，作点A 关于l 的对称点A 1，连接BA 1与l 的交点Q 即为所求； （3）如图，作点A 关于l 的对称点A 2，连接DA 2，BD ，DA 2与l 交于点Q ，由已知可得QE +BE ＞QD +BD ，可得QD +BD 是点B 到点Q 的最短距离，点Q 即为所求．【详解】（1）如图，点P 即为所求：（2）如图，点M 即为所求：（3）如图，点Q 即为所求：【点睛】本题考查轴对称——最短路径，熟练掌握轴对称性质是解题关键．27．（2021·天津八年级期末）如图，在等腰三角形ABC 中，底边3cm BC ，ABC 的面积是26cm ，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，点D 为BC 边上的中点，M 为EF 上的动点．（1）当BMD 周长的最小时，请在图中作出满足条件的BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．（2）BMD周长的最小值是___________．【答案】（1）图见解析；（2）5.5【分析】（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即可作图；（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．【详解】（1）如图所示；连接AM，△EF是AB的线段垂直平分线△AM＝BM△△BDM的周长＝BM＋DM＋BD又AM＝BM△△BDM的周长＝AM＋DM＋BD△BD是定值△当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，（2）△△ABC 是等腰三角形又点D 为BC 边上的中点，△AD 是△ABC BC 边上的高，△，3cm BC =，ABC 的面积是26cm ，△BD ＝1.5cm ，AD ＝4cm△△BDM 的周长最小值＝AM ＋DM ＋BD ＝AD ＋BD ＝5.5cm【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM 的周长最小值＝AM ＋DM ＋BD28．（2021·山东市北区·七年级期末）如图，等边ABC ∆（三边相等，三个内角都是60︒的三角形）的边长为10cm ，动点D 和动点E 同时出发，分别以每秒1cm 的速度由A 向B 和由C 向A 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t ，010t <≤，DC 和BE 交于点F ．（1）在运动过程中，CD 与BE 始终相等吗？请说明理由；（2）连接DE ，求t 为何值时，//DE BC ；（3）若BM AC ⊥于点M ，点P 为BM 上的点，且使PD PE +最短．当7t =时，PD PE +的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7【分析】（1）证明△ADC△△CEB（SAS）即可；（2）根据DE△BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值．【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，△AD=CE，△△ABC是等边三角形△△A=△ACB=60°，BC=AC，△△ADC△△CEB（SAS），△BE=CD，△CD与BE始终相等；（2）△DE△BC，△AD=AE，△AB=AC=10，△t=10-t，△t=5；（3）△BM△AC，△BM平分△ABC，作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，△DP=D'P，△DP+PE=D'P+PE=D'E，△t=7，△AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，△CD′=7，又△C=60°，△△CD′E为等边三角形，△D'E=CD′=7，△PD+PE的最小值为7．【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质求解D'E的长是解题的关键．29．（2020·湖北汉阳区·八年级期中）如图，在等边ABC中，D是直线BC上一点，E是边AC上一动点，以DE为边作等边DEF，连接CF．（提示：含30的直角三角形三边之比为2）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE CF CD +=；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）图2中，若ED AC ==E 从A 运动到C 停止，求出此过程中点F 运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）CE CF CD +=，理由见解析；（3）8-【分析】（1）在CD 上截取CH CE =，易证CEH ∆是等边三角形，得出EH EC CH ==，证明()DEH FEC SAS ∆≅∆，得出DH CF =，即可得出结论；（2）过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证60GDC DGC ∠=∠=︒，得出GCD ∆为等边三角形，则DG CD CG ==，证明()EGD FCD SAS ∆≅∆，得出EG FC =，即可得出FC CD CE =+；（3）当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值AC ==当CE CD =时，CF 的值最大，最大值224=+=，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值=点F 的运动路径从最小值4，再减小到由此可得结论．【详解】解：（1）证明：在CD 上截取CH CE =，如图1所示：ABC ∆是等边三角形，60ECH ∴∠=︒，CEH ∴∆是等边三角形，EH EC CH ∴==，60CEH ∠=︒，。
初中数学《最短路径问题》典型题型复习
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
A· MNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
初中数学动点问题中最值、最短路径专项
一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，|PA-PB|最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；4. 最短路径模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.（2）双动点模型P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.5. 二次函数的最大（小）值在二次函数的顶点式中，当a>0时，y有最小值k；当ay有最大值k.二、主要的方法归纳利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见经典例题解析）三、经典例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题。
例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，此题解题的关键是找到△ABE面积最小时即是AD与D的运动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解。
初中数学最短路径问题典型题型复习
初中数学最短路径问题典型题型复习1、初中数学《最短路径问题》典型题型学问点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
〔依据：两点之间线段最短2、.〕二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在始终线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON 的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点3、B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小A·BMNE例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+M4、N+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键
初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。
最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。
希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。
以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。
例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。
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C
D B C
D A L
最初中数学路径最短问题专题复习
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；
线段（之和）最短问题；
二、原理：
两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化） 主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）
三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。
请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）
（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
张村 李庄
B B
图(2)E B D A
C P
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题
5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。
（二）8、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。
9、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为__________。
10、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长 。
11、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
12、在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．
C
D A B
E F
P
第11题 第14题 第15题
13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥
第2题 A 第1题 第3题
BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于 ．
14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF 的最小值为___________.
15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
试画出图形，并说明理由。
17、如图，直线l 是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
归纳与发现：
（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内
任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对
称点P′的坐标为 ；
运用与拓广：
（3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直
线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最
小，并求出Q 点坐标．
18、几何模型：
条件：如图，A 、B 是直线L 同旁的两个定点．问题：
在直线L 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于
点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；
（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． O A B P R Q 图3 A B E C B 图1 O A B C 图2 P A B A 'P l
19、问题探究
（1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；
A
D B C A D B C
E P。