北师大版数学必修四课件：2.2.1向量的加法
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必修四2.2.1_向量加法运算及其几何意义PPT教学课件
a
c
bb
a
a+ b
a a+b
b
c
b+c
a+b+c
b+ a a
2020/12/10
7
b
四、向量加法的运算律
交换律：a+b=b+a 结合律：（ a+ b ） + c=a+ （ b+ c）
想一想
零向量和任一向量 a 的和是什么?
a+0=0+a=a
2020/12/10
8
五、课堂检测:
1.下列向量可以看作是哪些向量的和
2020/12/10
2
二、向量加法的三角形法则
已 知 向 量 a ,b , 求 作 向 量 a b
b a
作法（1）在平面内任取一点O ( 2 ) 作 O A a ,A B b
o
（ 3） O= Ba+b
A
这种作法叫做向量加法的三角形法则
B
点O的选取可以选择在哪些特殊位置？
位移的合成可以看 作向量加法三角形 法则的物理模型
第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2020/12/10
1
一、复习回顾：
1.向量、平行向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的非零向量。
2.用什么表示向量，向量的大小和方向是如何反映的
向量的表示：
有向线段
向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D
D
a
C a+b+c
2020-2021学年数学北师大版必修4课件：2-2-1 向量的加法
【解】 (1)O→A＋O→C＝O→B.(2)B→C＋F→E＝A→O＋O→D＝A→D.(3)O→A ＋F→E＝O→A＋O→D＝0.
规律方法 (1)三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法 则强调“起点相同”．
(2)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四 边形法则是统一的．当两个向量共线时，平行四边形法则不再适 用．
(4)图示：如图所示．
2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线． (2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的始点；②平 行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量． (3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量 a 与 b 的始点 平移到同一点； 第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形． 则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为 a 与 b 的和． (4)图示：如图所示．
(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向 量加法的几何意义．
(1)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 M，则A→B＋C→M
ห้องสมุดไป่ตู้
＝( A )
→ A.MB
→ B.BM
→ C.DB
→ D.BD
(2)已知四边形 ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是
( C) A.A→B＋B→C＝C→A B.A→B＋A→C＝B→C
类型三
向量加法的综合应用
【例 3】 一架飞机向北飞行 100 km，然后改变方向向西飞 行 100 km，求飞机飞行的路程及两次位移的和．
【思路探究】
利用向量加法的三角 画出图形、 利用特殊三 形法则可得合位移 → 作出位移 → 角形可解
【解】 如下图所示，设A→B表示飞机向北飞行 100 km，
高中数学 2.1向量的加法多媒体教学优质课件 北师大版必修4
b
b
a
b
A
B
C
C
A
B
a b AB BC=AC
a b AB BC=AC
(3)规定(gauīd0ìng0)： a a.
第八页，共23页。
探究点2 向量加法的平行四边形法则
思考：类比位移的合成方法(fāngfǎ)，作两向量的
C
和还有没有其他的方法(fāngfǎ)呢B？
a b
D A
作法：
作 AB a,AD b, 以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 AC a + b
第九页，共23页。
思考(sīkǎo)：这种方法的作图关键点是什么呢？
提示(tíshì)：共起点.
上述这种方法叫作向量(xiàngliàng)求和的平行四边形法则.
第十页，共23页。
提升总结：三角形法则和平行四边形法则的使用范围. （1）三角形法则适用于任意(rènyì)两个向量的加法; （2）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加法.
数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量a,b 的加法是
否也满足交换律和结合律？
D
D
C
A
B
A
C
B
（a +b）+ c = a +（b+ c）
向量(xiàngliàng)的加法满足 交换律和结合律
第十四页，共23页。
思考：能否将它推广至多个(duō ɡè)向量的求和
？ A2
A3 A1A2+A2A3= _A_1_A_3___
A1 A2
高一数学北师大版必修4课件2.2.1 向量的加法
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 向量的加法运算
两个向量相加,和仍是一个向量,所以两个向量相加要注意以下两个方 面: (1)和向量的方向;(2) 和向量的模. 【典型例题 2】 如图,已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,化简下列向量 : (1)������������ + ������������ ; (2)������������ + ������������ ; (3)������������ + ������������ . 思路分析:此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则,观察是否具 备应用法则的条件.若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.
§标 1.理解向量的加法的定义,会用向量加法的三 角形法则和平行四边形法则作出两个向量的 和. 2.掌握向量的加法的交换律和结合律,并会用 它们进行向量运算. 3.经历运用数学来描述和刻画现实世界的过 程,体验探索的乐趣,激发学生的学习热情,培 养学生勇于探索、敢于创新的个性品质.
(2)运算结果 :向量的和还是向量,实数的和还是实数. (3)运算律 :向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律.向量加法 的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形 法则来验证. (4)运算的几何意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和 平行四边形法则;实数加法的几何意义是实数的加法法则.由此可见,向量的 加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不但有大小还有方向,而实数 仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算来进行.
3.向量加法运算律 (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
北师大版高中数学必修四课件向量的加法
②平行四边形法则
已知两个不共线向量 a，b，作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 三点不共线，以 AB、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向 量A→C＝a＋b，如图，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形 法则．
讲重点 准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则 只适用于两个不共线的向量求和．
(2)①由图知，OABC 为平行四边形， ∴O→A＋O→C＝O→B. ②由图知B→C＝F→E＝O→D＝A→O， ∴B→C＋F→E＝A→O＋O→D＝A→D. ③∵O→D＝F→E，∴O→A＋F→E＝O→A＋O→D. 又O→A＝D→O，∴O→A＋F→E＝D→O＋O→D＝0.
点评 三角形法则、平行四边形法则是向量加法的几何意义，要求 理解并切实会用．应用过程中要注意以下几点： (1)在使用三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个 向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为 起点并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和． (2)平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发 的不共线的向量． (3)当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是 一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一 半．但当两向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．
又因为∠ABC＝45°，且 A 地在 B 地的东偏南 60°的方向处， 可知 C 地在 B 地的东偏南 15°的方向处．
故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 15°，B、C 两地 间的距离为 300 2km.
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C＝A→D， ∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平 行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
向量的加法课件-北师大版高中数学必修4
2．向量的加法满足交换律和结合律 a＋b＝ b＋a ；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ． [点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形， 则它们的和为 0.
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量
(×)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加
因为四边形 OACB 为矩形，所以|OC |＝
＝|OB|× 3
＝5 3≈8.7(km)，OC |＝co|Os A30| °＝5 33＝10(km)． 2
所以船的实际速度大小为 10 km/h，方向与河岸成 30°角，
水流速度大小约为 8.7 km/h.
பைடு நூலகம்
[类题通法] 应用向量解决问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向 量的加法问题．
① AE ＋ AH ＝OC ；
② AH ＋OF ＝CG ＋FB；
③ BE ＋FC ＝ HD＋OH ；
④OG＋ BE ＝ DO .
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
解析：选 A ① AE ＋ AH ＝OC ，正确； ② AH ＋OF ＝ BF ＋GC ，故②不正确； ③ BE ＋FC ＝ HD＋OH ，正确； ④OG＋ BE ＝OD，故④不正确.
AC 平行 已知向量 a，b，在平面内任取一点 A，作 AB＝ 四 a，AD＝b，再作平行于 AD的BC ＝b，连接 DC， 边形 则四边形 ABCD 为平行四边形．向量 AC 叫作 法则 向量 a 与 b 的和，表示为： AC ＝a＋b
[点睛] (1)两个向量的和仍是一个向量． (2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首 尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点． (3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量 有公共起点． (4)两向量共线时用三角形法则求和．
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量
(×)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加
因为四边形 OACB 为矩形，所以|OC |＝
＝|OB|× 3
＝5 3≈8.7(km)，OC |＝co|Os A30| °＝5 33＝10(km)． 2
所以船的实际速度大小为 10 km/h，方向与河岸成 30°角，
水流速度大小约为 8.7 km/h.
பைடு நூலகம்
[类题通法] 应用向量解决问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向 量的加法问题．
① AE ＋ AH ＝OC ；
② AH ＋OF ＝CG ＋FB；
③ BE ＋FC ＝ HD＋OH ；
④OG＋ BE ＝ DO .
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
解析：选 A ① AE ＋ AH ＝OC ，正确； ② AH ＋OF ＝ BF ＋GC ，故②不正确； ③ BE ＋FC ＝ HD＋OH ，正确； ④OG＋ BE ＝OD，故④不正确.
AC 平行 已知向量 a，b，在平面内任取一点 A，作 AB＝ 四 a，AD＝b，再作平行于 AD的BC ＝b，连接 DC， 边形 则四边形 ABCD 为平行四边形．向量 AC 叫作 法则 向量 a 与 b 的和，表示为： AC ＝a＋b
[点睛] (1)两个向量的和仍是一个向量． (2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首 尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点． (3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量 有公共起点． (4)两向量共线时用三角形法则求和．
2019-2020学年高中数学北师大版必修4课件：2.2.1 向量的加法
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究四
易错辨析
反思感悟进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于“形”, 通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形法则求和; 二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别要注意运用
-15-
2.1 向量的加法
探究一
探究二
探究三
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Z H 自主预习 IZHUYUXI
-18-
2.1 向量的加法
探究一
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合作学习
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探究四
易错辨析
变式训练3下列等式错误的是( )
一、向量的加法的定义 求两个向量和的运算,叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一 个向量.
-4-
2.1 向量的加法 一二三
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二、向量的求和法则 1.三角形法则:如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作
探究四
易错辨析
反思感悟1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并且和 向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”. 3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.
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2.1 向量的加法
探究一
探究二
探究三
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2.1 向量的加法 一二三
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必修4-2.2.1 向量的加法
30 A D B 东
向量的加法满足
（ 1 ） 加法交换律： a b b a； （2） 加法结合律： ( a b) c a (b c) ；
a b a+b a b
a
a+b+c b+c a+b
c
b
例2 两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1 =40N，方向向东，F2=30N，方向向北，求它们的合力.
b b a (1) (2) a
3. 小船向正东方向行驶了10 km , 又向正北方向行驶 了17.3 km ，求小船两次位移的合位移 .
AC 10 17.3 20(km)
2 2
17.3 tan A 1.73 ， A 60 . 10
C
小船两次位移的合位移为向东偏北60°方向行驶了20km .
D
B
A
C
由分位移求合位移,称为位移的合成 求两个向量和的运算叫向量的加法．
a
b
向量加法的三角形法则
作法： (1) 已知向量a， b ，在平面内任取一点 A, 作AB a；
(2) 作向量BC b，再作向量AC ；
则向量AC 叫作向量a 与 b 的和，记作a b ．
C
a
a+b
b
A
b
a
B
向量加法的平行四边形法则
v1 因为 tanBOC 1.73， 所以BOC 60 . v2 答 小船实际航行速度的大小约为4.0km/h，方向与水 流方向约成60°角.
1 . 如图，已知向量 a，b，用向量加法的三角形法则 作出向量 a+b .
b
b b a (1) a (2)
a
向量的加法满足
（ 1 ） 加法交换律： a b b a； （2） 加法结合律： ( a b) c a (b c) ；
a b a+b a b
a
a+b+c b+c a+b
c
b
例2 两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1 =40N，方向向东，F2=30N，方向向北，求它们的合力.
b b a (1) (2) a
3. 小船向正东方向行驶了10 km , 又向正北方向行驶 了17.3 km ，求小船两次位移的合位移 .
AC 10 17.3 20(km)
2 2
17.3 tan A 1.73 ， A 60 . 10
C
小船两次位移的合位移为向东偏北60°方向行驶了20km .
D
B
A
C
由分位移求合位移,称为位移的合成 求两个向量和的运算叫向量的加法．
a
b
向量加法的三角形法则
作法： (1) 已知向量a， b ，在平面内任取一点 A, 作AB a；
(2) 作向量BC b，再作向量AC ；
则向量AC 叫作向量a 与 b 的和，记作a b ．
C
a
a+b
b
A
b
a
B
向量加法的平行四边形法则
v1 因为 tanBOC 1.73， 所以BOC 60 . v2 答 小船实际航行速度的大小约为4.0km/h，方向与水 流方向约成60°角.
1 . 如图，已知向量 a，b，用向量加法的三角形法则 作出向量 a+b .
b
b b a (1) a (2)
a
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(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心， 求下列向量：
uuu r uur ①OA OE; uuu r uuu r ② AO AB; uur uuu r ③ AE AB.
【审题指导】(1)先观察表示向量的有向线段是否首尾相连， 若否，就先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连， 然后利用向量加法的结合律求和;(2)可用向量加法的三角 形法则和平行四边形法则.
uur uuu r uuu r uur uuu r 【规范解答】 1 ①BC AB AB BC AC; uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r uuu r uuu r r ②DB CD BC BC CD DB BD DB 0; uuu r uur uuu r uur uur ③AB DF CD BC FA uuu r uur uuu r uur uur AB BC CD DF FA uur uur r AF FA 0. uuu r uur uu r (2)①由图知，OAFE为平行四边形， OA OE OF； uuu r uu u r uuu r ②由图知，OABC为平行四边形， AO AB AC； uur uu u r uuu r ③由图知，AEDB为平行四边形， AE AB AD.
利用向量的加法法则作图 利用向量的加法法则作图的注意事项 (1) 用三角形法则求和向量时 , 关键要抓住“首尾相接”， 并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点； (2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”. (3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则.
当所给的向量不共线时三角形法则和平行四边 形法则的实质是一样的，且当所给的向量共线时只能用向 量的三角形法则作图.
rr r r 【例1】已知向量 a 求作向量 、 b， a b.
【审题指导】向量的位置关系已给出，要作出 a b, 其关键是依据向量的平行四边形法则和三角形法则求解 .
r
r
【规范解答】作法： 方法一：(三角形法则)如图①所示，在平面内取一点O，作
向量加法的应用 解决与向量有关的实际应用题，应本着如 下步骤：
【例】如图所示，在2011日本福岛抗 震救灾中，一架飞机从A地按北偏东 35°的方向飞行800 km到达B地接到 受伤人员，然后又从B地按南偏东55° 的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及 两次位移的和.
【审题指导】
线起点到终点的向量,即 A 0 A1 A1A 2 A n 1A n A 0 A n .
首尾相接的向量构成封闭的向量链时,其和向量
r
uuuur
uuuur
uuuuuu r
uuuuu r
为 0.
【例2】(1)化简：
uur uuu r uuu r uuu r uur ① BC AB; ② DB CD BC; uuu r uur uuu r uur uur ③ AB DF CD BC FA.
uu u r uur 【规范解答】设 AB ， BC 分别表示飞机从A地按北偏东35°
的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,
uuu r uur 则飞机飞行的路程指的是 AB BC ；
uu u r uur uuu r 两次飞行的位移的和指的是 AB BC AC. uuu r uur 依题意，有 AB BC 800 800 1 600 km ，
角表示,精确到1°).
【审题指导】本题关键是把实际问题转化为向量问题，再结
合向量的平行四边形法则作出草图，利用三角形中的边角关
系求相应数值.
uu u r 【规范解答】(1)如图所示, AD 表示船速, AB 表示
uuu r
水速,以AD,AB为邻边作
ABCD,则 AC 表示船实际
uuu r
航行的速度. „„„„„„„„„„„„„„5分
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
uuu r 所以 AC uuu r 2 uur 2 AB BC 8002 8002 800 2 km .
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大 小为 800 2 km， 方向为北偏东80°.
uuu r r uu u r r uu u r r r 则 OA a， AB b, OB a b.
方法二：(平行四边形法则)如图②所示，先在平面内取一
uuu r r uu u r r 点O，作 OA a， AB b, 然后以OA,OB为邻边作平行四边形
uuu r r r r r OACB，则 OC 即为所求向量 a 的和向量 a b. 、 b
向量的加法运算
向量的加法运算
化简含有向量的关系式一般有两种方法： (1)利用几何方法通过作图实现化简； (2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾 相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有 时也需将一个向量拆分成两个或多个向量；
(3)由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加 法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行; (4)向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边 形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一 个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折
(2)在Rt△ABC中， AB 2， BC 5， „„„„„„„„„7分
【典例】(12分)长江两岸之间没有 大桥的地方,常常通过轮渡进行运 输.如图所示,一艘船从长江南岸A 点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水 的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹