解析几何的结论

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解析几何结论大全

解析几何结论大全
解析几何结论大全是一个非常广泛的主题，涵盖了许多方面。

以下是一些常见的解析几何结论：
1. 两点之间的距离公式：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 直线方程：点斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$，斜截式 $y=mx+b$，两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1$
3. 圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$
4. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离
5. 圆锥曲线的标准方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-
\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$
6. 圆锥曲线的焦点、准线、离心率等性质
7. 空间向量的加法、数乘、向量的模
8. 向量的数量积、向量积、向量的混合积
9. 向量的坐标表示：$(a,b,c)$，向量的模 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
10. 空间直角坐标系中的点 $(x,y,z)$ 与其相邻三个坐标面围成的单位体积为$\frac{1}{6}$。

以上只是解析几何的一部分结论，还有许多其他结论和定理，可以根据需要进行查阅和学习。

解析几何中点结论六种形式

解析几何中点结论六种形式
解析几何中点结论是几何学中的一个重要定理，它有六种形式，分别是：
1. 两个中点之间的距离是原线段的一半。

2. 过一个三角形的三个顶点的中点作一条线段，这条线段是原
三角形的平行四边形的一半。

3. 过一个四边形的四个顶点的中点作一条线段，这条线段是原
四边形的平行四边形的一半。

4. 一个四边形的对角线的交点是对角线的中点。

5. 一个四边形的对角线的中点连成的线段是平行四边形的对角
线的一半。

6. 一个四边形的对角线的中点连成的线段是四边形的对角线的
中点。

这些形式展示了中点结论在不同几何图形中的应用，它们是几
何学中的基本定理，对于理解和解决各种几何问题都具有重要意义。

通过这些形式的解析，我们可以更好地理解中点结论的几何意义和
应用方法。

解析几何的经典结论

解析几何的经典结论1.通径椭圆、双曲线的通径为22b a，抛物线的通径为2p .2.点差法结论AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的一条弦，()00,M x y 为弦AB 的中点，则中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =-；椭圆()222210y x a b a b +=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =-；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB b x k a y =；双曲线()222210,0y x a b a b -=>>，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：2020AB a x k b y =；抛物线)0(22>=p px y ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =；抛物线22(0)y px p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB p k y =-；抛物线)0(22>=p py x ，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p =；抛物线22(0)x py p =->，()00,M x y 为弦AB 的中点，中点弦AB 所在直线的斜率是：0AB x k p=-；（注意使用点差法结论时，保证直线AB 与圆锥曲线相交.另外，结论中的直线AB 斜率存在，且00y ≠）. 3.设椭圆 ()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=-；设椭圆()222210y x a b a b+=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=-；设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBb k k a ⋅=；设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下顶点、上顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线上且异于A 、B 两点，则22PA PBa k k b⋅=. 4.焦半径公式椭圆()222210x y a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ex =+,20PF a ex =-,其中e 是椭圆的离心率.椭圆()222210y x a b a b+=>>，()00,P x y 为椭圆上一点，则焦半径10PF a ey =+,20PF a ey =-，（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在右支，则焦半径10PF ex a =+,20PF ex a =-；若P 在左支，则焦半径10PF ex a =--,20PF ex a =-+.双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，()00,P x y 为双曲线上一点，若P 在上支，则焦半径10PF ey a =+,20PF ey a =-；若P 在下支，则焦半径10PF ey a =--,20PF ey a =-+.（注意此时焦点1F 在y 轴负半轴，焦点2F 在y 轴正半轴）. 抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则焦半径02pPF x =+；过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则焦半径1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+.（A 在x 轴上方、B 在x 轴下方）抛物线)0(22>-=p px y ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF x =-；抛物线)0(22>=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =+；抛物线)0(22>-=p py x ，()00,P x y 为抛物线上一点，则02pPF y =-. 5.焦点三角形面积椭圆()222210x y a b a b +=>>、()222210y x a b a b +=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形面积为：122tan2F PF S b θ∆=；双曲线()222210,0x y a b a b -=>>、()222210,0y x a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 为双曲线上任意一点，12F PF θ∠=，则双曲线的焦点三角形面积为：1222cot 2tan 2F PF b S b θθ∆==； 6.切线与切点弦所在直线方程 ①切线方程过圆222x y r +=上一点()00,M x y 的切线方程：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b +=；过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上一点()00,M x y 的切线方程：00221x x y ya b-=；过抛物线)0(22>=p px y 上一点()00,M x y 的切线方程：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 上一点()00,M x y 的切线方程：()00x x p y y =+.②切点弦方程过圆222x y r +=外一点()00,M x y 作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：200x x y y r +=；过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b+=；过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：00221x x y ya b-=；过抛物线)0(22>=p px y 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00y y p x x =+；过抛物线)0(22>=p py x 外一点()00,M x y 作抛物线的两条切线，切点分别为A 、B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：()00x x p y y =+.7.等轴双曲线可设为：)0(22≠=-λλy x ；共渐近线x aby ±=的双曲线的标准方程可设为：()22220x y a b λλ-=≠. 8.若椭圆焦点位置不明确，椭圆方程可设为：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；若双曲线焦点位置不明确，双曲线方程可设为：221(0)mx ny mn +=<. 9. 弦长公式设斜率为()0k k ≠的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，()11,A x y 、()22,B x y ，则弦长：12AB x =-==，其中a和∆分别是()200ax bx c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率；当代入消元消掉的是x 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式为：()21212122221111141AB y y y y y y k k k a∆=+-=++-=+，其中a 和∆分别是()200ay by c a ++=≠中的二次项系数和判别式，k 为直线l 的斜率.10.抛物线)0(22>=p px y 焦点弦的常用结论①2124p x x ⋅=，212y y p ⋅=-；②1222sin pAB p x x θ=++=(θ为直线AB 的倾斜角). ③22sin AOBp S θ∆=(θ为直线AB 的倾斜角)； ④112AF BF p+=； ⑤以AB 为直径的圆与准线相切，以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑥90CFD ︒∠=；⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.11.已知点()11,A x y 、()22,B x y ，则以AB 为直径的圆的方程是：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。

平面解析几何中四个有用的向量结论

平面解析几何中四个有用的向量结论浙江师范大学数学系547# 蔡妙才（321004）平面解析几何是利用坐标法去研究平面内的曲线的性质，向量亦有坐标形式，因此，向量在解析几何中的应用比较广泛.1、利用两个非零向量,的数量积例1（2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是＿.解：由题设P，，F,则2由于为钝角，所以，即…………………………①又点P在椭圆上，………………………………………………②由①、②不难得到2、利用两向量共线的充要条件：充要条件是存在一个实数，使例2（2001年安徽春季高考题）已知抛物线y²=2px(p≠0)，若有过动点M （a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A，B，⑴求a 的取值范围；⑵若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求的面积的最大值.解：（1）设A （）,B （），如图1，则222121(,)2y y AB y y p -=- ，211(,)y MA a y =-（）MB 与MA共线，22122()(22y y a y p p ∴--- 可得.= =令02,AB p <≤ 可得24p pa -≤≤-（2）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q （）,则(,)MQ p p ∴=,=（定值）.，（AB 斜率为1，即三角形MQN 为直等腰三角形）,故面积最大值为.3、利用两个非零向量夹角公式cos a ba bθ⋅=⋅ （）例3 （1999年全国高考题）如图2，给出定点A （）(a 和直线L:x=-1,B是直线L 上的动点，的角平分线交AB 于点C ，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型a 值的关系.解：设B （-1,b ）,C(x,y),则OA = （），OB = （），OC = （）,则（）,由OC 平分，知(1)当b 0,y 0,0x a,OA OC OB OC OA OC OB OC ⋅⋅=⋅⋅ x=……………………………①又共线，有（x-a ）（y-b ）-y （x+1）=0,b= ……………………………②将②代入①得：（1-a ）（0x a ）…………③(2) 当b=0时，，点C （0，0）适合③.综上⑴、⑵得C 的轨迹方程为：（1-a ）（0x a ）.（讨论略）4、利用两个非零向量的充分条件0a b ⋅=.例4 （2000年北京、安徽春季高考题）如图3，设点A 和B 为抛物线y ²=4px （p 0）除原点以外的两个动点，已知，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解：设A （则=（x,y ），AB=（，,，=0，即化简得=-16又OM AB ⊥ ，则OM AB ⋅即化简得：②又，（）（）-（）（）=0……③即（）=0. 将①②代入③得：-4px=0A 、B 是异于原点的点，故x ≠0，所以点M 的轨迹方程-4px=0（ x ≠0），它表示（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆（除去原点）.。

【二级结论】专题12 解析几何3

＝，＝（图1 图2 图3①以为直径的圆与准线相切；②以为直径的圆与轴相切；③以为直径的圆与轴相切；④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，⼜与圆相内切．结合圆的⼏何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，①以为直径的圆的圆⼼在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；②以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；③以为直径的圆的圆⼼在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；④以为直径的圆必过原点，即；⑤．【应⽤场景】AB M AF C y BF D y AB ,AF ,BF C D C D y M AB M 1A ,B A ⊥B M 1M 1AF y C 1A ,F A ⊥F C 1C 1BF y D 1B ,F B ⊥F D 1D 1A 1B 1F ⊥F A 1B 1F ⊥AB M 1运⽤焦点弦与圆有关的结论可以很⽅便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、⼏何性质以及圆的⼏何性质的应⽤．【典例指引1】【反思】本题考查了抛物线的标准⽅程，抛物线的⼏何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，⼀般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联⽴⽅程，得到根与系数的关系，⽽直线与圆经常利⽤圆的⼏何性质，得到⼀些常量，这些不变的量和圆锥曲线建⽴联系，从⽽进⼀步求解．【典例指引2】【针对训练】⼀、单选题：11. 在平⾯直⻆坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设的轨迹为.(1)求曲线的⽅程；(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆⼼的圆相切. 当圆的⾯积最⼩时，求与⾯积的⽐.12. 已知抛物线的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的⽅程为（）A ．或B ．或C ．或D ．或13. 阿基⽶德（公元前287年---212年）是古希腊伟⼤的物理学家、数学家、天⽂学家，不仅在物理学⽅⾯贡献巨⼤，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△为“阿基⽶德三⻆形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）△为直⻆三⻆形，且;（3）.若经过抛物线焦点的⼀条弦为AB ，阿基⽶德三⻆形为△，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的⽅程为（）A ．x -2y -1=0B ．2x +y -2=0C ．x+2y -1=0D ．2x -y -2=0(1)若的⾯积为，求的值及圆的⽅程(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.。

数学解析几何二级结论公式

数学解析几何二级结论公式一、椭圆部分。

1. 焦半径公式。

- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为椭圆上一点。

- 当P在椭圆上时，| PF_1|=a + ex，| PF_2|=a - ex（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。

- 对于椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为上下焦点，P(x,y)为椭圆上一点。

- | PF_1|=a+ey，| PF_2|=a - ey（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。

2. 椭圆的切线方程。

- 过椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{x_0x}{a^2}+frac{y_0y}{b^2} = 1。

- 过椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{y_0y}{a^2}+frac{x_0x}{b^2} = 1。

3. 中点弦结论（点差法）- 设椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，弦AB的中点为M(x_0,y_0)。

- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，将A、B两点代入椭圆方程相减得：k_AB=-frac{b^2x_0}{a^2y_0}（k_AB为弦AB的斜率）。

二、双曲线部分。

1. 焦半径公式。

- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为双曲线上一点。

- 当P在双曲线右支上时，| PF_1|=ex + a，| PF_2|=ex - a（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)+b^{2}）。

高考数学专题六解析几何微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用

当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率
π 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
面积为 6π，两个焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 的上顶点，直线 y＝
kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA，PB 的斜率之积为－49，则椭圆 C 的
A，B
两点，且|A→F|＝λ|F→B|，则椭圆的离心率等于λ＋λ1－c1os
α.
2.设点 P 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，则
(1)|PF1||PF2|＝1－2cbo2s
θ.(2)
S△PF1F2
＝ b2 tan
由二级结论可知S△F1PF2 ＝
∠bF2 1PF2＝5 3.
tan 2
(2)已知 P 为椭圆 C：x42＋y32＝1 上的一个动点，F1，F2 是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处切线的距离为 d，若|PF1|·|PF2|＝
274，则
14 d＝____2____.
方法二因为AB过抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－3.
总结提升
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用.
3.M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A， B为切点，则有：(见图4) (1)AB过焦点F. (2)2yM＝yA＋yB. (3)MA⊥MB. (4)MF⊥AB.

高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αt a n =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+bya x ；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

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解析几何的结论Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#有关解析几何的经典结论一、椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11.设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan2PF FS b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1eαβ=-.(3) 22222cot PABa b S b aγ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BCx ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3.若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e ≤1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6.P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.9.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11.设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1eαβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+.13.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BCx ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k =+-=+-2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。