2018年高考数学二轮复习第2部分八大难点突破难点3以构建函数模型解三角形动点轨迹为背景的实际问题学案

难点三 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题
(对应学生用书第66页)
高考实际应用题一直是高考当中的重点与难点，虽有较为清晰的数学概念分析，但是如果学生对应用题当中的数学公式的基本应用没有一个较为清晰的理解，往往会陷入到应用的“陷阱”当中．因此良好的解题思路，以及正确的解题方式，是高考数学应用解题的重点．高考实际应用问题常常在函数、三角函数和三角形、解析法中体现．因此对于高考数学应用题的解题方向来看，我们应当从构建具体的思维应用模式出发． 1．与函数相关的实际应用问题
【例1】 (2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图1所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？
图1
[解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，
所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积
V 锥＝1
3·A 1B 21·PO 1＝13
×62×2＝24(m 3)；
正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积
V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．
所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3
)．
(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，
O 1B 21＋PO 21＝PB 2
1，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫2a 22＋h 2
＝36， 即a 2
＝2(36－h 2
)．
于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3
)，0<h <6，
从而V ′＝263
(36－3h 2)＝26(12－h 2
)．
令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍)．
当0<h<23时，V′>0，V是单调增函数；
当23<h<6时，V′<0，V是单调减函数．
故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 3 m时，仓库的容积最大．
[点评] 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．
2．与解三角形相关的实际应用问题
三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础，高考中常会考察与三角函数有关的实际问题，需要建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题．解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型．将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论．
【例2】(2017·江苏省南京市迎一模模拟)如图2，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝313 km，且∠AOM＝β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB
部分为直线段，且经过大学M，其中tan α＝2，cos β＝3
13
，AO＝15 km.
(1)求大学M与A站的距离AM；
(2)求铁路AB段的长．
图2
[解](1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β，且cos β＝3
13
，OM＝313，
由余弦定理可得：AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM＝(313)2＋152－2×313
×15×3
13
＝72.
所以可得：AM＝62，大学M与A站的距离AM为6 2 km.
(2)∵cos β＝3
13
，且β为锐角，∴sin β＝
2
13
，
在△AOM 中，由正弦定理可得：AM sin β＝OM sin ∠MAO ，即62213
＝313
sin ∠MAO
，
∴sin ∠MAO ＝
22，∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π
4
， ∵tan α＝2，∴sin α＝
25
，cos α＝
15
，
∴sin ∠ABO ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝110， 又∵∠AOB ＝π－α， ∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝
25.
在△AOB 中，AO ＝15，由正弦定理可得：AB sin ∠AOB ＝AO sin ∠ABO ，即AB 25
＝15
1
10
，
∴解得AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.
[点评] 解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 3．以动点轨迹为背景的实际应用问题
近年江苏高考将直线与圆的位置关系隐含到实际问题中进行考查，利用解析几何中最值与范围问题的解法求实际问题中的最值与范围问题，这是一个高考新方向，也是高考的一个热点．解析几何中的最值与范围问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值与范围．
【例3】 (南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)如图3所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝3
4
.
图3
(1)若设计AB ＝18米，AD ＝6米，问能否保证上述采光要求？
(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注：计算中π取3)
[解] 如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
(1)因为AB ＝18，AD ＝6，所以半圆的圆心为H (9,6)， 半径R ＝9.设太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4x ＋b ，
即3x ＋4y －4b ＝0， 则由|27＋24－4b |32＋42
＝9， 解得b ＝24或b ＝3
2
(舍)．
故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4x ＋24，
令x ＝30，得EG ＝1.5米＜2.5米． 所以此时能保证上述采光要求．
(2)设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r . 法一：设太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4x ＋b ，
即3x ＋4y －4b ＝0，由|3r ＋4h －4b |
32＋42
＝r ， 解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －r
2
(舍)．
故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋h ＋2r ，
令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452，由EG ≤5
2，得h ≤25－2r .
所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋3 2×r 2≤2r (25－2r )＋32×r 2
＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2
＋250≤250.
当且仅当r ＝10时取等号．
所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．
法二：欲使活动中心截面面积尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)， 设过点G 的上述太阳光线为l 1，则l 1所在直线方程为y －52＝－3
4(x －30)，
即3x ＋4y －100＝0.
由直线l 1与半圆H 相切，得
r ＝
|3r ＋4h －100|
5
.
而点H (r ，h )在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即r ＝－3r ＋4h －100
5
，从而h ＝25－2r .
又S ＝2rh ＋12πr 2＝2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2
＋250≤250.
当且仅当r ＝10时取等号．
所以当AB ＝20米且AD ＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．
[点评] 解与动点轨迹为背景的实际应用问题常需建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化为对应直线与圆位置关系问题，再结合解几何方法求最值与范围．。