高中数学必修二导学案

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高中数学必修2导学案

高中数学必修2导学案

高中数学必修2导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高一数学必修2 编制:廖信山审核:王育仁使用时间:2013年11月___日班级:__________ 组别:_________ 组号:_________ 姓名:___________空间几何体的结构(1)【学习目标】1.通过观察模型、图片,使学生理解并能归纳出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

2.通过对棱柱、棱锥、棱台的观察分析,培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。

3.通过教学活动,逐步培养学生探索问题的精神。

【自主学习】任务一阅读教材第2~3页,回答下列问题:1.空间几何体:____________________________________________________ 。

2.什么是多面体、多面体的面、棱、顶点?3.什么是旋转体、旋转体的轴?任务二阅读教材第3~4页,回答下列问题:1.什么是棱柱、棱柱的底、侧面、侧棱、顶点有什么特征如何表示如何分类思考:正方体、长方体是棱柱吗?2.什么是棱锥、棱锥的底、侧面、侧棱、顶点有什么特征如何表示如何分类思考:有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体是棱锥吗?3.什么是棱台、棱台的底、侧面、侧棱、顶点有什么特征如何表示如何分类2【合作探究】1.棱柱、棱锥、棱台都是多面体,当底面发生变化时,它们能否互相转化呢?【目标检测】A级:必做题1.一个多面体至少有________个面,面数最少的棱柱有_________个顶点。

2.在三棱锥A-BCD,可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A.1B.2C.3D.43.在棱柱中()A、只有两个面平行B、所有的棱都平行C、所有的面都是平行四边形D、两底面平行,且各侧棱也互相平行4.棱台不具有的性质是()A.两底面平行且相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后必交于一点B级:选做题1、若一个棱锥的侧面都是等边三角形,这个棱锥最多是()棱锥。

高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)

高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)

9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差;2.理解离散程度参数的统计含义;3.会应用相关知识解决实际统计问题.【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节(第209-213页),完成下列知识梳理。

1、预习课本中的问题3,回答下列问题(1)计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。

(2)作出两名运动员射击成绩的频率图(如下)甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大,而乙的成绩比较稳定。

可见,他们的射击成绩是存在差异的。

2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。

极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的信息量很少。

3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n,用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差(1)一组数据是x1,x2,⋯,x n,这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1,或1n∑x i2ni=1−x̅2,(你能证明两者是相等的吗?)(2)由于方差的单位是原始数据的单位的,为了使二者数据单位一致,我们取方差的算术平方根,得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1,或 √1n∑x i2ni=1−x̅2,(3)总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2,也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1,(4)样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1(5)标准差刻画了数据的程度或幅度,标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小,数据的离散程度越。

高中数学必修二导学案

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高中数学必修二导学案一、直线与方向1. 直线与线段的定义直线是由无数个点组成的,在两个点之间确定的线段称为直线段。

2. 直线的性质直线上的每个点都位于同一条直线上,直线没有起点和终点。

3. 直线的方向直线上的箭头表示直线的方向,箭头由起点指向终点。

4. 直线的倾斜程度直线的倾斜程度可以用斜率来表示,斜率是指直线的倾斜程度的数值大小。

5. 直线的平行与垂直直线的平行表示两条直线在同一平面上永远不会相交,直线的垂直表示两条直线之间的夹角为90度。

6. 直线的角度直线与水平线所成的角度为零度,直线与垂直线所成的角度为90度。

7. 直线与线段的关系直线可以分割线段,线段的两个端点分别位于直线的两侧。

8. 直线的长度直线没有长度,长度是指两点之间的距离。

二、平面向量1. 平面向量的定义平面向量是由有向线段表示的,有向线段是指有起点和终点的线段,有一个方向和大小。

2. 平面向量的性质平面向量可以进行平移、相加、数量乘法和点乘等运算。

3. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的起点相连,使其终点成为新向量的终点。

4. 平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量的大小与一个实数相乘,得到新的向量。

5. 平面向量的点乘平面向量的点乘是指将两个向量的大小相乘再乘以夹角的余弦值。

6. 平面向量的模长平面向量的模长是指向量的大小,即有向线段的长度。

7. 平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角,可以通过点乘计算。

8. 平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

三、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系直线与平面可以相互交叉,平行或垂直。

2. 直线与平面的距离直线与平面的距离是指直线上离平面最近点到平面的距离。

3. 平面与平面的位置关系平面与平面可以相互平行、相交或者垂直。

4. 平面与平面的位置判断通过两个向量的法向量来判断两个平面的位置关系。

四、空间中的向量1. 空间中的向量定义空间中的向量是三维空间中的有向线段,具有方向和大小。

人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节两条直线平行与垂直的判定

人教版高中数学必修二导学案:第二章第一节两条直线平行与垂直的判定

第二章第一节两条直线平行与垂直的判断三维目标1.理解从代数的角度判断两直线平行或垂直的方法;2.会运用条件判断两直线能否平行或垂直;3. 经过本节课的学习,学会用“联系”的看法看问题,进一步认识代数与几何的联系.________________________________________________________________________________目标三导学做思 1问题 1.上节课我们学习了影响直线倾斜程度的两个量:倾斜角和斜率,其定义、公式及其互相关系是什么?问题 2.假如两条直线平行,这两条直线的倾斜角相等吗?斜率必定相等吗?问题 3.两条直线的倾斜角(斜率)相等,则必定平行吗?问题 4.怎样归纳两直线l1、 l 2平行与斜率之间的关系?问题 5.你可否从向量的角度,对自学内容中例题 3 和例题 4 进行解决呢?问题 6.探究当直线l1⊥l2时,k1与k2需要知足的关系?【学做思2】1.判断以下各小题中的直线l1与 l2能否平行或垂直.(1)l1经过点 A (0,1),B(1,0), l2经过点M(-1,3),N(2,0);(2)l1经过点A(-3,2),B(-3,10), l 2经过点M(5,-2),N(5,5).(3)l1的斜率为-10, l2经过点A(10,2),B(20,3);(4)l1经过点A(3,4),B(3,100), l 2经过点M(-10,40),N(10,40).【变式】此题中,若直线l1与 l 2分别知足以下条件,则两直线的地点关系分别是什么?(1) l1的斜率为 1,l2经过点 A (1,1) , B(2,2) ;(2) l1经过点 A( - 1,- 2), B(1,2) ,l2经过点 M( - 2,- 1), N(2,1).2.已知四边形ABCD 的四个极点的坐标分别为A(0,1) ,B(1,0) , C(3,2) ,D(2, 3),试判断该四边形的形状 .*【变式】在平面直角坐标系下,有三个点A ( 2, 2), B (- 5, 1),C( 3,- 5),( 1)试求第四个点 D 的坐标,使得四边形ABCD 构成平行四边形.( 2)试求第四个点 D 的坐标,使得这四个点构成平行四边形.达标检测1.以下说法正确的选项是()A .若直线l1与l2斜率相等,则l1∥ l2B .若直线l1∥l2,则k l1 kl2C.若直线l1,l2的斜率都不存在,则 l1∥ l2D .若两条直线的斜率存在且不等,则两直线不平行.2.按序连接 A(1 ,- 1), B(2 ,- 1), C(0,1) , D(0,0) 四点所构成的图形是 ________.3.已知长方形 ABCD 的三个极点的坐标分别为A(0,1) ,B(1,0) ,C(4,3) ,则第四个极点 D 的坐标为 ________.4. 直线l1的斜率为2,直线l2上有三点A(3,5) 、 B(x,7) 、 C(-1,y), 若l1⊥l2,求值: x , y5.试确立 m 的值,使过点 A(2m,2) 、 B(- 2,3m) 的直线与过点 P(1,2)、Q(- 6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.。

人教版高中数学必修2全册导学案及答案

人教版高中数学必修2全册导学案及答案

人教版高中数学必修2全册导学案及答案全文表达流畅,无影响阅读体验的问题。

为了确保文章的质量,我认为在回答你的提问之前,有必要对导学案和答案的特点进行一下了解。

人教版高中数学必修2全册导学案是教师在备课过程中为了引导学生自主学习而准备的一份辅助教材。

它通常包含了本课时的学习目标、学习内容的整理、学习方法指导和相关习题等。

这些内容对于学生来说是非常重要的,因为通过导学案,学生可以在自主学习的过程中得到更好的指导和帮助。

作为导学案的一部分,答案的提供也是非常重要的。

学生在自学过程中,可以通过对答案的核对来检验自己的学习情况,找出自己的问题所在,并及时进行纠正和补充学习。

根据题目要求,我将按照导学案的格式布局,提供必修2全册的导学案及答案。

这样你可以更方便地进行自主学习,并通过对答案的核对来加深对数学知识的理解。

导学案及答案第一章函数与导数1.1 函数的概念与表示学习目标:1. 了解函数的基本概念;2. 掌握用集合、映射等方法表示函数的方法。

学习内容:1. 函数的定义;2. 函数的表示方法;3. 函数的性质。

学习方法指导:1. 仔细阅读教材相关内容,理解函数的定义;2. 注意区分自变量和因变量的概念;3. 多做一些例题,加深对函数表示方法的理解。

习题:1. 设函数f(x) = 2x + 3,求f(1)的值;2. 函数y = x^2的图象为抛物线,确定该函数的定义域和值域。

答案:1. 将x = 1带入函数f(x),得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。

2. 函数y = x^2的定义域为全体实数集R,值域为非负实数集[0,+∞)。

......根据上述导学案的格式,我将为你提供人教版高中数学必修2全册的导学案及答案。

由于篇幅限制,本文无法将全册的导学案及答案一一列出。

但你可以根据此示例并借鉴此格式,自行拟定其他章节的导学案及答案。

希望上述内容对你有所帮助,祝你学习顺利!。

人教版高中数学必修二导学案:第二章第三节直线与平面垂直的性质

人教版高中数学必修二导学案:第二章第三节直线与平面垂直的性质

第二章第三节直线与平面垂直的性质
三维目标
1.研究直线与平面垂直的性质定理;
2.掌握直线与平面垂直的性质定理.
________________________________________________________________________________目标三导学做思 1
问题 1. 如下图,侧棱与地面什么关系?
D1C1
a b
A1
1 B
C
B
图 2.3-5
图 2.3-4
问题 2. 证明线面垂直的性质定理,并请用符号语言、图形语言表示线面垂直的性质定理.
问题 3. 怎样在黑板面上画一条与地面垂直的直线?
【学做思2】
1.如图,已知PA⊥矩形 ABCD 所在平面, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 .
(1)求证: MN ⊥ CD;
(2)若∠ PDA=45°,求证 :MN ⊥面 PCD.
达标检测
* 1 .在空间,以下哪些命题是正确的()
①平行于同一条直线的两条直线相互平行;
②垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
③平行于同一个平面的两条直线相互平行;
④垂直于同—个平面的两条直线相互平行.
A .仅②不正确
B .仅①、④正确
C.仅①正确 D .四个命题都正确
*2. 已知l, EA于点A,EB于点B,a, a AB .求证 : a // l
3.如图 2,已知正方体 ABCD — A 1B1C1D1的棱长为 a,
(1)求证: BD 1⊥平面 B 1AC;
(2)求 B 到平面 B 1AC 的距离 .
图 2。

新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题

新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题

平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2-P4的内容,思考以下问题: 1.向量是如何定义的?向量与数量有什么区别? 2.怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?3.两个向量(向量的模)能否比较大小?4.如何判断相等向量或共线向量?向量AB →与向量BA →是相等向量吗?二、合作探究探究点1: 向量的相关概念例1:给出下列命题:①若AB→=DC →,则A ,B ,C ,D 四点是平行四边形的四个顶点; ②在▱ABCD 中,一定有AB →=DC →;③若a =b ,b =c ,则a =c .其中所有正确命题的序号为________.解析:AB→=DC →,A ,B ,C ,D 四点可能在同一条直线上,故①不正确;在▱ABCD 中,|AB →|=|DC→|,AB →与DC →平行且方向相同,故AB →=DC →,故②正确;a =b ,则|a |=|b |,且a 与b 的方向相同;b =c ,则|b |=|c |,且b 与c 的方向相同,则a 与c 长度相等且方向相同,故a =c ,故③正确.答案:②③ 探究点2: 向量的表示例2:在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:(1)OA→,使|OA →|=42,点A 在点O 北偏东45°方向上; (2)AB→,使|AB →|=4,点B 在点A 正东方向上; (3)BC→,使|BC →|=6,点C 在点B 北偏东30°方向上. 解:(1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA→|=42,小方格的边长为1,所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 的位置可以确定,画出向量OA→,如图所示.(2)由于点B 在点A 正东方向上,且|AB →|=4,所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B 的位置可以确定,画出向量AB→,如图所示.(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上,且|BC →|=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3,纵向小方格数为33≈5.2,于是点C 的位置可以确定,画出向量BC→,如图所示.探究点3:共线向量与相等向量例3:如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA →=a ,OB →=b ,在每两点所确定的向量中.(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与a 共线的向量有哪些?解:(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→,BC →,AO →,FE →.(2)与a 共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →. 互动探究1.变条件、变问法:本例中若OC →=c ,其他条件不变,试分别写出与a ,b ,c 相等的向量.解:与a 相等的向量有EF →,DO →,CB →;与b 相等的向量有DC →,EO →,F A →;与c 相等的向量有FO→,ED →,AB →. 2.变问法:本例条件不变,与AD→共线的向量有哪些?解:与AD →共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,OA →.三、学习小结1.向量的概念及表示(1)概念:既有大小又有方向的量. (2)有向线段①定义:具有方向的线段. ②三个要素:起点、方向、长度.③表示:在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→. ④长度:线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度,记作|AB →|.(3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量,就要看它是否具备大小和方向两个因素.(2)用有向线段表示向量时,要注意AB →的方向是由点A 指向点B ,点A 是向量的起点,点B 是向量的终点.2.向量的有关概念(1)向量的模(长度):向量AB →的大小,称为向量AB →的长度(或称模),记作|AB →|.(2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. 3.两个向量间的关系(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.若a ,b 是平行向量,记作a ∥b .规定:零向量与任意向量平行,即对任意向量a ,都有0∥a .(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量,若a ,b 是相等向量,记作a =b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量,两个概念没有区别. (2)共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的共线不同. (3)平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行不同. 四、精炼反馈1.如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,图中与AE →平行的向量的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C.图中与AE→平行的向量为BE →,FD →,FC →共3个.2.下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |=|b |,则a =b ; ②若a =b ,则a ∥b 且|a |=|b |;③若a 与b 方向相同且|a |=|b |,则a =b ; ④若a ≠b ,则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A .①③ B .②③ C .③④D .②④解析:选B .两个向量相等需同向等长,反之也成立,故①错误,a ,b 可能反向;②③正确;④两向量不相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等.3.已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O ,A ,B ,C ,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC→相等的向量;(2)与OB→长度相等的向量;(3)与DA→共线的向量.解:画出图形,如图所示.(1)易知BC ∥AD ,BC =AD ,所以与BC→相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB =OD =OA =OC ,所以与OB→长度相等的向量为BO →,OC →,CO →,OA →,AO →,OD →,DO →.(3)与DA→共线的向量为AD →,BC →,CB →.平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题?2.如何用向量方法解决物理问题? 二、合作探究探究点1:向量在几何中的应用角度一:平面几何中的垂直问题如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,求证:AF ⊥DE .证明:法一:设AD→=a ,AB →=b ,则|a |=|b |,a·b =0, 又DE→=DA →+AE →=-a +12b ,AF →=AB →+BF →=b +12a , 所以AF →·DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫b +12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-a +12b =-12a 2-34a ·b +12b 2=-12|a |2+12|b |2=0.故AF→⊥DE →,即AF ⊥DE . 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A (0,0),D (0,2),E (1,0),F (2,1),AF →=(2,1),DE →=(1,-2).因为AF→·DE →=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF→⊥DE →,即AF ⊥DE . 角度二:平面几何中的平行(或共线)问题如图,点O 是平行四边形ABCD 的中心,E ,F 分别在边CD ,AB 上,且CE ED =AFFB=12.求证:点E ,O ,F 在同一直线上.证明:设AB→=m ,AD →=n ,由CE ED =AF FB =12,知E ,F 分别是CD ,AB 的三等分点, 所以FO →=F A →+AO→=13BA →+12AC → =-13m +12(m +n )=16m +12n , OE→=OC →+CE →=12AC →+13CD → =12(m +n )-13m =16m +12n .所以FO→=OE →. 又O 为FO→和OE →的公共点,故点E ,O ,F 在同一直线上.角度三:平面几何中的长度问题如图,平行四边形ABCD 中,已知AD =1,AB =2,对角线BD =2,求对角线AC的长.解:设AD→=a ,AB →=b ,则BD →=a -b ,AC →=a +b ,而|BD→|=|a -b |=a 2-2a ·b +b 2=1+4-2a ·b =5-2a ·b =2, 所以5-2a ·b =4,所以a ·b =12,又|AC →|2=|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=1+4+2a ·b =6,所以|AC →|=6,即AC =6.探究点2:向量在物理中的应用(1)在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为25km/h .渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?(2)已知两恒力F 1=(3,4),F 2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A (20,15)移动到点B (7,0),求F 1,F 2分别对质点所做的功.解:(1)如图,设AB →表示水流的速度,AD →表示渡船的速度,AC →表示渡船实际垂直过江的速度.因为AB→+AD →=AC →,所以四边形ABCD 为平行四边形. 在Rt △ACD 中,∠ACD =90°,|DC→|=|AB →|=12.5.|AD→|=25,所以∠CAD =30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. (2)设物体在力F 作用下的位移为s ,则所做的功为W =F ·s .因为AB →=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). 所以W 1=F 1·AB→=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W 2=F 2·AB→=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). 三、学习小结1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2.向量在物理学中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,即为力F 与位移s 的数量积,即W =F·s =|F ||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角). 四、精炼反馈1.河水的流速为2 m/s ,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )A .10 m/sB .226 m/sC .4 6 m/sD .12 m/s解析:选B .由题意知|v 水|=2 m/s ,|v 船|=10 m/s ,作出示意图如图. 所以小船在静水中的速度大小 |v |=102+22=226(m/s ).2.已知三个力f 1=(-2,-1),f 2=(-3,2),f 3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f 4,则f 4=( )A .(-1,-2)B .(1,-2)C .(-1,2)D .(1,2)解析:选D .由物理知识知f 1+f 2+f 3+f 4=0,故f 4=-(f 1+f 2+f 3)=(1,2). 3.设P ,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点,AB ∥DC ,试用向量证明:PQ ∥AB .证明:设DC →=λAB →(λ>0且λ≠1),因为PQ →=AQ →-AP →=AB →+BQ →-AP →=AB →+12(BD→-AC →) =AB→+12[(AD →-AB →)-(AD →+DC →)] =AB→+12(CD →-AB →) =12(CD →+AB →)=12(-λ+1)AB→, 所以PQ →∥AB →,又P ,Q ,A ,B 四点不共线,所以PQ ∥AB .【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题: 1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理有哪些推论?二、合作探究探究点1:已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=55,BC =1,AC =5,则AB =( ) A .42 B .30 C .29D .25(2)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =5,c =2,cos A =23,则b =( )A .2B .3C .2D .3 解析:(1)因为cos C =2cos 2 C 2-1=2×15-1=-35,所以由余弦定理,得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos C =25+1-2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫-35=32,所以AB =42,故选A .(2)由余弦定理得5=22+b 2-2×2b cos A ,因为cos A =23,所以3b 2-8b -3=0,所以b =3⎝ ⎛⎭⎪⎫b =-13舍去.故选D .答案:(1)A (2)D 互动探究:变条件:将本例(2)中的条件“a =5,c =2,cos A =23”改为“a =2,c =23,cos A =32”,求b 为何值?解:由余弦定理得: a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,所以22=b 2+(23)2-2×b ×23×32, 即b 2-6b +8=0,解得b =2或b =4. 探究点2:已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中,已知a =3,b =5,c =19,则最大角与最小角的和为( ) A .90°B .120°C .135°D .150°(2)在△ABC 中,若(a +c )(a -c )=b (b -c ),则A 等于( ) A .90° B .60° C .120°D .150°解析:(1)在△ABC 中,因为a =3,b =5,c =19,所以最大角为B ,最小角为A ,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =9+25-192×3×5=12,所以C =60°,所以A +B =120°,所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°.故选B .(2)因为(a +c )(a -c )=b (b -c ),所以b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为A ∈(0°,180°),所以A =60°.答案:(1)B (2)B 探究点3: 判断三角形的形状在△ABC 中,若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ,试判断△ABC 的形状.解:将已知等式变形为b 2(1-cos 2C )+c 2(1-cos 2B )=2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理,得b 2+c 2-b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2+b 2-c 22ab 2-c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+c 2-b 22ac 2 =2bc ×a 2+c 2-b 22ac ×a 2+b 2-c22ab ,所以b 2+c 2=[(a 2+b 2-c 2)+(a 2+c 2-b 2)]24a 2=4a 44a 2=a 2.所以A =90°.所以△ABC 是直角三角形. 三、学习小结2.余弦定理的推论cos A=b2+c2-a22bc;cos B=a2+c2-b22ac;cos C=a2+b2-c22ab.3.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.四、精炼反馈1.在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=()A.90°B.120°C.135°D.150°解析:选B.cos B=a2+c2-b22ac=25+64-492×5×8=12.所以B=60°,所以A+C=120°.2.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:选B.因为(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=12,所以A=60°.3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab =________.解析:因为C=60°,所以c2=a2+b2-2ab cos 60°,即c2=a2+b2-ab.①又因为(a +b )2-c 2=4, 所以c 2=a 2+b 2+2ab -4.②由①②知-ab =2ab -4,所以ab =43. 答案:434.在△ABC 中,a cos A +b cos B =c cos C ,试判断△ABC 的形状.解:由余弦定理知cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =c 2+a 2-b 22ca,cos C =a 2+b 2-c 22ab ,代入已知条件得a ·b 2+c 2-a 22bc +b ·c 2+a 2-b 22ca+c ·c 2-a 2-b 22ab =0,通分得a 2(b 2+c 2-a 2)+b 2(a 2+c 2-b 2)+c 2(c 2-a 2-b 2)=0, 展开整理得(a 2-b 2)2=c 4.所以a 2-b 2=±c 2,即a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.在直角三角形中,边与角之间的关系是什么?2.正弦定理的内容是什么?二、合作探究探究点1:已知两角及一边解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.解:因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由asin A=csin C得a=c sin Asin C=10×sin 45°sin 30°=102.因为sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+64,所以b=c sin Bsin C=10×sin(A+C)sin 30°=20×2+64=52+56.探究点2:已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件,解三角形:(1)a=10,b=20,A=60°;(2)a=2,c=6,C=π3.解:(1)因为bsin B=asin A,所以sin B=b sin Aa=20sin 60°10=3>1,所以三角形无解.(2)因为asin A=csin C,所以sin A=a sin Cc=22.因为c>a,所以C>A.所以A=π4.所以B=5π12,b=c sin Bsin C=6·sin5π12sinπ3=3+1.互动探究:变条件:若本例(2)中C=π3改为A=π4,其他条件不变,求C,B,b.解:因为asin A=csin C,所以sin C=c sin Aa=32.所以C=π3或2π3.当C=π3时,B=5π12,b=a sin Bsin A=3+1.当C=2π3时,B=π12,b=a sin Bsin A=3-1.探究点3:判断三角形的形状已知在△ABC中,角A,B所对的边分别是a和b,若a cos B=b cos A,则△ABC一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理得:a cos B=b cos A⇒sin A cos B=sin B cos A⇒sin(A-B)=0,由于-π<A-B<π,故必有A-B=0,A=B,即△ABC为等腰三角形.答案:A变条件:若把本例条件变为“b sin B=c sin C”,试判断△ABC的形状.解:由b sin B=c sin C可得sin2B=sin2C,因为三角形内角和为180°,所以sin B=sin C.所以B=C.故△ABC为等腰三角形.三、学习小结1.正弦定理2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;(4)a+b+csin A+sin B+sin C=2R.四、精炼反馈1.(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos C=()A.33B.63C.32D.62解析:选B.由正弦定理,得ABsin C=ACsin B,即2sin C=3sin 60°,解得sin C=33.因为AB<AC,所以C<B,所以cos C=1-sin2C=6 3.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c =()A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.2∶3∶1D.1∶3∶2解析:选D.在△ABC中,因为A∶B∶C=1∶2∶3,所以B=2A,C=3A,又A+B+C =180°,所以A=30°,B=60°,C=90°,所以a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=1∶3∶2.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-a cos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:选D.已知c-a cos B=(2a-b)cos A,由正弦定理得sin C-sin A cos B=2sin A cos A-sin B cos A,所以sin(A+B)-sin A cos B=2sin A cos A-sin B cos A,化简得cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B-sin A=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.什么是基线?2.基线的长度与测量的精确度有什么关系?3.利用正、余弦定理可解决哪些实际问题?二、合作探究探究点1:测量距离问题海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛间的距离是________.解析:如图,在△ABC中,∠C=180°-(∠B+∠A)=45°,由正弦定理,可得BCsin 60°=ABsin 45°,所以BC=32×10=56(海里).答案:56海里互动探究:变条件:在本例中,若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A,C两岛相距20海里”,其他条件不变,又如何求B岛与C岛间的距离呢?解:由已知在△ABC中,AB=10,AC=20,∠BAC=60°,即已知两边和两边的夹角,利用余弦定理求解即可.BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 60°=102+202-2×10×20×12=300.故BC=103.即B,C间的距离为103海里.探究点2测量高度问题如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.解析:由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.又AB=600 m,故由正弦定理得600sin 45°=BCsin 30°,解得BC=300 2 m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=3002×33=1006(m).答案:1006互动探究:变问法:在本例条件下,汽车在沿直线AB方向行驶的过程中,若测得观察山顶D点的最大仰角为α,求tan α的值.解:如图,过点C,作CE⊥AB,垂足为E,则∠DEC=α,由例题可知,∠CBE=75°,BC=3002,所以CE=BC·sin∠CBE=3002sin 75°=3002×2+6 4=150+1503.所以tan α=DCCE=1006150+1503=32-63.探究点3:测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只,正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示),观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后,海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处,随即以每小时103海里的速度前往拦截.(1)问:海监船接到通知时,在距离岛A多少海里处?(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只,求它的航行方向及其航行的时间.解:(1)根据题意得∠BAC=45°,∠ABC=75°,BC=10,所以∠ACB=180°-75°-45°=60°,在△ABC中,由ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,得AB=BC sin∠ACBsin∠BAC=10sin 60°sin 45°=10×3222=56.所以海监船接到通知时,在距离岛A 5 6 海里处.(2)设海监船航行时间为t小时,则BD=103t,CD=10t,又因为∠BCD=180°-∠ACB=180°-60°=120°,所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos 120°,所以300t 2=100+100t 2-2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,所以2t 2-t -1=0,解得t =1或t =-12(舍去). 所以CD =10,所以BC =CD ,所以∠CBD =12(180°-120°)=30°, 所以∠ABD =75°+30°=105°.所以海监船沿方位角105°航行,航行时间为1个小时. (或海监船沿南偏东75°方向航行,航行时间为1个小时) 三、学习小结1.基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. 2.基线与测量精确度的关系一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 图示南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)四、精炼反馈1.若P 在Q 的北偏东44°50′方向上,则Q 在P 的( ) A .东偏北45°10′方向上 B .东偏北45°50′方向上 C .南偏西44°50′方向上D .西偏南45°50′方向上解析:选C.如图所示.2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=200米,点C位于BD上,则山高AB等于()A.1002米B.50(3+1)米C.100(3+1)米D.200米解析:选C.设AB=x米,在Rt△ACB中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠D=30°,则BD=3AB=3x.因为BD-BC=CD,所以3x-x=200,解得x=100(3+1).故选C.3.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处,以v公里/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处,若cos α=34cos β,则v=()A.60B.80C.100D.125解析:选C.画出图象如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2×200×150cos(α+β)①,由正弦定理得150sin β=200sin α,所以sin α=43sin β.又cos α=34cos β,sin2α+cos2α=1,解得sin β=35,故cos β=45,sin α=45,cos α=35,故cos(α+β)=1225-1225=0,代入①解得v=100.4.某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船,正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶,巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击,问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船,并指出巡逻艇的航行方向.解:设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船,依题意:AC =123t ,BC =12t ,∠ABC =120°,在△ABC 中,由正弦定理得123tsin 120°=12tsin ∠BAC,所以sin ∠BAC =12,所以∠BAC =30°,所以AB =BC =8=12t ,解得t =23,航行的方向为北偏东75°.即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船,沿北偏东75°的方向航行.平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则, 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.在求两向量和的运算时,通常使用哪两个法则?2.向量加法的运算律有哪两个?二、新知探究探究点1:平面向量的加法及其几何意义例1:如图,已知向量a ,b ,c ,求作和向量a +b +c .解:法一:可先作a +c ,再作(a +c )+b ,即a +b +c .如图,首先在平面内任取一点O ,作向量OA→=a ,接着作向量AB →=c ,则得向量OB→=a +c ,然后作向量BC →=b ,则向量OC→=a +b +c 为所求.法二:三个向量不共线,用平行四边形法则来作.如图,(1)在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ;(2)作平行四边形AOBC ,则OC→=a +b ;(3)再作向量OD→=c ;(4)作平行四边形CODE , 则OE→=OC →+c =a +b +c .OE →即为所求.探究点2:平面向量的加法运算 例2:化简:(1)BC→+AB →; (2)DB→+CD →+BC →; (3)AB →+DF →+CD →+BC →+F A →.解:(1)BC→+AB →=AB →+BC →=AC →.(2)DB→+CD →+BC → =BC→+CD →+DB → =(BC→+CD →)+DB → =BD→+DB →=0. (3)AB →+DF →+CD →+BC →+F A → =AB →+BC →+CD →+DF →+F A → =AC →+CD →+DF →+F A → =AD →+DF →+F A →=AF →+F A →=0. 探究点3:向量加法的实际应用例3:某人在静水中游泳,速度为43千米/小时,他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度大小为多少?解:如图,设此人游泳的速度为OB→,水流的速度为OA →,以OA →,OB →为邻边作▱OACB ,则此人的实际速度为OA→+OB →=OC →.由勾股定理知|OC→|=8,且在Rt △ACO 中,∠COA =60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/小时. 三、学习小结即a +b =AB+BC =AC对角线OC就是a 与b 的和2.|a +b |,|a |,|b |之间的关系一般地,|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当a ,b 方向相同时等号成立. 四、精炼反馈1.化简OP→+PQ →+PS →+SP →的结果等于( )A .QP →B .OQ →C .SP →D .SQ→ 解析:选B .OP→+PQ →+PS →+SP →=OQ →+0=OQ →.2.在四边形ABCD 中,AC →=AB →+AD →,则一定有( )A .四边形ABCD 是矩形B .四边形ABCD 是菱形C .四边形ABCD 是正方形D .四边形ABCD 是平行四边形解析:选D .由AC→=AB →+AD →得AD →=BC →,即AD =BC ,且AD ∥BC ,所以四边形ABCD的一组对边平行且相等,故为平行四边形.3.已知非零向量a ,b ,|a |=8,|b |=5,则|a +b |的最大值为______. 解析:|a +b |≤|a |+|b |,所以|a +b |的最大值为13. 答案:134.已知▱ABCD ,O 是两条对角线的交点,E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点),求作:(1)AO→+AC →; (2)DE→+BA →.解:(1)延长AC ,在延长线上截取CF =AO ,则向量AF→为所求.(2)在AB 上取点G ,使AG =13AB , 则向量BG→为所求.【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容,思考以下问题: 1.a 的相反向量是什么?2.向量减法的几何意义是什么? 二、新知探究探究点1: 向量的减法运算例1:化简下列各式:(1)(AB →+MB →)+(-OB →-MO →); (2)AB →-AD →-DC →.解:(1)法一:原式=AB →+MB →+BO →+OM →=(AB →+BO →)+(OM →+MB →)=AO →+OB →=AB→. 法二:原式=AB →+MB →+BO →+OM →=AB →+(MB →+BO →)+OM →=AB →+MO →+OM →=AB →+0 =AB→. (2)法一:原式=DB→-DC →=CB →.法二:原式=AB →-(AD →+DC →)=AB →-AC →=CB →. 探究点2:向量的减法及其几何意义例2:如图,已知向量a ,b ,c 不共线,求作向量a +b -c .解:法一:如图①,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,连接BC ,则CB→=b -c . 过点A 作AD 綊BC ,连接OD , 则AD→=b -c , 所以OD→=OA →+AD →=a +b -c . 法二:如图②,在平面内任取一点O ,作OA→=a ,AB →=b ,连接OB ,则OB →=a +b ,再作OC →=c ,连接CB ,则CB →=a +b -c .法三:如图③,在平面内任取一点O , 作OA→=a ,AB →=b ,连接OB , 则OB→=a +b ,再作CB →=c ,连接OC , 则OC→=a +b -c .探究点3:用已知向量表示其他向量例3:如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,点B 是该平行四边形外一点,且AB →=a ,AC→=b ,AE →=c ,试用向量a ,b ,c 表示向量CD →,BC →,BD →.解:因为四边形ACDE 是平行四边形,所以CD→=AE →=c ,BC →=AC →-AB →=b -a , 故BD →=BC →+CD →=b -a +c . 三、学习小结1.相反向量(1)定义:与a 长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向差,记作-a ,并且规定,零向量的相反向量仍是零向量.(2)结论①-(-a )=a ,a +(-a )=(-a )+a =0;②如果a 与b 互为相反向量,那么a =-b ,b =-a ,a +b =0. 2.向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即a -b =a +(-b ).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)作法:在平面内任取一点O ,作OA→=a ,OB →=b ,则向量BA →=a -b ,如图所示.(3)几何意义:a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 四、精炼反馈1.在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,则AD→-AC →等于( )A .CB → B .BC → C .CD→ D .DC→ 解析:选C .在△ABC 中,D 是BC 边上一点,则由两个向量的减法的几何意义可得AD →-AC→=CD →. 2.化简:AB→-AC →+BD →-CD →+AD →=________.解析:原式=CB →+BD →+DC →+AD →=CD →+DC →+AD →=0+AD →=AD →.答案:AD→3.已知错误!=10,|错误!|=7,则|错误!|的取值范围为______.解析:因为CB →=AB →-AC →,所以|CB→|=|AB →-AC →|. 又错误!≤|错误!-错误!|≤|错误!|+|错误!|, 3≤|AB→-AC →|≤17, 所以3≤|CB →|≤17.答案:[3,17]4.若O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB→-OC →|=|OB →-OA →+OC →-OA →|,试判断△ABC 的形状.解:因为OB→-OA →+OC →-OA →=AB →+AC →,OB →-OC →=CB →=AB →-AC →.又|OB→-OC →|=|OB →-OA →+OC →-OA →|, 所以|AB→+AC →|=|AB →-AC →|,所以以AB ,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以该平行四边形为矩形,所以AB ⊥AC ,所以△ABC 是直角三角形.【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.向量数乘的定义及其几何意义是什么?2.向量数乘运算满足哪三条运算律?3.向量共线定理是怎样表述的?4.向量的线性运算是指的哪三种运算? 二、新知探究探究1: 向量的线性运算 例1:(1)计算:①4(a +b )-3(a -b )-8a ;②(5a -4b +c )-2(3a -2b +c );③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a -3b )+13b -14(6a -7b ). (2)设向量a =3i +2j ,b =2i -j ,求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a -b -⎝ ⎛⎭⎪⎫a -23b +(2b -a ).解:(1)①原式=4a +4b -3a +3b -8a =-7a +7b .②原式=5a -4b +c -6a +4b -2c =-a -c .③原式=23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a -3b +13b -32a +74b=23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a -1112b =53a -1118b .(2)原式=13a -b -a +23b +2b -a =⎝ ⎛⎭⎪⎫13-1-1a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+23+2b =-53a +53b =-53(3i +2j )+53(2i -j )=⎝ ⎛⎭⎪⎫-5+103i +⎝ ⎛⎭⎪⎫-103-53j =-53i -5j . 探究点2:向量共线定理及其应用例2:已知非零向量e 1,e 2不共线.(1)如果AB →=e 1+e 2,BC →=2e 1+8e 2,CD →=3(e 1-e 2),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)欲使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线,试确定实数k 的值.解:(1)证明:因为AB →=e 1+e 2,BD →=BC →+CD →=2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB→. 所以AB→,BD →共线,且有公共点B , 所以A 、B 、D 三点共线. (2)因为k e 1+e 2与e 1+k e 2共线, 所以存在实数λ,使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2), 则(k -λ)e 1=(λk -1)e 2,由于e 1与e 2不共线,只能有⎩⎨⎧k -λ=0,λk -1=0,所以k =±1. 探究点3:用已知向量表示其他向量例3:如图,ABCD 是一个梯形,AB →∥CD →且|AB →|=2|CD →|,M ,N 分别是DC ,AB 的中点,已知AB→=e 1,AD →=e 2,试用e 1,e 2表示下列向量.(1)AC→=________; (2)MN→=________.解析:因为AB→∥CD →,|AB →|=2|CD →|,所以AB→=2DC →,DC →=12AB →. (1)AC →=AD →+DC →=e 2+12e 1. (2)MN→=MD →+DA →+AN → =-12DC →-AD →+12AB →=-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2.答案:(1)e 2+12e 1(2)14e 1-e 2 互动探究变条件:在本例中,若条件改为BC →=e 1,AD →=e 2,试用e 1,e 2表示向量MN →.解:因为MN→=MD →+DA →+AN →,MN→=MC →+CB →+BN →, 所以2MN →=(MD →+MC →)+DA →+CB →+(AN →+BN →). 又因为M ,N 分别是DC ,AB 的中点,所以MD→+MC →=0,AN →+BN →=0. 所以2MN→=DA →+CB →, 所以MN →=12(-AD →-BC →)=-12e 2-12e 1. 三、学习小结1.向量的数乘的定义一般地,规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下:(1)|λa |=|λ||a |.(2)当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0.2.向量数乘的运算律 设λ,μ为实数,那么: (1)λ(μa )=(λμ)a .(2)(λ+μ)a =λa +μa . (3)λ(a +b )=λa +λb . 3.向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ,b ,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b .(2)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b =λa . 四、精炼反馈 1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a +8b )-(4a -2b )等于( )A .2a -bB .2b -aC .b -aD .a -b解析:选B .原式=16(2a +8b )-13(4a -2b )=13a +43b -43a +23b =-a +2b . 2.若点O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →=2e 1,BC →=3e 2,则32e 2-e 1=( ) A .BO→ B .AO→ C .CO→ D .DO→ 解析:选A .BD →=AD →-AB →=BC →-AB →=3e 2-2e 1,BO →=12BD →=32e 2-e 1.3.已知e 1,e 2是两个不共线的向量,若AB →=2e 1-8e 2,CB →=e 1+3e 2,CD →=2e 1-e 2,求证A ,B ,D 三点共线.证明:因为CB →=e 1+3e 2,CD →=2e 1-e 2,所以BD→=CD →-CB →=e 1-4e 2. 又AB →=2e 1-8e 2=2(e 1-4e 2),所以AB →=2BD →,所以AB →与BD →共线. 因为AB 与BD 有交点B ,所以A ,B ,D 三点共线.【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题: 1.什么是向量的夹角? 2.数量积的定义是什么? 3.投影向量的定义是什么? 4.向量数量积有哪些性质? 5.向量数量积的运算有哪些运算律? 二、新知探究探究点1:平面向量的数量积运算例1:(1)已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a +3b ).(2)如图,在▱ABCD 中,|AB →|=4,|AD →|=3,∠DAB =60°,求:①AD →·BC →;②AB →·DA →.解:(1)(a +2b )·(a +3b ) =a·a +5a·b +6b·b =|a |2+5a·b +6|b |2 =|a |2+5|a ||b |cos 60°+6|b |2=62+5×6×4×cos 60°+6×42=192.(2)①因为AD→∥BC →,且方向相同,所以AD→与BC →的夹角是0°, 所以AD→·BC →=|AD →||BC →|·cos 0°=3×3×1=9. ②因为AB→与AD →的夹角为60°,所以AB→与DA →的夹角为120°, 所以AB→·DA →=|AB →||DA →|·cos 120°=4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-6.互动探究:变问法:若本例(2)的条件不变,求AC→·BD →.解:因为AC→=AB →+AD →,BD →=AD →-AB →,所以AC →·BD →=(AB →+AD →)·(AD →-AB →) =AD →2-AB →2=9-16=-7. 探究点2: 向量模的有关计算例2:(1)已知平面向量a 与b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=( ) A .3 B .23C .4D .12(2)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=32,a 与b 的夹角为60°,则|b |=( )A .13B .12C .15D .14 解析:(1)|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a·b +4b 2 =|a |2+4|a ||b |cos 60°+4|b |2= 4+4×2×1×12+4=23.(2)由题意得|a -b |2=|a |2+|b |2-2|a ||b |·cos 60°=34,即1+|b |2-|b |=34,解得|b |=12. 答案:(1)B (2)B 探究点3: 向量的夹角与垂直命题角度一:求两向量的夹角例3:(1)已知|a |=6,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则a 与b 的夹角为________;(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为______.解析:(1)设a 与b 的夹角为θ,(a +2b )·(a -3b )=a ·a -3a ·b +2b ·a -6b ·b =|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×cos θ-6×42=-72, 所以24cos θ=36+72-96=12,所以cos θ=12.又因为θ∈[]0,π,所以θ=π3.(2)设a 与b 的夹角为θ,由(a -b )⊥b ,得(a -b )·b =0,所以a ·b =b 2,所以cos θ=b 2|a ||b |.又因为|a |=2|b |,所以cos θ=|b |22|b |2=12.又因为θ∈[0,π],所以θ=π3.答案:(1)π3(2)π3命题角度二:证明两向量垂直例4:已知a ,b 是非零向量,当a +t b (t ∈R )的模取最小值时,求证:b ⊥(a +t b ).证明:因为|a +t b |=(a +t b )2=a 2+t 2b 2+2t a ·b =|b |2t 2+2a ·b t +|a |2,所以当t =-2a ·b 2|b |2=-a·b|b |2时,|a +t b |有最小值.此时b ·(a +t b )=b·a +t b 2=a·b +⎝ ⎛⎭⎪⎫-a·b |b |2·|b |2=a·b -a·b =0.所以b ⊥(a +t b ). 命题角度三:利用夹角和垂直求参数例5:(1)已知a ⊥b ,|a |=2,|b |=3且向量3a +2b 与k a -b 互相垂直,则k 的值为( )A .-32 B .32 C .±32D .1(2)已知a ,b ,c 为单位向量,且满足3a +λb +7c =0,a 与b 的夹角为π3,则实数λ=________.解析:(1)因为3a +2b 与k a -b 互相垂直, 所以(3a +2b )·(k a -b )=0, 所以3k a 2+(2k -3)a·b -2b 2=0. 因为a ⊥b ,所以a ·b =0, 又|a |=2,|b |=3, 所以12k -18=0,k =32.(2)由3a +λb +7c =0,可得7c =-(3a +λb ), 即49c 2=9a 2+λ2b 2+6λa ·b , 而a ,b ,c 为单位向量, 则a 2=b 2=c 2=1, 则49=9+λ2+6λcos π3,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=5. 答案:(1)B (2)-8或5 三、学习小结1.两向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a ,b ,O 是平面上的任意一点,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.(2)特例:①当θ=0时,向量a 与b 同向;②当θ=π2时,向量a 与b 垂直,记作a ⊥b ; ③当θ=π时,向量a 与b 反向. 2.向量的数量积已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0. 3.投影向量如图(1),设a ,b 是两个非零向量,AB→=a ,CD →=b ,我们考虑如下变换:过AB →的起点A 和终点B ,分别作CD →所在直线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,得到A 1B 1→,我们称上述变换为。

高中数学必修2优质导学案

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高中数学必修2优质导学案导学目的:通过本导学案的学习,能够全面理解高中数学必修2各个知识点的概念和应用,提高数学思维能力,做到知识点的灵活运用。

一、无理方程的解与判定1. 定义无理方程无理方程就是方程中包含有无理数的变量,如根式、π等。

例如:$\sqrt{3x+1}-2=5$。

2. 解无理方程的方法解无理方程的关键在于将无理数项逐步化简,最终得到可解的方程。

通过反复化简过程,得出方程解的过程。

3. 题目训练(1)求解方程$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-1}=1$。

(2)判定方程$\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}=1$的解的有无。

二、二次函数及其性质1. 二次函数的概念二次函数是形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数,其中$a$、$b$、$c$是常数且$a\neq0$。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个开口向上或者向下的抛物线,开口的方向由二次项系数$a$的正负来确定。

3. 二次函数的性质(1)顶点坐标:顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。

(2)判别式$\Delta=b^2-4ac$的作用:$\Delta>0$时,二次函数有两个不同的实数根;$\Delta=0$时,二次函数有两个相等的实数根;$\Delta<0$时,二次函数无实数根。

4. 题目训练(1)已知二次函数$f(x)=2x^2-4x+1$,求其顶点坐标。

(2)讨论二次函数$g(x)=3x^2+5x+2$的实数解的情况。

三、圆的性质及相关定理1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。

2. 圆周角与圆心角(1)圆周角:圆周角是指顶点在圆的周长上的角,它的度数等于该角对应的弧度。

(2)圆心角:圆心角是指角的顶点是圆心的角,它的度数是圆心与角顶点两条射线的夹角。

3. 圆的相关定理(1)圆心角定理:同一个圆的圆心角相等。

(2)圆周角定理:顶点在同一个圆周上的圆周角相等。

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必修二测试题
一、选择题:(本大题共有10小题,每小题5分,共50分.)
1.对于一个底边在x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的.
A. 2倍
B.
4
C. 2倍
D. 12
倍 2.在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.
A. y=-x+2 B. y=-x-2 C. y=x+2 D. y=x-2 3.下列说法中正确的是( )
A 、三点确定一个平面
B 、空间四点中如果有三点共线,则这四点共面
C 、三条直线两两相交,则这三条直线共面
D 、两条直线确定一个平面
4.将直线:210l x y +-=向左平移3个单位,再向上平移2个单位得到直线l ',则直线l l '与之间的距离为.
A
B
C .15
D .75
5.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是
A .
5 B .
6 C .5 D .6
6.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,
俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为
A .3π2
B .2π
C .3π
D .4π 7.已知圆4)1(22=+-y x 内一点P (2,1),则过P 点最短弦所在的直线方程是 ( )
A .01=+-y x
B .03=-+y x
C .03=++y x
D .2=x
8.两圆(x ―2)2+(y+1)2 = 4与(x+2)2+(y ―2)2 =16的公切线有( )
A .1条
B .2条
C .4条
D .3条
9.已知直线n m l 、、
及平面α,下列命题中的假命题是( ) A.若//l m ,//m n ,则//l n . B.若l α⊥,//n α,则l n ⊥.
C.若//l α,//n α,则//l n .
D.若l m ⊥,//m n ,则l n ⊥.
10.设P 是△ABC 所在平面α外一点,若P A ,PB ,PC 两两垂直,则P 在平面α内的射影是△ABC 的( )
A .内心
B .外心
C .重心
D .垂心 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
11.在圆 224x y +=上,与直线4x +3y -12=0的距离最小的点的坐标 .
12.已知球的一个截面的面积为9π,且此截面到球心的距离为4,则该球的表面积为____
13.已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点,且圆C 与直线x+y+3=0相切,求圆C 的方程

14
.已知实数x,y
满足方程x 2+y 2-4x+1=0, 求x
y 的最大值 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题12分)
(1) 求过直线17810l x y --=:和220l x y ++=:的交点,且垂直于直线270x y -+=的直线l 的方程;
(2)求圆心在直线1+50l x y -=:3上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程。

(本小题12分)
16.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点。

求证:(1)PA ∥平面BDE (2)平面PAC ⊥平面BDE
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC=2,E 是P C 的中
点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .
(1)证明 P A //平面EDB ; (2)证明PB ⊥平面EFD ;
(3)求三棱锥F-DBE 的体积
(本小题14分)
18.已知线段AB 的端点B 的坐标为 (1,3),端点A 在圆O:4)1(22=++y x 上运动。

O 为圆的圆心.
(1)求线段AB 的中点M 的轨迹;
(2)过B 点的直线L 与圆O 有两个交点C ,D 。

当CO ⊥DO 时,求L 的斜率。

已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,A 是锐角,且B a b sin 23=
(1)求A ;(2)若ABC a ∆=,7的面积为310,求b+c
20.(本小题14分)
数列}{a n 的前n 项和为n S ,1a =1. n 1n 2S a =+
(1)求证数列n S 为等比数列(2)求数列}{a n 的通项(3)求数列}{na n 的前n 项和n T 。

答案:1~10:BABBB ABBCD 。

11~14:
)5
6
58,(,π100,2)1(22=++y x ,3 解答题:15032:=++y x l ,925)35-(22=+y x 17.9418.点M 的轨迹是以30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
为圆心,1为半径的圆
3k =±.19. 60,13. 20. 113)1(11,1,3--⋅-+=⎨⎧===n n n n n n T n a S ,,。

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