2019届河北省武邑中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2019届河北省武邑中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，选D.2．设（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．详解：∵复数．．故选A.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：第一次循环：,第二次循环：，第三次循环：,第四次循环：,第五次循环：,第六次循环：,第七次循环：,第八次循环：,此时，结束循环，输出，选A.【考点】循环结构流程图4．已知直线、与平面、，下列命题正确的是（）A．，且，则B．，且，则C．，且，则D．，且，则【答案】B【解析】根据线面平行与垂直关系逐一判断选择.【详解】A.，且，则位置关系不定；B.若，则的法向量相互垂直，而，，则的方向向量分别为的一个法向量，所以；C.当时，且，，，才可推出；D.，且，则位置关系不定；综上选B.【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析推证能力，属中档题.5．已知等差数列的前项为，且，，则( ) A．90 B．100 C．110 D．120【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设公差为，，∴，，，，∴，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如是等差数列，则是等比数列，如是等比数列且均为正，则是等差数列.6．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的图形关于直线8x π=对称 C ．()f x 的一个零点为8x π=-D ．()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，则函数的周期为： ()*T k k N π=∈，取2k =可得函数的一个周期为2π； 函数图象的对称轴满足： ()242x k k Z πππ+=+∈，则：()28k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数的一条对称轴为8x π=；函数的零点满足： ()24x k k Z ππ+=∈，则： ()28k x k Z ππ=-∈， 令0k =可得函数的一个零点为8x π=-；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性；本题选择D 选项.7．若，，则的值构成的集合为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由知，，即，当时，，所以，从而，当时，，所以，因此选C.8．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A．24里B．18里C．12里D．6里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项, 为公比的等比数列,又,解得,则,故选B.9．如图所示，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在( )A．直线上B．直线上C．直线上D．内部【答案】A【解析】∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选项为：C10．设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C. 【考点】线性规划求最值，三角函数图像变换【名师点睛】1.对y＝A sin(ωx＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为x±a(a＞0)，变换后的函数解析式为y＝A sin[ω(x±a)＋φ]；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为y＝A sin(x＋φ)．2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．11．直线与圆心为，半径为的圆相交于，两点，另一直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB 的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．【详解】解：以为圆心，半径为的圆的方程为，联立，解得，，中点为而直线：恒过定点，要使四边形的面积最大,只需直线过圆心即可,即CD为直径,此时AB垂直CD,,四边形ACBD的面积最大值为．故选：A．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 12．奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f xf a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．()0,1【答案】D【解析】由函数的奇偶性、单调性得220x x a -+=有4个根，可转为220x x a -+=有2个不等正根，利用二次函数图像的性质即可得a 的范围. 【详解】解：函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，令()()220f xf a x +-=，由函数()f x 为奇函数可得()()()222f xf a x f x a =--=-，由函数是定义在R 上的单调函数得22x x a =-，则220x x a -+=有4个根，只需220x x a -+=有2个不等正根， 即2240a a >⎧⎨->⎩，解得：01a <<，即a 的取值范围是01a <<， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查二次函数图像性质的应用，属中档题.二、填空题13．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点e x =处切线的倾斜角的余弦值为__________．【答案】5【解析】 因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x ='+，所以()2f e '=，即tan 2k α==，且[)0,απ∈，则cos 5α=，所以曲线()y f x =在点x e =14．设(()ln f x x =，若()f a =()f a -=______.【答案】【解析】∵()(ln f x x =为奇函数，()f a =∴()() f a f a -=-=故答案为：15．若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】当时，由椭圆定义知，解得，不符合题意，当时，由椭圆定义知，解得，所以，故填.点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率. 16．已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是______ 【答案】【解析】函数在上有最大值，但没有最小值，所以.点睛：本题要考虑到在区间上有最大值，没有最小值，说明函数要包括正弦函数图形的山峰但不能包括其山谷，要明确题目意思是解题关键三、解答题 17．在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和； （2）若数列中，求数列的前和. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.18．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）【答案】（Ⅰ）或. （Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M．甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3．从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率．（Ⅲ）由茎叶图直接得．【详解】（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为.由题意，得，即.故图中a的取值为或.（Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M.由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，，.则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种，即，，，，，，，，，.而事件M的结果有7种，它们是，，，，，，所以.即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为.（Ⅲ）由茎叶图直接观察可得.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若，求三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)8.【解析】(Ⅰ) 取的中点为，根据等腰三角形性质得，再根据平行四边形性质得，即得，最后根据面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理得结果，(Ⅱ)先根据(Ⅰ)得平面，再根据三棱锥体积公式得结果.【详解】（I）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而.，，四边形为平行四边形，.，为的中点，，.平面平面，且交线为，平面，平面，而平面，.(Ⅱ)连结.由是正三角形，且为中点得，.由(Ⅰ)知，平面，.【点睛】本题考查三棱锥体积、面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（I）求椭圆的标准方程；（II）设点，是椭圆上异于顶点的任意两点，直线，的斜率分别为，且．①求的值；②设点关于轴的对称点为，试求直线的斜率．【答案】（I）；（II）①8；②或．【解析】(Ⅰ) 根据条件列方程组解得，，即得结果，(Ⅱ) ①先根据直线方程与椭圆方程解得，同理可得，再根据化简求值，②先用A,B坐标表示直线的斜率，再根据得，利用①结论以及椭圆方程解得，最后代入得结果.【详解】（1）由题意，所以，即，所以椭圆的方程为，又因为椭圆过点，所以，即，．所以所求椭圆的标准方程为．（2）①设直线的方程为，化简得，解得，因为，故，同理可得，所以．②由题意，点关于轴的对称点为的坐标为，又点是椭圆上异于顶点的任意两点，所以，故，即．设直线的斜率为，则，因为，即，故，所以，所以直线的斜率为为常数，即或．【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 21．已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明:；（Ⅲ）求证:对任意正整数，都有(其中为自然对数的底数).【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）先求，再对进行讨论即可.（Ⅱ）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得证.【详解】（Ⅰ）易得，函数，①当时，，所以在上单调递增②当时，令，解得．当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）当时，.要证明，即证，即. 即.设则令得，.当时，，当时，.所以为极大值点，也为最大值点所以.即.故.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.令，则，所以,即所以.【点睛】本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想及不等式的证明，考查数学分析法的运用，综合性强，属于中档题．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为为参数).（I）直线与圆相切，求的值；（II）若直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】(Ⅰ) 先将直线参数方程化为普通方程，将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到切线距离等于半径解得结果，(Ⅱ) 先将抛物线参数方程化为普通方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式以及韦达定理求结果.【详解】（I）圆的直角坐标方程为，直线的一般方程为，，；（II）曲线的一般方程为，代入得，，，.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆位置关系以及弦长公式，考查坐标分析求解能力，属基础题.23．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）当时，.∴.或或或或或.∴当时，不等式的解集为.（2）∵的解集为实数集对恒成立.又，∴.∴.故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。