福建省仙游县大济中学高三 考前综合训练题(一)

一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确答案填在题目后面的括号内． 1．复数i(1一i)等于( )A ．1+iB ．1一iC ．一1+iD ．一1一i2．设全集为R ，A={x |—1＜x ＜1}，B={ x | x ≥0}，则C R (A ∪B )等于( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x | x ≥0} C ．{x |x ≤-1} D ．{x |x ＞-1} 3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 bA ．5B ．6C ．7D ．84．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为( ) A ．29π B ． π34 C ．36π D ． π3325．已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n 是a n 。

与1的等差中项，则a n 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．(-1)nD ．(-1)n-17．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( ) A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α8．函数y=A sin(ωx+φ)的周期为2π，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )A ．)x (f =sin(2—2x )B ．)x (f =sin(2x 一2)C ．)x (f =sin(x 一1)D ．)x (f =sin(1一x )9．已知函数y=f (x+1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，则函数y=f (x )一定是( )A ．奇函数;B ．偶函数;C ．既是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数也不是偶函数;lO ．已知),x (x x ),x ()x (f x 0340321>++≥=-则方程f (x )=2的实数根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是( )A ．50B ．100C ．11OD ．115 12．若函数f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (2)=0，则x)x (f )x (f --＜0的解集为( )A ．(-2,0)∪(0,2)B ．(-∞，-2)∪(0,2)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．13．二项式(21xx +)6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____． 15．已知向量a =(1，1)，b =(sin x ，-cos x )，x ∈(0，π)，若a ∥b ，则x 的值是_______． 16．阅读下面材料，并回答问题：设D 和D 1是两个平面区域，且D 1 ⊂D ．在区域D 内任取一点M ，记“点M 落在区域D 1内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )=的面积的面积D D 1.已知有序实数对(a ，b )满足a ∈[O ，3]，b ∈[0，2]，则关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实数根的概率是________． 三、解答题：17．(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos 2x +sin x cos x (x ∈R )(I)求f (8π3)的值； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．18．(本小题满分12分)在数列{}n a 中，a 1=1，a n +1=1+⋅n na c a (c 为常数，n ∈N*)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．(I)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na 1是等差数列； (Ⅱ)求c 的值；(Ⅲ)设b n =a n a n+1，求数列{}n b 的前n 项和为S n .．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1，和CC 1的中点． (I)求证：EF ∥平面ACD ，；(Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角； (Ⅲ)在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P-AC-B 的大小为30°?若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． (I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值-×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)21．(本小题满分12分)已知定点A (a ，O)( a >0)，B 为x 轴负半轴上的动点．以AB 为边作菱形ABCD ，使其两对角线的交点恰好落在y 轴上． (I)求动点D 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点A 作直线l 与轨迹E 交于P 、Q 两点，设点R (- a ，0)，问当l 绕点A 转动时，∠PRQ 是否可以为钝角?请给出结论，并加以证明．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )=ln(x +a )-x 2-x 在x = 0处取得极值． (I)求实数a 的值；(Ⅱ)若关于x 的方程，f (x )=b x +-25在区间[O ，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；(Ⅲ)证明：对任意的正整数n ，不等式ln 211nn n n +<+都成立．高中数学综合训练题(一)参考答案一、 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．A二、填空题： 13．15；14．22；15．43π；16．32三、解答题： 17．解：1cos 21()sin 222x f x x +=+ 2221(sin 2cos 2)222221sin(2)42x x x π=++=++ 3211(I)()sin 8222f ππ=+=(II)222242k x k πππππ-≤+≤+令 322244k x k ππππ∴-≤≤+即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈时，f (x )单调递增. ∴f (x )单调递增区间为[38k ππ-，38k ππ+]()k Z ∈18解：(I)11n n n a a c a +=⋅+，且a 1=1，显然a n ≠0 11111n n n n nc a c a a a a +⋅+∴-=-=，又c 为常数， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，111(1)1(1)n n c n c a a =+-=+- 125111,,.114a a a c c∴===++ 又∵a 1，a 2，a 5成等比数列，211()114c c∴=++，解得c =0或c =2.)当c=0时，a n+1=a n ，不合题意，舍去. ∴c=2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴1.21n a n =- 11111().(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=⋅==--+-+)111111[(1)()()]23352121n S n n ∴=-+-++--+11(1).221n =-+ 19．．如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知 得D (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，2，0)、 C (0，2，0)、B 1(2，2，2)、D 1(0，0，2)、 E (1，0，2 )、F (0，2，1)．…………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD 1的一个法向量是1DB =(2，2，2). …………………(4分)又∵EF =(-1,2，-1)， 由EF ·1DB = -2+4-2=0， ∴EF ⊥1DB ，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1……………………………………………………(6分) (Ⅱ) ∵AB =(0,2，0)，cos<EF ,AB>=||||2EF AB EF AB ⋅==⋅ ∴异面直线EF 与AB 所成的角为arccos36……………………(8分). (Ⅲ)设点P (2，2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n =(x ，y ，z )，则0,0.n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =(0，2，t ), AC =(-2，2，0)， ∴220,20,x y y tz -+=⎧⎨+=⎩取2(1,1,)n t =-.易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =， 依题意知，<1BB ，n >=30°或<1BB ，n>=150°，∴|cos<1BB ，n 4||-=(10分)即22434(2)4t t=+，解得t =(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 二面角P -AC -B 的大小为30°. 20． (Ⅰ)依题意设v =kω2， 又当ω=3时，v =54000，∴k =6000， 故vω2=6000ω2．(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a 克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l ∶3切割后的价值为 6000(14a )2+6000(34a )2． 价值损失为6000a 2一[6000(14a )2+6000(34a )2] 价值损失的百分率为 2222136000[6000()6000()]440.37537.5%6000a a a a-+== 答：价值损失的百分率为37.5％．(Ⅲ)若把一颗钻石按重量比为m ∶n 切割成两颗，价值损失的百分率应为22221[()()]()m n mn m n m n m n -+=+++，又2222()212()()2m n mn m n m n +⋅≤=++， 等号当且仅当m=n 时成立.即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大21．．(Ⅰ)设D(x ，y )，∵A (a ，0)，由ABCD 为菱形且AC 、BD 的交点在y 轴上，∴B 、C 两点坐标为(-x ，0)、(-a ，y )． 由AC ⊥BD 得BD ·CA ＝（2x ，y ）·(2a ，-y )＝4ax - y 2=0，即 y 2= 4ax .注意到ABCD 为菱形，∴x ≠0故轨迹E 的方程为y 2= 4ax （x ≠0）.(Ⅱ)∠PRQ 不可能为钝角，即∠PRQ ≤90°． 证明如下：(1)当PQ ⊥x 轴时，P 、Q 点的坐标为(a ，±2a )，又R (一a ，0)， 此时∠PRQ =90°，结论成立；(2)当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y=k (x 一a )，由24,(),y ax y k x a ⎧=⎨=-⎩得 k 2x 2 - (2ak 2+4a )x + k 2a 2= 0 记P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2 ＝2a+24a k ，x 1 x 2=a 2. RP ·RQ ＝（x 1+a ）（x 2+a ）+y 1y 2=（x 1+a ）（x 2+a ）+k 2（x 1- a ）（x 2- a ）=(1+k 2) x 1 x 2+(a - ak 2)( x 1+x 2)+a 2+a 2k 2=(1+k 2) a 2+(a - ak 2)( 2a +24a k )+a 2+a 2k 2=24a k>0 即<RP ,RQ >为锐角， 综上(1)、(2)知∠PRQ ≤90°成立． 22．解：(Ⅰ) ()f x ' =121x x a--+ ∵x =0时，f (x )取得极值，∴(0)f '=0， 故12010a-⨯-+ =0，解得a =1.经检验a =1符合题意. (Ⅱ)由a =1知f (x )=ln(x +1)-x 2 - x ，由f (x )= 52x -+b ,得ln(x +1)-x 2+ 32x -b =0， 令φ(x )= ln(x +1)-x 2+ 32x -b ，则f (x )= 52x -+b 在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x )=0在[0，2]恰有两个不同实数根．13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ-+-'=-+=++，当x ∈(O ，1)时，()x ϕ' >O ，于是φ(x )在(O ，1)上单调递增；当x ∈(1，2)时，()x ϕ' <0，于是φ(x )在(1，2)上单调递减．依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ ∴ln3 -1≤b <ln2 +12.(Ⅲ) f (x )=ln(x +1)-x 2–x 的定义域为{x |x > -1}， 由(Ⅰ)知(23)()(1)x x f x x -+'=+，令()f x '=0得，x =0或x = -32(舍去)，∴当-1<x <0时，()f x '>0，f (x )单调递增； 当x >0时，()f x '<0，f (x )单调递减.∴f (0)为f (x )在(-1,+∞)上的最大值.∴f (x )≤ f (0)，故ln(x +1)-x 2-x ≤0(当且仅当x =0时，等号成立) 对任意正整数n ，取x =1n >0得，ln(1n +1)< 1n +21n ，故ln(1n n +)<21n n+.。