高考数学第一章空间几何体1

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2021_2022年高中数学第一章空间几何体1

第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征空间几何体与多面体[导入新知]1．空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2．多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱上图可记作：棱柱ABCDA′B′C′D′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥上图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台上图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点[化解疑难]1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要4个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．棱柱的结构特征[例1] 下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．[答案](3)(4)[类题通法]有关棱柱的结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[活学活用]下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形答案：D棱锥、棱台的结构特征[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．[答案](2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：判定方法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]下列说法正确的有( )①由5个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余4个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A多面体的平面展开图[例3] 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]1．解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．2．若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．3．若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．5C．快D．乐答案：B1.柱、锥、台结构特征判断中的误区[典例] 如下图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析]①正确，因为有6个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如下图所示．[答案]①③④⑤[易错防范]1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[成功破障]如右图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案：A一、选择题1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是( )答案：C2.如右图所示，在三棱台ABCA′B′C′中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体答案：B3．下列说法正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形；②三棱柱的侧面为三角形；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长都相等．A．①②B．①③C．②③D．②④答案：B4．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案：D5．下列命题正确的是( )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D二、填空题6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．答案：三 57.如右图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.答案：138．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．棱长都相等的长方体叫做正方体．请根据上述定义，回答下面的问题：(1)直四棱柱________是长方体；(2)正四棱柱________是正方体．(填“一定”“不一定”或“一定不”)答案：(1)不一定(2)不一定三、解答题9．如右图所示，长方体ABCD A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BB 1MCC 1N ，下方部分是四棱柱ABMA 1DCND 1. 10．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。

高中数学必修2第1章《空间几何体》高考真题及答案

高中数学必修2第1章《空间几何体》高考真题及答案一、选择题1．【05广东】已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为 A ．41B ．21C ．63D ．43图22．【05福建·理】如图2，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A ．515arccosB ．4π C ．510arccos D ．2π3．【05湖北·理】如图3，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为A ．KB ．HC ．GD ．B '图3 图44．【05湖南·理】如图4，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，如图1 A C 1A C则O 到平面AB C 1D 1的距离为 A ．21B ．42C ．22 D ．235．【05湖北·文】木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．【05江苏】正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 7．【05江西·理】矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B－AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125 9．【05全国Ⅰ·理】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为A ．π28B ．π8C ．π24D ．π410．【05全国Ⅰ·理】如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为 A ．32 B ．33C ．34D ．23 图511．【05全国Ⅱ·理】将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 AB ．C ．D12．【05全国Ⅱ·文】ABC ∆的顶点在平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30o 和45o ．若AB ＝３，BC＝AC ＝５，则AC 与α所成的角为 A ．60o B ．45o C ．30o D ．15o13．【05全国Ⅲ·理】设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为A ．16V B ．14V C ．13V D ．12V14．【05山东·理】设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075 东经0120，则甲、乙两地球面距离为 AB ．6R π C ．56R πD ．23R π 15．【05重庆·理】如图6，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于 A ．91 B ．81 C ． 71 D ．41图6 图716．【05重庆·文】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图7所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题1．【05辽宁】如图8，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .图8 图9M1A2．【05江西·理】如图9，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，ο90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .3．【05北京春考·理】如图10，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_________．4．【05江西·理】如图11，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且2π=∠BAC ，则PA与底面ABC 所成角为 .5．【05上海·理】如图12，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (0)a >。

高中数学第一章空间几何体1-精品

高中数学第一章空间几何体1-精品2020-12-12【关键字】空间、提升、基础、能力、满足、巩固、创新知识点、方法题号球的表面积、体积1、4、6、7、8、10与球有关的三视图3、11与球有关的“切”、“接”问题2、5、9基础巩固1.两个球的半径之比为2∶3,那么这两个球的表面积之比为( B )(A)2∶3 (B)4∶9 (C)∶(D)8∶27解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,则===.故选B.2.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B )(A)3πa2(B)6πa2(C)12πa2(D)24πa2解析:根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,所以S球=4πR2=6πa2,故选B.3.(2014南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D )(A)9π(B)10π (C)11π (D)12π解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积S=4πR2+2πr2+2πr·h,代入数据得S=4π+2π+2π×3=12π.故选D.4.(2015唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1∶S2等于( C )(A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故选C.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4,底面边长都为2,则这个球的表面积是.解析:长方体的体对角线长为=2,球的直径是2R=2,所以R=,所以这个球的表面积S=4π()2=24π.答案:24π6.(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm2.解析:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=R-1,则(R-1)2+32=R2,解之得R=5 cm,所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5 100π7.(2015大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=×4π×22=8π(cm2),S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),S圆台下底=π×52=25π(cm2),即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),V半球=××23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).能力提升8.(2014景德镇高二期末)已知三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为( C )(A)153π(B)160π(C)169π(D)360π解析:如图,由题意得BC=5,O1A=BC=,OO1=AA1=6,则球半径r=OA===,S球=4πr2=169π.故选C.9.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为( A )(A)1∶27 (B)1∶9 (C)1∶3 (D)9∶1解析:设四面体的内切球半径为r,外接球半径为R,四面体各面面积为S,则4×Sr=S(R+r),解得R=3r,所以四面体的内切球和外接球的体积之比为1∶27.故选A.10.(2015河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为2,求球的体积.解:如图所示,作出轴截面,因为△ABC是正三角形,所以CD=AC=2,所以AC=4,AD=×4=2,因为Rt△AOE∽Rt△ACD,所以=.设OE=R,则AO=2-R,所以=,所以R=.所以V球=πR3=π·=.所以球的体积等于探究创新11.一个半径为1的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积和表面积.解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为4份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体积V=π-π×=π,表面积S=4π-4π×+π×3×2=.。

高考数学.空间几何体,点线面位置关系

一、空间几何体 1．棱柱：⑴概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体．⑵性质：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． ⑶正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． 2．棱锥：⑴概念：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．⑵正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 3．棱台：⑴概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． ⑵性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； ⑶正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 4．圆柱、圆锥和圆台：⑴概念：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．⑵性质：①平行于底面的截面都是圆；②轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形． 5．球与球面：⑴半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面知识梳理知识结构图空间几何体、点线面位置关系叫做球面．⑵球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．6．三视图：俯视图、主视图、左视图．三视图的位置关系为：俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方．投影规律为：主俯一样长（长对正），主左一样高（高平齐），俯左一样宽（宽相等）． 7二、直线与平面的位置关系 1．平面的基本性质及推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．平行公理与等角定理公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．空间两条直线的位置关系有：相交、平行、异面；空间直线l 与平面α的位置关系有：l α⊂、l A α=、l α∥；空间平面α与平面β的位置关系有：αβ∥、l αβ=．4．线面平行的概念：如果直线与平面没有公共点，那么我们称这条直线与这个平面平行．线面平行判定定理：m α⊄，m l ∥，l α⊂m α⇒∥，线面平行性质定理：l α∥，l β⊂，m αβ=l m ⇒∥；5．面面平行的概念：如果两个平面没有公共点，我们称这两个平面平行．面面平行判定定理：a α⊂，b α⊂，a b A =，a β∥，b β∥αβ⇒∥，面面平行性质定理：αβ∥，m αγ=，n βγ=m n ⇒∥．6．线线垂直的概念：如果两条直线相交或平移后相交于一点，且交角为直角，称两直线互相垂直．线面垂直的概念：如果一条直线和平面内任意直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直．线面垂直判定定理：a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，b c A =a α⇒⊥，线面垂直性质定理：m α⊥，n α⊥m n ⇒∥．7．面面垂直的概念：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．面面垂直判定定理：l α⊂，l β⊥αβ⇒⊥．面面垂直性质定理：αβ⊥，m αβ=，n α⊂，n m ⊥n β⇒⊥．（2012北京理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）4234正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+【解析】 B ；（2010北京理8）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x y z ,,大于零），则四面体PEFQ 的体积（） A ．与x y z ,,都有关 B ．与x 有关，与y z ,无关C ．与y 有关，与x z ,无关D ．与z 有关，与x y ,无关【解析】 D1、一个棱柱是正四棱柱的条件是（） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱D ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直【解析】 D ；2、半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A ． 322RB ．343R C ．383R D ．33R小题热身真题再现QP FEB 1C 11A 1D B【解析】 C ；3、已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，23BC =，则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】 A ；4、如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1ABE 【解析】 C ．5、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A ．3B ．52C ．2D ．32【解析】 D6、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（）A ．2B ．22C ．32D ．42【解析】 B7、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是ABC △内一点，点E 到边AB BC CA ，，的距离之和为x ，点E 到平面DAB ，DBC ，DCA 的距离之和为y ，则22x y +=（）EDCBAA ．1B 6C ．53D ．1712 【解析】 D ；A 1B 1C 1ABEC俯视图侧视图正视图1338、（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（）A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【解析】 D9、（2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【解析】 D ； 10、（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A ．K B ．H C ．G D ．B 'GK EB'A'H F ABC【解析】 C ；<教师备案>复习空间几何体的性质时应注意，有些几何体名称不同但对象相同（例如三棱锥和四面体），有些几何体看上去相同实质不同（例如四面体和空间四边形及其对角线），有些几何体名称相近关系密切却有细微的差异（例如四棱柱家族），务必将名称与几何体严格对应并熟悉相应性质．下图为四棱柱家族的详细关系图：复习空间位置关系的判定应注意解题思路的梳理和过程书写的规范，每个步骤都应有明确的定义或定理作为基础，切忌“想当然”．考点1：空间几何体的性质【例1】 ⑴四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（）A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点在底面的射影是底面对角线的交点 ⑵下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是______．⑶在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体可以是_________（写出所有正确结论的编号）． ①不是正方形的矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；经典精讲7.1空间几何体平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为正方形直四棱柱侧棱与底面垂直底面为长方形长方体底面是正方形侧面也为正方形正方体棱长都相等的长方体④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】 ⑴A ；⑵ ②④； ⑶①③④⑤；考点2：三视图计算【例2】 ⑴（2010北京东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．俯视图侧（左）视图正（主）视图222211⑵（2011北京二中高三月考5）下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）（不考虑接触点） A ．63π++ B ．1834π++ C ．1823π++ D ．32π+ ⑶（2009辽宁15）设某几何体的三视图如图（长度单位m ），则该几何体的体积为_____3m ． ⑷（2012海淀二模理7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A ．203B ．43C ．6D ．43322221133222左视俯视图主视图第⑵题第⑶题第⑷题【解析】 ⑴43； ⑵C ； ⑶ 4； ⑷A ；<教师备案>根据三视图进行体积计算时，首先确定几何体的形状（棱柱或棱锥等），然后获得所需的数据，最后根据公式计算即可．由于计算底面积所需数据和几何体的高均可从三视图中直接获得，因此以三视图为基础的几何体体积计算是比较容易的．<教师备案>相对于体积计算，根据三视图进行表面积计算是比较困难的，因为相关数据很难从三视图中直接获得，需要先将三视图还原为直观图，再将直观图分解为展开图，依次计算各个表面的面积，最后求和．这个过程中，三视图还原直观图是最关键的，各个表面分别计算面积是最麻烦的．【拓1】如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A ．()280162cm + B ．296cmC ．()296162cm +D ．2112cm【解析】 A 考点3：几何体计算【例3】 ⑴（2009陕西10）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A ．26B ．23C ．33D ．23⑵在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A ．1:3B ．1:9C ．1:33D ．()1:331- ⑶如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 的中点．若截面1BC D △是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_______．【解析】 ⑴ B ；⑵ D ；⑶83俯正视图侧视图4442俯视图44C 1B 1A 1DCBA考点4：球体计算【例4】 ⑴长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A ．7π2 B ．56π C ．14π D ．64π⑵（2012西城二模13）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．⑶（2010课标全国10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．2πaB ．27π3aC ．211π3a D ．25πa【解析】 ⑴C ；⑵13π3，； ⑶ B考点5：平行垂直关系【例5】 ⑴ 已知m 、n 、l 为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题：①若m α∥，m β∥，则αβ∥；②l n ⊥，l m ⊥，n α⊂，m α⊂，则l α⊥； ③αβ⊥，αγ∥，则βγ⊥；④m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥．其中正确命题的个数是（） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ⑵设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l α⊥，m α⊥，则l m ∥；②若m β⊂，n 是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，m n ∥，则n α∥；④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥．其中真命题为（）A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．③④【解析】 ⑴ B ；⑵ A ；7.2点、线、面的位置关系俯视图侧视图正视图考点6：几何体中的平行与垂直【例6】 ⑴下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形有__________．ABPNMAB PNMA BPNMBAMNP① ② ③ ④ ⑵ 过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 ⑶在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，N 是线段AB上一点，若1MN MC ⊥，则（）A ．12AN AB = B ．14AN AB = C ．13AN AB = D ．34AN AB =⑷如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，则图中互相垂直的平面有（）CBAPA ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【解析】 ⑴①④；⑵ D ⑶B ； ⑷B ；NMA B CDA 1B 1C 1D 1考点7：几何体中的空间位置关系证明【例7】（2010丰台二模文16）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点． ⑴ 证明：平面SBD ⊥平面SAC ； ⑵ 证明：直线MN SBC 平面‖．NMSDCBA【解析】 ⑴ ∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵SA ⊥底面ABCD ，∴BD SA ⊥，∵SA 与AC 交于A ，∴BD ⊥平面SAC ，∵BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC ． ⑵ 取SB 中点E ，连接ME ，CE ， ∵M 为SA 中点，∴ME AB ∥且12ME AB =，又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB ∥且1122CN CD AB ==，∴CN EM ∥，且CN EM =， ∴四边形CNME 是平行四边形， ∴MN CE ∥，又MN ⊄平面SBC ，CE ⊂平面SBC ， ∴直线MN ∥平面SBC ．（也可以取AB 中点F ，通过面MNF ∥面SBC 来证MN ∥面SBC ）【例8】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC =，E F G ，，分别为线段1111AC AC BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥平面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．【解析】 ⑴ ∵BC AB ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC B =，∴BC ⊥平面1ABC ，又BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面1ABC ； ⑵∵111AE EC A F FC ==，，∴1EF AA ∥． ∵11BB AA ∥，∴1EF BB ∥．∵EF ⊄平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ； ⑶ 连接EB （图略），则四边形EFGB 为平行四边形， ∴GF BE ∥．∵1AB BC =，1AE EC =，∴1BE AC ⊥，∴1GF AC ⊥．又∵BC ⊥平面1ABC ，11BC B C ∥，∴11B C ⊥平面1ABC ． ∵BE ⊂平面1ABC ，∴11B C BE ⊥．∴11GF B C ⊥．C 1B 1A 1GFE CB AEAB CD S MN∵1111B C AC C =，∴GF ⊥平面11AB C ．<教师备案>空间距离的计算分为“直接法”、“间接法”和“向量法”：直接法需要找到垂线段的位置，对添加辅助线的技巧要求比较高，找到垂线段后利用解三角形、三角函数和勾股定理计算；间接法需要找到适当的三棱锥，通常不需要添加辅助线，但面积和体积的计算比较麻烦；向量法需要计算法向量，相应课程中会有详细的复习和练习．⑵中由于垂线段的位置比较容易确定，使用的是直接法；若求1A 到11EB D 的距离，则使用间接法比较合适．空间几何体体积的计算分为“直接法”和“间接法”：直接法使用几何体对应的公式直接计算；间接法适合规范几何体中分割出的“四面悬空”的几何体，通过整体减去不需要的部分的方法求解．⑶可以将两种方法均练习一下，用间接法需要连结DE EF ，．a b ，为两异面直线，下列结论正确的是（） A ．过不在a b ，上的任何一点，可作一个平面与a b ，都平行 B ．过不在a b ，上的任一点，可作一直线与a b ，都相交 C ．过不在a b ，上任一点，可作一直线与a b ，都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行【解析】 D ；一、选择题1、（2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）2322俯视图侧(左)视图正(主)视图A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【解析】 D ；课后习题2、（2006江西）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．12S S ，的大小关系不能确定【解析】 C ．3、如图，在等腰梯形ABCD 中，2260AB DC DAB ==∠=︒，，E 为AB 的中点，将ADE △ 与BEC △分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）DECBAA B CD【解析】 C ．4、（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==【解析】 D二、填空题5、（2008全国II 理16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．6、（2010湖北13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm ．【解析】 47、（2008福建15） 3是．ABCD【解析】 9π；8、设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥；②若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；③若l 上有三点到α的距离相等，且l α⊄，则l α∥；④若αβ⊥，αγ∥，则γβ⊥．其中正确命题的序号是______________．【解析】 ②③④；三、解答题9、如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．x 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】周长为8，面积为2210、把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【解析】第四个球的最高点与桌面的距离为2．11、如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【解析】（法一）取PE 的中点M ，连结FM ，则FM ∥CE ①由12EM PE ED ==，知E 是MD 的中点．连结,BM BD ，设BD AC O =，则O 为BD 的中点． ∴BM ∥OE ②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC∵BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．（法二）∵11()22BF BC CP AD CD DP =+=++1322AD CD DE =++13()()22AD AD AC AE AD =+-+-31.22AE AC =- ∴BF 、AE 、AC 共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC12、如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥．⑴ 证明：FO ∥平面CDE ； ⑵设BC =，证明：EO ⊥平面CDF ．【解析】 ⑴ 取CD 的中点M ．连结OM ．在矩形ABCD 中，12OM BC ∥，又12EF BC ∥，则EF OM ∥．连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形， ∴FO EM ∥．又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，ＭOABCDＥＦＦＥDCBAOOFM CBADPE∴FO∥平面CDE．⑵连结FM，CF，在等边CDE△中，CM DM=，∴EM CD⊥且12EM BC EF===．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO FM⊥．∵CD OM⊥，CD EM⊥，∴CD⊥平面EOM，又∵EO⊂平面EOM，∴CD EO⊥．而FM CD M=，所以EO⊥平面CDF．13、已知三棱锥P ABC-中，PC⊥底面ABC，AB BC=，D F，分别为AC PC，的中点，DE AP⊥于E．⑴求证：AP⊥平面BDE；⑵求证：平面BDE⊥平面BDF；⑶若:1:2AE EP=，求截面BEF分三棱锥P ABC-所成两部分的体积比．FEB DCAP【解析】⑴∵AB BC=，D为AC中点，∴BD AC⊥又PC⊥底面ABC，∴PC BD⊥∵PC AC C=，∴BD⊥平面PAC，∴BD AP⊥．又DE AP⊥，∴AP⊥平面BDE．⑵∵D F，为AC PC，的中点，∴DF AP∥．结合⑴可知DF⊥平面BDE．又DF⊂面BDF，∴平面BDE⊥平面BDF．⑶1:2．。

高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征组合体展开图截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥或者棱锥．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母表示．O下列命题中，正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形是梯形，可知，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（）A．个 B．个 C．个 D．个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有，其中为球的半径，为截面圆的半径，为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过，，三点作一个平面，再过，，作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体中，，，分别是，，的中点，那么正方体中过点，，的截面形状是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则解：四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2020届高考数学理一轮复习空间几何体及其三视图、直观图文科

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第一节空间几何体及其三视图、直观图
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1.空间几何体的结构特征
多 (1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等的多边形. 面 (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 体 (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是③ 相似多边形
旋 (1)圆柱:可以由④ 矩形绕其任一边所在直线旋转得到. 转 (2)圆锥:可以由直角三角形绕其⑤ 直角边所在直线旋转得到. 体 (3)圆台:可以由直角梯形绕其⑥ 垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕其上、下
底边中点的连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球:可以由半圆或圆绕其⑦ 直径所在直线旋转得到
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2.三视图与直观图
三视图画三视图的规则:长对正,高平齐,宽相等空间几何体的直观图常用⑧ 斜二测画法来画,规则如下: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直(原点为O),直观图中相应x'轴,y'轴满足∠x'O'y'=
直观图 ⑨ 45°(或135°) (O'为原点),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于相应坐标轴 ,平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持原长度不变 ,平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半
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2-1 (2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱答案 B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.

高一_数学_下_第一章_空间几何体_讲解

1. 常见公式正方体的表面积S a =62；正方体的体积V a =3；长方体的表面积S ab bc ca =++2()；长方体的体积V abc =；棱柱的体积V Sh =；棱锥的体积V Sh =13；棱台的体积V S SS S h =++13('')；圆柱的表面积S r rh =+222ππ；圆柱的体积V Sh r h ==π2；圆锥的侧面积S rl =π；圆锥的体积V Sh r h ==13132π；圆台的侧面积S r r l =+π(')；圆台的体积V S SS S h r rr r h =++=++131322('')('')π；球的表面积S R =42π；球的体积V R =433π。

2. 割补思想在多面体体积问题中的体现有时为了计算某些多面体的体积，往往将多面体分割成两个或多个特殊的多面体（如三棱锥），然后使用公式分别计算；有时也将多面体补成特殊的多面体（如正方体、长方体或三棱锥等），然后使用公式分别计算出补成的多面体的体积和补添部分的体积，做差可得要求多面体的体积。

3. 等体积法用来解决点到直线的距离构造一个三棱锥。

所求的点到平面的距离为三棱锥的高，设为h ，与之相对应的底面面积可求，此三棱锥的另一组底面面积及高也可求，便可以利用体积相等，得到一个关于h 的方程。

通过解方程就可以计算出点到平面的距离。

【解题方法指导】例1. 已知如图所示，正方体ABCD A B C D -1111中，E 、F 、G 分别为AB 、BB 1、BC 上的点，BE=BG=2，BF=3，AA 1=4。

求三棱锥D 1—EFG 的体积。

D C11H思路：为求三棱锥的体积，我们往往先找一个易于计算的底面，再考虑它上面的高，三棱锥D EFG 1-的四个面中没有一个面与正方体的面重合，进一步分析后发现，△EFG 为等腰三角形，由已知条件可以求出它的三边的长，可进而求出面积，但底面EFG 上的高既不好作也不好算，于是考虑进行等积变形，使△EFG 不变，而将点D 1，在与平面EFG 平行的直线上平移，将D 1平移到一个特殊的位置。

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高考数学第一章空间几何体1
【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A．B．π
2
C．D．3π
π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A．2倍B．2倍
C．倍D．倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶B．1∶3
C．1∶3D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( ) A．1∶2∶3B．1∶∶ 3
C．1∶2∶3D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．25πB．50π
C．125πD．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9B．9∶4
C．4∶27D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( ) A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．
1．3．2 球的体积和表面积答案
知识梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公
式求得体积比为．] 2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到
原来的2倍．] 3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径。