两圆位置关系
圆与圆的位置关系
B
o •
p •
变形
若上题改为“以P为 圆心作⊙P与⊙O相 切”呢？
o2两圆外离性质来自d>R+r
o 2 o1
T
d
R
r
两圆内切
性质 d=R-r (R>r)
数形结合！
O1 O2 d r R O
两圆内含
0≤ d<R-r (R>r)
O1 O2
R d
d<R+r
O1 r
O2
R d
d+r>R
r
两圆相交性质 R-r< d<R+r
∴d >R-r
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 d 和R、 r关系 d >R+ r d =R+ r R− r <d <R+ r d = R− r 0≤ d<R-r (R>r) 交点 0 1 2 1 0
性质 判定
0
R ―r
R+r
d
同 心 圆
内 含
内 切
相 交
外 切
外 离
位 置 关 系 数 字 化
例题
已知：如图⊙O的半径为OA=５ cm，点p是圆外一点，op=8cm。
求：（１）以p为圆心作⊙P与⊙O 外切，⊙ P的半径是多少？
（２）
以P为圆心作⊙P与⊙O内切， ⊙ P的半径是多少？
解：由两圆内切，则OP=BP-OB ∴ BP=OP+OB=8+5=13（cm）， 即大圆P的半径是13cm。
探究一
圆与圆有哪几种位置关系？
观察、实验
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)圆心距d ＝(a 1－a 2)2＋(b 1－b 2)2 d >r 1＋r 2⇔两圆__外离__；d ＝r 1＋r 2⇔两圆__外切__；|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆__相交__；d ＝|r 1－r 2|⇔两圆__内切__；0<d <|r 1－r 2|⇔两圆__内含__，d ＝0时为同心圆．2．两圆的公切线条数：当两圆内切时有__一条__公切线；当两圆外切时有__三条__公切线；相交时有__两条__公切线；相离时有__四条__公切线；内含时__无__公切线．随堂练习1．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是 ( C )A ．相切B ．外离C ．内含D ．相交[解析] 圆x 2＋y 2＝1的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝1，圆x 2＋y 2＝2的圆心O 2(0,0)，半径r 2＝2则d ＝|O 1O 2|＝0，|r 2－r 1|＝2－1∴d <|r 2－r 1|，∴这两圆的位置关系是内含．2．圆x 2＋y 2＝4与圆(x －4)2＋(y －7)2＝1公切线的条数为 ( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心O 1(0,0)，半径r 1＝2，圆(x －4)2＋(y －7)2＝1的圆心O 2(4,7)，半径r 2＝1，则d ＝|O 1O 2|＝(4－0)2＋(7－0)2＝65>r 1＋r 2＝3．∴这两圆的位置关系是外离．有4条公切线，故选D ．3．若圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m ＝__1或121__.[解析] 圆x 2＋y 2＝m 的半径r 1＝m 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0的圆心坐标为(－3,4)，半径r 2＝6．∵两圆相内切，两圆心距离d ＝5∴6－m ＝5，或m －6＝5∴m ＝1或m ＝121．4．已知圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程.[解析] 圆心C (a ，b )在过点Q (3，－3)与直线x ＋3y ＝0垂直的直线y ＝3x －43上，∴b ＝3a －43．圆心C 到C 1(1,0)和Q (3，－3)距离的差为1可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0b ＝－43．∴⊙C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36． 命题方向1 ⇨两圆位置关系的判断1 、判断圆x 2＋y 2＋6x －7＝0与圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系.[解析] 解法一：圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为C 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为C 2(0，－3)，半径为r 2＝6，则两圆的圆心距d ＝|C 1C 2|＝[0－(－3)]2＋(－3－0)2＝32∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，即两圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －7＝0x 2＋y 2＋6y －27＝0，得2x 2＋383x ＋379＝0 Δ＝⎝⎛⎭⎫3832－4×2×379＝1 4849－2969＝1 1889>0∴两圆相交． 2.两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( C )A．相离B．相切C．相交D．内含[解析]把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交．命题方向2⇨由圆与圆的位置关系求参数的值或取值范围1. 实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[解析]将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50．∴|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；当14<k<34时，4<50－k<6则r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，此时，两圆相交；当k<14时两圆内含，当34<k<50时，两圆相离．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解析]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．圆心C1(m，－2)，半径r1＝3．C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．圆心C2(－1，m)，半径r2＝2．(1)当两圆相外切时，|C1C2|＝r1＋r2∴(m＋1)2＋(－2－m)2＝5，∴m2＋3m－10＝0解得m＝－5或2．(2)当两圆相内含时，0<|C1C2|<|r1－r2|∴(m＋1)2＋(－2－m)2<1∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m<－1．命题方向3⇨两圆的公共弦问题1. 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10．则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10．又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10．∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．(3两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35 ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝2 5.2.圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是__4x ＋3y －2＝0__，公共弦长为__10__．[解析] 已知圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，①圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，② ①－②得24x ＋18y －12＝0即4x ＋3y －2＝0．把圆C 1，圆C 2化成标准方程分别为圆C 1：(x －6)2＋(y －1)2＝50，圆心为(6,1)r 1＝52圆C 2：(x ＋6)2＋(y ＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r 2＝55则连心线的长|C 1C 2|＝(6＋6)2＋(1＋8)2＝15从而r 2－r 1＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2．故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x ＋3y －2＝0．圆C 1的圆心到直线的距离d ＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5故公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10． 基础测试1．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于点(2,1)对称，则圆C 2的方程是 ( B )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝25[解析] 设⊙C 2上任一点P (x ，y )，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y )在⊙C 1上，∴(x －5)2＋(y ＋1)2＝25．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为 ( A )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0． 解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是 ( B )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0[解析] 利用公共弦始终经过圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a ＋2)x ＋(2b ＋2)y －a 2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0．4．设r >0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16可能 ( C )A ．相离B ．相交C ．内切或内含或相交D ．外切或外离[解析] ∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r ，∴当|4－r |<10<4＋r 时，两圆相交，当4－r ＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝ ( C )A ．5B ．4C ．3D ．22[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16．∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3． 6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．7．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．。
两圆的位置关系
1、⊙O1和⊙O2相交于M、N，过M点作割线交两圆于A、D，过N点作割线交两圆于B、C，求证：BA ∥CD。
2、⊙O与⊙O′交于A、B，P是⊙O上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O′于C、D，⊙O的直径PE的延长线交CD于F，求证：PF⊥CD。
3、已知：两圆交于A、B两点，过A的直线分别交两圆于C、D，P为CD的中点，直线BP交两圆于E、F，求证：PE=PF。
4、两圆交于A、B两点，过B作割线交两圆于C、D两点，连结AD，交大圆于E点，连CE且延长交小圆于F、G点，求证：DF=DG。
5、已知：⊙O和⊙O′相交于C、D点，M为⊙O上一点，DM交⊙O′于A，MC交⊙O′于B，过AB作⊙O的弦EF，求证：ME=MF。
6、已知：两圆相交于M、N，并且一个圆经过另一个圆的圆心C，过C作直线交⊙C于D、B，交另一圆于A，交MN于P，求证：CD2=CP·CA。
7、已知：如图，两圆相交于A、B两点，且一个圆经过另一个圆的圆心O点，⊙O的弦BC交另一个圆于D，求证：AD=DC。
8、已知：如图，两圆相交于A、B两点，且一个圆经过另一个圆的圆心O点，⊙O的弦BC的延长线交另一圆于D，求证：AD=DC。
9、已知：如图，两圆相交于A、B两点，且一个圆经过另一个圆的圆心O点，⊙O的弦BC交另一个圆于D，连结OD，求证：OD⊥AC。
10、如图，⊙O与⊙O′相交于A、B两点，AB是⊙O′的直径，过A点作⊙O的切线交⊙O′于点E并与BD的延长线交于点P，PB分别与⊙O、⊙O′交于C、D两点，求证：(1)PA·PD=PE·PF；(2)AD=AE。
11、如图，已知：⊙O与⊙O′交于A、B两点，P为⊙O′上一点，PB与⊙O相切，PA延长线交⊙O 于C，F为BC上一点，PF交⊙O′于E，求证：PB2=PE·PF。
12、如图，已知，同心圆中，大圆的直径交小圆于C 、D 两点，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于Q ，CO=4，EF=54，求EQ 的长。
两圆的五种位置关系
训 练
·
·
预 在Rt△OEO′中,(R+r)2=(R-r)2+(EO′)2，
习
基 础
点
达
睛 即(4+r)2=(4-r)2+(5-r)2，解得r1=1，r2=25(舍去)，故
标
精 ⊙O′的半径r=1 cm．
题
知
例 解
即余下的部分中能截取的最大圆片的半径是1 cm.
能 提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
梳
训
理 ·
半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 BE 的
练 ·
预
AE
基
习 值为_____.
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r,由题意得
· 基
习
础
点 R2+(R-r)2=(R+r)2,R=4r,
达
睛
标
精
∴BE=R-r=3r,AE=R+r=5r.∴BE 3r 3.
提
举
升
一 （A）内切 （B）外切 （C）相交 （D）外离
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
圆和圆的位置关系
两 圆 内切 ｄ ｌ— ＝ｒ ｒ ＿ ｌ ｌ 两 圆 内含￣ ｄ ｌ一２ ＝ ＜ｒ ｒ． ｖ １ Ｉ
例王 （） １ 已知ＯＯ 和ＯＯ 的半径分别为 ３ ｍ和 ６ ｍ， 。 ｃ 两圆 ｃ
如 图（ 两 网 内切． ， 切点 分别为 Ａ 和 Ａ． ３ 相 交 如果 两 厕有两 个公 共点 ， 叫两 圆相交 ．
④
如 图⑧ ， 圆相交 ． 两 综 ＿ 按 两圆公共 点个 数可 以将 两圆位置关 系细 分 为五种 ： Ｌ，
① 两 刚外离 ：
（） 圆相交 ； ２两
．
． ．
，
２．
讨诊
内切 时 ：＝ ｒ， 即 ５ １ ｒ ｄｌ ｌ Ｒ— ＝３ １ 一．
解得 ｒ ８ ＝．
三 相切两圃的性质
（） １ 相切 两 圆是 以两 圆心 连 线为 对称 轴 的轴 对称 图形 ．
（） ２ 相切 两 圆 的切点 一定 在 连心 线上 ．
＿
Ｐ
共 点 叫 切点． 除公 共 点外 ， 个 圆上其 他 点都 在 另 一个 圆 的外 部 ， 一
叫两 圆外 切 ． 除公 共 点外 ， 一个 圆上 其他 点 都在 另一 个 圆 的 内部 ，
另一个 吲上 的其 他点都 在这个 圆的外 部 ， 叫两 圆内切．
⑧
如 图③ ． 圆外切 ． 两
如图， ＝ ， 为直径的圆与一个以５ Ｐ ３以 Ｑ 为半径的圆
相 切 于点 Ｐｉ 方 形 Ａ Ｃ 的顶 点 Ａ， ． Ｅ ＢＤ Ｂ在 大 圆上 ， 圆在 正方 形 外 小 部， 与 Ｃ 且 Ｄ切 于点 Ｑ 求 Ａ 的长． ． Ｂ 解
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O1
O2
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O1
O2
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O1
O2
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2
O1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2
O1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2 O 1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2
O1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2
O1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系.
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O2
O1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
OO2 1
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O O1 2
在平面内，两圆相对运动，也可以得到 这几种不同的位置关系？
圆和圆的位置关系
注意公共点的个数
O 1 O2
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两圆位置关系（三）
1、如图⊙O 与⊙O 1交于A 、B 两点，O 1点在⊙O 上，AC 是⊙O 直径，AD 是⊙O 1直径，连结CD ，求证：AC=CD 。
2、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，P 是⊙O 1上的点，连结PA 、PB 交⊙O 2于C 、D ，求证：PO 1⊥CD 。
3、如图⊙O 1与⊙O 2
交于A 、B ，CD 、EF 是两圆外公切线，切⊙O 1于C 、E ，切⊙O 2于D
、F ，过AB 的直线交CD 于G ，交EF 于H ，求证：GA=HB 。
4、如图，AB 、CD 为⊙O 1的两条公切线，
A 、
B 、
C 、
D 为切点，AB 、CD 交于P ，求证：PA ·PB=PC ·
PD 。
5、如图，⊙O 1、⊙O 2外切于P ，AB 与⊙O 1、⊙O 2切于A 、B ，CP 为⊙O 2的内公切线并交AB 于C ，求证：O 1C ⊥O 2C 。
6、已知⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 为公切线，CD 为切点，求证：∠A+∠CBD=1800。
两圆位置关系（四）
1、如图，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点，CD 是两圆外公切线，C 、D 为切点，CA 交BD 于F ，DA 交BC 于E ，求证：DA ·DE=DF ·DB 。
2、如图，⊙O 与⊙B 外离，外公切线MN
P
与直线AB 交于C ，内公切线EF 与AB 交于D 点，M 、N 、E 、F 是切点，求证：DA ：DB=CA ：CB 。
3、已知AB 、CD 是公切线，EF 为内公切线，
A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F 为切点，EF 分别与AB 、CD 交于H 、
G ，求证：GH=AB 。
4、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 为外公切线，
C 、
D 为切点，求证：AC ：BC=AD ：BD 。
5、如图，已知⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，一直线分别交两圆于D 、F 、E 、G ，交AB 于C ，求证：DE ：EC=GF ：FC 。
6、如图⊙O 1与⊙O 2是等圆，相交于A 、B ，CD 过点A 与两圆交于C 、D ，BE ⊥CD ，求证：CE=ED 。
1、⊙O 与⊙P 交于A 、B 两点，PA 切⊙O 于A ，割线PCD 交⊙O 于C 、D ，BC 交⊙P 于E ，连结DE 交⊙O 于F ，求证：BF ∥PE 。
2、⊙O 与⊙O 1交于A 、B ，O 1在⊙O 上，
CD 是过A 点的割线交⊙O 与⊙O 1交于C 、D ，连BC 交⊙O 1于E ，求证：AE ∥BD 。
3、如图，⊙O 1和⊙O 2
交于A 、B ，⊙O 1弦交⊙O 2于E ，⊙O 2弦AD
交⊙O 1于F ，若∠CAB=∠DAB ，求证：CE=DF 。
4、如图，⊙O 与⊙A 交于B 、C
两点，过A 作直线交⊙O 于E ，交BC 于F ，求证：AD 2=AF ·AE 。
5、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、
B ，⊙O 1的弦A
C 切⊙O 2于A ，EF 过B 交⊙O 1于E ，交⊙O 2于F ，求证：CE ∥AF 。
6、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，直线CD 过A 点，分别交两圆于C 、D ，求证：∠CBO 1=∠DBO 2。
两圆位置关系（六）
1、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦切⊙O 2于A ，CB 交⊙O 2于D ，DA 交⊙O 1于E ，求证：AC=CE 。
2、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，P 、Q 是⊙O 1上两点，PA 、PB 交⊙O 2于M 、E ，QA 、QB 交⊙O 2于F 、N ，求证：MN ∥EF 。
C
M
3、如图，⊙O 与⊙O 1交于A 、B ，P 是⊙O 1上一点，连结PA 、PB 交⊙O 于C 、D ，作PE ⊥CD 于E 交⊙O 1于F ，求证：PF 是⊙O 1直径。
4、已知，如图⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1弦交⊙O 2于E 、F ，求证：∠
CAE=∠FBD 。
5、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，CD 是过A 的割线交⊙O 1于D ，交⊙O 2于C ，G 是CD 中点，过G 的⊙O 1的弦BE 交⊙O 2于F ，求证：EG=FG 。
C
p E D B F
A C。