(完整版)广东省各市20xx年中考数学模拟试题分类汇编专题16：压轴题.doc

一、选择题1．【 2016 广东省深圳市二模】如图，两个反比例函数y1= k1（其中k1＞ 0）和y2= 3在第一象限内x x的图象依次是C1和 C2，点 P 在 C1上．矩形 PCOD交 C2于 A、B 两点， OA的延长线交C1于点 E，EF⊥x 轴于 F 点，且图中四边形BOAP的面积为 6，则 EF： AC为（）A． 3 ﹕1B．2﹕3C．2﹕1D．29﹕14【答案】 A考点： 1、反比例函数系数k 的几何意义， 2、以及相似三角形的性质二、填空题1．【 2016 广东省广州市海珠区一模】如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交 BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为．【答案】 1考点：1、正方形的性质，2、相似三角形的判定与性质，3、角平分线的性质2．如图，△AOB与△ ACD均为正三角形，且顶点B、 D 均在双曲线y=4（x＞ 0）上，点A、C 在x 轴x上，连接BC交AD于点P，则△ OBP的面积 = ．【答案】 4【解析】试题分析：设等边△AOB的边长为 a，等边△ ACD的边长为 b，由等边三角形的性质找出点 B 的坐标（1a，3a），点 D的坐标为（ a+ 1 b，3b），过点 B 作 BE⊥ x 轴于点 E，过点 P 作 PF⊥ x 轴2 2 2 2于点 F，由等边三角形的性质可找出∠ BOA=60°=∠PAC，从而得出 BO∥ PA，根据平行线的性质即可得出CP AC，再由 BE⊥x 轴， PF⊥ x 轴得出 BE∥PF，由此得出CPPF AC b ，根据CB OC CB BE OC a b比例关系找出线段PF的长度，通过分割三角形以及三角形的面积公式找出SV OBP= 3a2，由点B4的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出SVOBP4 ．考点： 1、等边三角形的性质，2、反比例函数图象上点的坐标特征，3、三角形的面积公式，4、平行线的性质三、解答题1．【2016 广东省东莞市二模】如图，已知直线y= 1x+72 2与 x 轴、 y 轴分别相交于B、 A 两点，抛物线 y=ax2+b x+c 经过 A、 B 两点，且对称轴为x=﹣ 3．（ 1）求 A、 B 两点的坐标，并求抛物线的解析式；（ 2）若点 P 以 1 个单位 / 秒的速度从点 B 沿 x 轴向点 O运动，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AB于点M，交抛物线于点N，设点 P 运动的时间为t ， MN的长度为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时， s 取得最大值？【答案】（ 1）y=﹣1（ x+3）2+8（ 2）49 28【解析】试题分析：（1）根据直线的解析式分别令x=0、 y=0，即可求得A、 B 的坐标，然后设出抛物线的顶点式，用待定系数法得到二次函数的解析式即可．（2）设 BP=t（ 0＜ t ＜ 7），则 OP=7﹣ t ，P（ t ﹣7，0），M（ t ﹣ 7，t），N（t ﹣ 7，﹣1（ t ﹣ 7+3）2+8），2 2即可得出 s=MN=﹣1t 2+7t （0＜ t ＜ 7），由﹣1＜ 0，可知 S 有最大值，然后根据二次函数的性质即2 2 2可求得 s 的最大值．（2）设 BP=t（ 0＜ t ＜7），则 OP=7﹣ t ，∴P（ t ﹣ 7，0）∵由于 MP与 y 轴平行，且点 M在直线 AB上∴M（ t ﹣ 7，t ），2∵MN与 y 轴平行，且点N 在抛物线上∴N（ t ﹣ 7，﹣1（ t ﹣ 7+3）2+8），2∴s=MN=﹣1（t ﹣ 7+3）2 +8﹣t=﹣1t 2+7t （ 0＜ t ＜ 7），2 2 2 2∵﹣1＜ 0，即 S 有最大值27 7时， s 最大 =﹣1×（7）2+7×7=49．∴当 t= ﹣21 2 2 2 2 2 822考点： 1、待定系数法求二次函数解析式；2、一次函数图象与系数的关系；3、二次函数的性质．2．【 2016 广东省广州市番禹区】已知二次函数 y=mx2+nx+p 图象的顶点横坐标是2，与 x 轴交于 A（ x1，0）、B（x2， 0）， x1＜ 0＜ x2，与 y 轴交于点 C， O为坐标原点， tan ∠CAO﹣tan ∠CBO=1．（ 1）求证： n+4m=0； （ 2）求 m 、 n 的值；（ 3）当 p ＞ 0 且二次函数图象与直线 y=x+3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值．【答案】 (1) 证明见解析（ 2） m=1 ， n=-1 或 m=- 1， n=1（ 3） 44 4（ 2）∵二次函数 y=mx 2 +nx+p 与 x 轴交于 A （ x 1， 0）、B （ x 2， 0），x 1＜ 0＜ x 2，∴OA=﹣ x 1， OB=x 2；x 1+x 2=n，x 1? x 2= p；mm令 x=0，得 y=p ，∴C （ 0， p ），∴OC=|p|．OC P p OC p由三角函数定义得： tan ∠CAO=x 1 x 1，tan ∠CBO=．OAOB x 2∵tan ∠CAO ﹣tan ∠CBO=1p p ，即1，x 1x 2化简得：x1x2 =1，x1 x2 pn pn1 ， x1? x2= 代入得：m将 x1 +x2=m p ，m pmp化简得： n==±1．p由（ 1）知 n+4m=0，∴当 n=1 时， m=- 1；当 n=﹣ 1 时， m=1．4 41， n=﹣ 1（此时抛物线开口向上）或1， n=1（此时抛物线开口向下）．∴m、 n 的值为： m= m=-4 4 考点：二次函数综合题3．【2016 广东省惠州市惠阳区一模】已知在平面直角坐标系中，抛物线相交于点A，B，与 y 轴相交于点C，直线 y=x+4 经过 A， C两点，（ 1）求抛物线的表达式；y 1 x2 bx c 与x轴2（2）如果点 P， Q在抛物线上（ P 点在对称轴左边），且 PQ∥AO， PQ=2AO，求 P， Q的坐标；（3）动点 M在直线 y=x+4 上，且△ ABC 与△ COM相似，求点 M的坐标．【答案】（ 1） y1 x2 x 4 （ 2） P 点坐标（﹣ 5，﹣ 7）， Q 点坐标（ 3，﹣7）22 2（ 3） M 点的坐标为（﹣ 8 ， 4），（﹣ 3， 1）3 3（ 2） PQ=2AO=8，又 PQ ∥AO ，即 P 、 Q 关于对称轴x=﹣ 1 对称，PQ=8，﹣ 1﹣4=﹣ 5， 当 x=﹣ 5 时， y=1×（﹣ 5） 2﹣（﹣ 5） +4=﹣，即 P （﹣ 5，﹣ 7）；22﹣ 1+4=3，即 Q （ 3，﹣ 7）；2P 点坐标（﹣ 5，﹣7），Q点坐标（ 3，﹣7）；2 2当△ OCM∽△ CAB 时，OCCM4 CM2，，即，解得 CM=3CA AB 4 2 6如图2，过 M作 MH⊥y轴于 H，MH=CH= 2CM=3，2 当 x=﹣3 时， y=﹣ 3+4=1，∴M（﹣ 3， 1），综上所述： M点的坐标为（﹣8 ， 4 ），（﹣ 3， 1）．3 3考点：二次函数综合题4．【 2016 广东省汕头市澄海区一模】如图，在 Rt△ABC中，∠ A=90°， AB=6，AC=8， D， E 分别是边AB，AC的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE方向运动，过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q，过点 Q作 QR∥BA 交 AC于R，当点Q与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ=x， QR=y．（ 1）求点 D到 BC的距离 DH的长；（ 2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 3）是否存在点P，使△ PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的请说明理由．x 的值；若不存在，【答案】（ 1）12（ 2）y=-3x+6（ 3）存在，18或6或15 5 5 5 2试题解析：（1）在 Rt△ABC中，∵∠ A=90°， AB=6， AC=8，∴BC=AB2AC2=10．∵∠ DHB=∠A=90°，∠ B=∠B ．∴△ BHD ∽△ BAC ，∴ DHBD ， ACBC∴DH=BD? AC= 3 ×8=12BC 105②当 PQ=RQ 时，﹣ 3 x+6=12，55∴ x =6．③作 EM ⊥BC ，RN ⊥EM ，∴EM ∥PQ ，当 PR=QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，∴EN=MN ，∴ER=RC ，∴点 R 为 EC 的中点，∴CR=1 CE=1AC=2．24 ∵tanC=QRBA ， CRCA3x 66 ， ∴ 528∴x=15．2综上所述，当 x 为18或 6 或15时，△ PQR 为等腰三角形．5 2考点：一次函数综合题5．【 2016 广东省汕头市金平区一模】有一副直角三角板， 在三角板 ABC 中， ∠BAC=90°，∠ C=60°，AB=6，在三角板 DEF 中，∠ FDE=90°，∠ E=45°， EF=6．将这副直角三角板按如图 1 所示位置摆放，点 A 与点F 重合，点E 、F 、A 、 C 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 以每秒1 个单位的速度沿边AC 匀速运动，DF 与AB 相交于点M ．（ 1）如图 2，连接 ME ，若∠ EMA=67.5°，求证：△ DEM ≌△ AEM ；（ 2）如图 3，在三角板 DEF 移动的同时，点 N 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 匀速移动， 当三角板 DEF 的顶点 D 移动到 AB 边上时，三角板 DEF 停止移动，点 N 也随之停止移动． 连接 FN ，设四边形 AFNB 的面积为 y ，在三角板 DEF 运动过程中， y 存在最小值，请求出 y 的最小值；（ 3）在（2）的条件下，在三角板DEF 运动过程中，是否存在某时刻，使E 、 M 、N 三点共线，若存在，请直接写出此时AF 的长；若不存在，请直接回答．【答案】（ 1）证明见解析（ 2） 9 3（ 3）不存在2（ 2）解：如图 2 中，作 FG ⊥CB ，垂足为 G ．设 AF=x ，则 CN=2x ．在 Rt △ABC 中，∠ C=60°， AB=6，AB 6 ∴AC=2 3 ，tan 60 o3∴ C F=2 3 ﹣ x ，在 Rt △CFG 中， FG=CF? sin60 °=2 3 ﹣ x ）?3=3﹣3x ，22∴ y = S VABC ﹣ S VCFN = 1 AC? AB ﹣ 1CN? FG ，22= 1?2 3×6﹣1? 2x? （ 3﹣3x ）222=3x 2﹣ 3x+6 32= 3（ x﹣3）2+9 3，2 2∴y的最小值为93 ．2考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、平行线性质6．【2016 广东省广州市华师附中一模】在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 1x2+bx+c（ b， c 为2常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A 的坐标为（0，﹣ 1），C 的坐标为（4，3），直角顶点 B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过 A， B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC上滑动，且与 AC交于另一点 Q．（ i ）若点 M在直线 AC下方，且为平移前（ 1）中的抛物线上的点，当以 M、P、 Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M的坐标；PQ（ ii ）取BC的中点N，连接NP， BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；NP BQ若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）y=1x2+2x﹣1（2）i：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+5，﹣2+5），M4（ 1 210﹣ 5 ，﹣2﹣ 5 ）；ii:5ii ）由（ i ）可 知， PQ=2 2 为定值，因此当 NP+BQ 取最小值时，PQ 有最大值．NP BQ如答图 2 所示，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ′，由分析可知，当 B ′、 Q 、 F （ AB 中点）三点共线时， NP+BQ 最小，最小值为线段 B ′F 的长度．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（ 1）可得 P 0 的坐标为（ 2， 1），且 P 0 在直线 AC上．∵点 P 在直线 AC 上滑动，∴可设 P 的坐标为（ m ，m ﹣ 1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y=1 （ x ﹣ m ）2 +m ﹣ 1．2yx 1解方程组：1 2m，yx m12x 1 mx 2 m 2 解得m 1，m 3y 1 y 2∴ P （ m ， m ﹣1）， Q （ m ﹣ 2， m ﹣ 3）．过点 P 作 PE ∥x 轴，过点 Q 作 QF ∥ y 轴，则PE=m ﹣（ m ﹣2） =2， QF=（ m ﹣ 1）﹣（ m ﹣3） =2．∴ PQ=2 2 =AP 0．若以 M 、 P 、 Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：②当 PQ为斜边时： MP=MQ=2，可求得点M到 PQ的距离为 2 ．如答图 2，取 AB 的中点 F，则点 F 的坐标为（ 2，﹣ 1）．由 A（ 0，﹣ 1）， F（ 2，﹣ 1）， P0（ 2， 1）可知：2．△ AFP0为等腰直角三角形，且点 F 到直线 AC的距离为2 1 2 +2x﹣ 1 于点 M，则 M为符合条件的点．过点 F 作直线 l ∥ AC，交抛物线y= x2∴可设直线l 2的解析式为： y=x+b 2，∵F（ 2，﹣ 1），∴﹣ 1=2+b2，解得 b2=﹣3，∴直线 l 2的解析式为： y=x﹣ 3．yx 3x 11 5 x2 15 解方程组1 x2 ，得：，y2x 1 y 1 25y 22 52∴ M （1+ 5 ，﹣2+ 5 ）， M （ 1﹣5，﹣2﹣ 5 ）．34综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（ 4，﹣ 1）， M 2（﹣ 2，﹣ 7）， M 3（ 1+5 ，﹣ 2+ 5 ）， M 4（ 1﹣ 5 ，﹣ 2﹣5 ）．②当 Q 为直角顶点时，点M 可视 为点 P 绕点 Q 顺时针旋转 90°而成，将点 Q （ t ﹣ 2， t ﹣ 3）平移至原点 Q ′（ 0， 0），则点 P 平移后 P ′（ 2， 2），将点 P ′绕原点顺时针旋转 90°，则点 M ′（ 2，﹣ 2），将 Q ′（ 0， 0）平移至点 Q （ t ﹣2， t ﹣ 3），则点 M ′平移后即为点 M （ t ， t ﹣ 5）， ∴ 1 t 2 2t 1 t 5 ，2∴ t 1=4， t 2=﹣ 2，∴ M 1（4，﹣ 1）， M 2（﹣ 2，﹣ 7），③当 P 为直角顶点时，同理可得M 1（ 4，﹣ 1）， M 2（﹣ 2，﹣ 7），综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（ 4，﹣ 1）， M 2（﹣ 2，﹣ 7）， M 3（ 1+5 ，﹣ 2+ 5 ）， M 4（ 1﹣ 5 ，﹣ 2﹣5 ）．PQii ）存在最大值．理由如下：NP BQ由 i ）知 PQ=2 2 为定值，则当PQNP+BQ取最小值时，有最大值．NP BQ考点：二次函数综合题7．【 2016 广东省广州市海珠区一模】如图，抛物线1=1x2+bx+c2与 x 轴交于点A、B，交y 轴于点 C （0，﹣ 2 3 ），且抛物线对称轴x=﹣ 2 交x 轴于点D，E 是抛物线在第 3 象限内一动点．（ 1）求抛物线y1的解析式；（ 2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y1上？请说明理由．（ 3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x 轴上，过E′作x 轴的垂线交抛物线y1 于点F，①求点 F 的坐标；②直线CD上是否存在点P，使 |PE﹣ PF| 最大？若存在，试写出|PE﹣PF| 最大值．1 2 +2x﹣ 2 3 ；（2）不在（3）①F（2，6﹣2 3 ）②存在，6﹣2 3【答案】（ 1）y = x12②由于点 E 关于直线CD的对称点E′恰好落在x 轴，则 PE=PE′，根据三角形三边的关系得| PE′﹣PF| ≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），于是可判断直线CD上存在点P，使 |PE ﹣PF| 最大，最大值为6﹣2 3 ．试题解析：（ 1）∵抛物线对称轴x=﹣ 2，b∴﹣ 1 =﹣2，22解得 b=2，∵点 C（ 0，﹣ 2 3 ）在抛物线y1= 1 x2+bx+c 上，2∴ c=2 3，∴抛物线解析式为y1= 1x2+2x﹣ 2 3 ；2∵当 x=﹣ 3 时， y1= 1x2+2x﹣2 3 =1× 9+2×（﹣ 3）﹣ 2 3≠﹣ 3 ，2 2 ∴O′点不在抛物线y1上；2∴DE=22 2 3=4，∴DE′=4，∴E′（ 2， 0），而 E′F⊥ x 轴，∴ F 点的横坐标为2，当 x=2 时， y1 = 1x2+2x﹣ 2 3 =6﹣2 3 ，2∴F（2，6﹣2 3 ）；②∵点 E 关于直线CD的对称点E′恰好落在x 轴，∴P E=PE′，∴| PE′﹣ PF| ≤E′F（当点 P、E′F共线时，取等号），∴直线 CD 上存在点 P，使 |PE ﹣ PF| 最大，最大值为 6﹣2 3．考点：二次函数综合题8．【2016 广东省广州市增城市一模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A， B 两点，点 B 的坐标为（ 3， 0），直线y=﹣x+3 恰好经过B， C两点（ 1）写出点 C 的坐标；（ 2）求出抛物线y=x 2+bx+c 的解析式，并写出抛物线的对称轴和点 A 的坐标；（ 3）点 P 在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为 D 且∠ APD=∠ ACB，求点 P 的坐标．【答案】（ 1）C（ 0， 3）；（ 2）y=x 2﹣ 4x+3=（ x-1 ）（ x-3 ），对称轴为x=2，点 A（ 1，0）；（ 3）（2， 2）或（ 2，﹣ 2）【解析】试题分析：（ 1）由直线y=﹣ x+3 可求出 C点坐标；（ 2）由 B， C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和 A 点坐标；（ 3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△ AFP，根据两边成比例，便可求出PF 的长度，从而求出P 点坐标．试题解析：（ 1） y=﹣x+3 与 y 轴交于点C，故 C（0， 3）．2（ 2）∵抛物线y=x +bx+c 过点 B， C，9 3b c0∴，c 3b 4解得，c 3∴抛物线的解析式为y=x2﹣ 4x+3=（x﹣ 1）×（ x﹣ 3），∴对称轴为x=2，点 A（ 1， 0）．过点 A 作 AE⊥BC于点 E．∴∠ AEB=90度．可得BE AE 2，CE 2 2．在△ AEC 与△ AFP 中，∠ AEC=∠AFP=90°，∠ ACE=∠APF ，∴△ AEC ∽△ AFP ．∴AECE ， 2 22AFPF 1 PF解得 PF=2．或者直接证明△ ABC ∽△ ADP 得出 PD=3，再得 PF=2．∵点 P 在抛物线的对称轴上，∴点 P 的坐标为（ 2，2）或（ 2，﹣ 2）．考点：二次函数综合题9．【 2016 广东省揭阳市普宁市二模】如图，抛物线 y=x 2+bx+c 过点 A （3， 0）， B （ 1， 0），交 y轴于点 C ，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动（点 P 不与 A 重合），过点P作 PD ∥ y 轴交直线 AC 于点 D ．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）当 D 在线段 AC 上运动时，求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；（ 3）在抛物线对称轴上是否存在点M 使 |MA ﹣ MC|最大？若存在请求出点 M 的坐标， 若不存在请说明理由．【答案】（ 1）y=x 2﹣ 4x+3；（ 2） 9；（ 3） M （ 2，﹣ 3）42试题解析：（ 1）∵抛物线 y=x +bx+c 过点 A （ 3， 0）， B （ 1，0），9 3b c 0∴bc ，1 0 b 4 解得c，3∴抛物线解析式为y=x 2 ﹣4x+3；（ 3）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB ，∴ MA=MB ，由三角形的三边关系，|MA ﹣ MC|＜ BC ，∴当 M 、 B 、 C 三点共线时， |MA ﹣MC|最大，为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b （k ≠ 0），k b 0则，b 3k 3解得，b 3∴直线 BC的解析式为y= ﹣ 3x+3，2∵抛物线y=x ﹣4x+3 的对称轴为直线x=2，∴点 M（ 2，﹣ 3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣ 3），使 |MA﹣MC|最大．考点：二次函数综合题10．【 2016 广东省深圳市模拟】抛物线y=ax 2+bx+4A（ 1，﹣ 1）， B（5，﹣ 1），与 y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图 1，连接 CB，若点 P 在直线 BC上方的抛物线上，△ BCP的面积为 15，求点 P 的坐标；（3）如图 2，⊙ O1过点 A、B、C 三点， AE为直径，点 M为弧 ACE上的一动点（不与点 A， E 重合），∠ MBN为直角，边 BN与 ME的延长线交于 N，求线段 BN长度的最大值．【答案】（ 1）y=x 2﹣ 6x+4；（ 2）（ 6， 4）或（﹣ 1， 11）（ 3）313（ 2）如图所示：设点 P 的坐标为 P （ m ，m 2﹣ 6m+4）∵ S △CBP =15，即： S △CBP=S 梯形 CEDP ﹣ S △CEB ﹣ S △PBD ，1 21 12∴m （ 5+m ﹣ 6m+4+1）﹣2× 5× 5﹣ （ m ﹣ 5）（ m ﹣ 6m+5） =15，222化简得： m ﹣ 5m ﹣ 6=0，解得： m=6，或 m=﹣ 1，∴点 P 的坐标为（ 6，4）或（﹣ 1， 11），将 x=0 代入抛物线的解析式得： y=4，∴点 C 的坐标为（ 0，4），设点 O1的坐标为（ 3，m），∵ O1C=O1A，∴ 322m 4 =13，解得： m=2，∴点 O1的坐标为（ 3， 2），∴ O1A= 322 2 4 ，考点： 1、二次函数的综合应用，2、相似三角形的判定和性质，3、勾股定理， 4、圆周角定理11．【 2016 广西贵港市三模】已知，点P 是 Rt△ ABC斜边 AB 上一动点（不与A、B 重合），分别过A、B 向直线 CP作垂线，垂足分别为E、 F、 Q为斜边 AB的中点．（ 1）如图 1，当点 P 与点 Q重合时， AE与 BF 的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB上不与点 Q重合时，试判断 QE与 QF的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（ 2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【答案】（ 1）AE∥ BF，QE=QF；（ 2） QE=QF；（ 3）成立理由是：∵ Q为 AB 的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥ CQ， BF⊥ CQ，∴AE∥ BF，∠ AEQ=∠BFQ=90°，在△ AEQ和△ BFQ中AQE BQFAEQ BFQAQ BQ∴△ AEQ≌△ BFQ，∴QE=QF，故答案为： AE∥ BF， QE=QF；（3）当点 P在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（ 2）中的结论成立，证明：延长 EQ交 FB 于 D，如图 3，∵由（ 1）知： AE∥ BF，∴∠ AEQ=∠ BDQ，在△ AEQ和△ BDQ中AQE BQDAEQ BDQAQ BQ∴△ AEQ≌△ BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．考点： 1、平行线的性质和判定，2、全等三角形的性质和判定，3、直角三角形的性质12．【 2015 广西桂林市模拟】如图，在矩形ABCD中， AD=6cm，AD=8cm，点 E 是 AD的中点．连接BD，BE．（ 1）如图 1，点 P 在 DC上，若 DP=3cm，连接 AP 与 BD、 BE分别交于点 M、 N①求 MP： MA；②求 MN的长度；（2）如图 2，动点 P 从点 D 出发，在射线 DC上运动，运动速度均为 1cm/s ，连接 AP与 BD、BE分别交于点 M、 N，设点 P 的运动时间为 x 秒，当 x 为多少时，△ DMN是直角三角形？【答案】（ 1）①3②1925（2）9 8209 2【解析】试题分析：（ 1）①由四边形是矩形，得到AB∥ DC，从而得到比例式即可；②由相似三角形的性质得到比例式，再用勾股定理求出AP即可；（2）由△ ABM∽△ ABD和△ ABM∽△ DPM，得出的比例式，用比例的基本性质即可．试题解析：①∵四边形 ABCD为矩形，∴ AB∥ DC，∵ DP=3， AB=8，∴ PM PD = 3 ．MA AB 8（2）∵ AD=6， AB=8，∴BD=10，∵ DP=x，当△ DMN为直角三角形，即： DB⊥ AP，∵△ ABM∽△ ABD，∴AB BM，BD AB∴8 BM，10832∴BM=，5考点：四边形综合题13．【 2016 广西南宁市马山县一模】如图，已知抛物线y=ax2﹣ 5ax+2（a≠0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A（1， 0）和点 B．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）求直线BC的解析式；（ 3）若点 N是抛物线上的动点，且点N 在第四象限内，过点N 作 NH⊥x轴，垂足为H，以 B， N，H 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出所有符合条件点N 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（ 1）y= 1x2﹣ 5ax+2；（ 2 ） y=﹣1x+2；（3）（ 2，-1 ）2 2【解析】试题分析：（1）把点 A（ 1， 0）在抛物线 y=ax 2﹣ 5ax+2 上，解方程即可得到结论；（ 2）把 x=0 代入 y= 1x2﹣ 5ax+2，求得 C（ 0，2），根据抛物线的对称轴为直线x=5，得到 B（ 4，0），2 2求出直线 BC的解析式 y= ﹣1x+2；2（ 3）设 N（ x，1x 2﹣5x+2），根据相似三角形的性质得到OBOC，即可得到结论．2 2 BH HN试题解析：（1）∵点 A（ 1， 0）在抛物线y=ax 2﹣ 5ax+2 上，∴a﹣ 5a+2=0，∴ a= 1，2∴抛物线的解析式为：y= 1x2﹣ 5ax+2；2（3）设 N（ x，1x 2﹣5x+2），2 2当△ OBC∽△ HBN 时，如图，∴OB OC，BH HN即4 2，4 x 1 5x 2 x 22 2解得： x1=2， x2=4（不合题意舍去）故 N的坐标为（ 2， -1 ）考点：二次函数的综合14．【 2016 广东省深圳市龙岭期中】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在 x 轴上， D 点在 y 轴上， C 点坐标为（ 2， 0）， BC=6，∠ BCD=60°，点 E 是 AB上一点，AE=3EB，⊙P过 D， O，C 三点，抛物线 y=ax2 +bx+c 过点 D， B， C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证： ED是⊙P的切线；（ 3）若点 M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B， D， M， N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）y=﹣ 3 x2﹣3x+2 3 ；（2）证明见解析（3）点N的坐标为（﹣5，3）、（ 3，17 3）、4 2 4 4 （﹣ 3，﹣ 3 ）4而∠ ADE+∠ODE=90°∴∠ CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠ DOC=90°，∴CD为⊙P 的直径，∴ED是⊙P 的切线；（ 3）存在．∵y=﹣ 3 x2﹣3x+2 3 =﹣3（x+1）2+934 2 4 4∴M（﹣ 1，93），4而 B（﹣ 4， 0）， D（ 0，23），如图2，当 BM为平行四边形BDMN的对角线时，点 D向左平移 4 个单位，再向下平移 2 3个单位得到点B，则点 M（﹣ 1，93 ）向左平移4 个单位，再向下平移 2 3个单位得到点N1（﹣ 5，3）；4 4当 DM为平行四边形BDMN的对角线时，点 B 向右平移3 个单位，再向上平移9 3个单位得到点M，则点 D（ 0， 2 3）向右平移 3 个单位，再向上平移9 3个单位4 4得到点 N2（ 3，17 3）；4考点：二次函数综合题15．【2016 广东省深圳市二模】如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于点A（﹣ 1，0）、 B（ 3， 0）．（ 1）求 b、 c 的值；（ 2）如图 1 直线 y=kx+1 （ k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交 y 轴于 F 点，交线段BC于E 点．求DE的最大值；EF（3）如图 2，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC相交于点 M，连接 PB．问在直线 BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）b=2， c=3（ 2）9（3）（317， 1 17 ）或（ 3 17， 1 17 ）8 2 2 2 2试题解析：（ 1）将点 A（﹣ 1，0）、 B（ 3， 0）带入到抛物线解析式中得：0 1 b c，09 3b cb 2 解得：．c 3设点 D 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2m+3），则点 N 的坐标为（ m ，﹣ m+3），∴DN=﹣ m 2+3m ， CF=3﹣ 1=2，∴ DEDN = m 2 3m ， EFCF 229 ，∵DN=﹣ m 2+3m= m39的最大值为244∴DE的最大值为9．EF8（ 3）假设存在符合题意的点 Q ．设 PM 与 x 轴交于点 G ，过点 G 作作直线 BC 的平行线，如图 2 所示．2 2∵抛物线的解析式为y=﹣ x +2x+3=﹣（ x﹣ 1） +4，∴P点的坐标为（1， 4）， PM的解析式为x=1，∵直线 BC的解析式为y= ﹣ x+3，∵点 G的坐标为（ 1，0），∴PM=GM=2，∴过点 G与 BC平行的直线为y=﹣ x+1．考点： 1、待定系数法求函数解析式，2、相似三角形的判定及性质，3、二次函数的性质，4、二元二次方程组16．【 2016 广东省汕头市潮南区模拟（ B 卷】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=8，BC=6，CD⊥AB于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段 DC向点 C 运动，点 Q从点 C出发，沿线段 CA向点 A运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒．（ 1）求线段CD的长；（ 2）设△ CPQ的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得 S△CPQ：S VABC =9 ：100？若存在，求出t 的值；若不存在，则说明理由．（ 3）是否存在某一时刻t，使得△ CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t 的值；若不存在，则说明理由．【答案】（ 1）4.8 （ 2）t= 9秒或 t=3 （ 3）存在， t 为 2.4 秒或144秒或24秒时55511（2）①过点 P 作 PH⊥AC，垂足为 H，如图 2 所示．由题可知 DP=t， CQ=t．则 CP=4.8﹣ t ．∵∠ ACB=∠CDB=90°，∴∠ HCP=90°﹣∠ DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠ CHP=90°．∴∠ CHP=∠ACB．∴△ CHP∽△ BCA．∴PH PC．AC AB∴ PH 4.8 t ．8 1096 4．∴PH= t25 51 1 96 4 2t 2 48∴ S VCPQ= CQ· PH= t ·（25 t ）=5t ；2 2 5 25（ 3）存在①若 CQ=CP，如图 1，则t=4.8 ﹣t ．解得：t=2.4 ．②若 PQ=PC，如图 2 所示．考点：1、相似三角形的判定与性质，2、等腰三角形的性质，3、一元二次方程的应用，4、勾股定理17．【 2016 广东省梅州市梅江模拟】如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点C，与x 轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△ APC 周长的最小，求此时P 点坐标及△ APC周长；（3）设 D为抛物线上一点， E为对称轴上一点，若以点 A、 B、 D、 E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标．（直接写出结果）【答案】（ 1）y=x 2﹣ 4x+3（ 2） 3 2 +10（3）（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）（ 2）连接 AC， BC， BC交对称轴于点P，连接 PA，如图 1，由（ 1）知抛物线的函数表达式为 y=x 2﹣ 4x+3，点 A， B 的坐标分别为（ 1， 0），（ 3， 0），∴点 C 的坐标为（ 0，3），∴BC=2 2=3 2，AC= 3212 = 10．3 3∵点 A， B 关于对称轴直线x=2 对称，∴P A=PB，∴P A+PC=PB+PC，此时， PB+PC=BC，∴当点 P 在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，∴△ APC周长的最小值 =AC+AP+PC=BC+AC=32 +10 ．②线段 AB为边，如图3，考点： 1、二次函数的综合运用，2、行四边形的性质，3、抛物线的对称性18．【 2016 广东省东莞市虎门市模拟】如图，抛物线y= 1x2﹣ x﹣4 与坐标轴相交于A、B、C 三点，2P 是线段 AB上一动点（端点除外），过P 作 PD∥AC，交 BC于点 D，连接 CP．（ 1）直接写出A、 B、C 的坐标；（ 2）求抛物线y= 1x2﹣ x﹣ 4 的对称轴和顶点坐标；2（3）求△ PCD面积的最大值，并判断当△ PCD 的面积取最大值时，以 PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．【答案】（ 1） A（ 4，0）、 B（﹣ 2， 0）、 C（ 0，﹣ 4）．（ 2）（ 1，﹣9）（ 3）不是菱形2【解析】试题分析：（ 1）设 y=0，解一元二次方程即可求出 A 和 B 的坐标，设 x=0，则可求出 C 的坐标．（ 2）抛物线： y1 x2 x 4 1 x 1 29 ，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（ 1，222﹣9）．2（ 3）设 P （x ，0）（﹣ 2＜x ＜ 4），由 PD ∥AC ，可得到关于 PD 的比例式，由此得到PD 和 x 的关系，再求出 C 到 PD 的距离（即 P 到 AC 的距离），利用三角形的面积公式可得到S 和用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到 x 的值，所以 PD 可求，而PD 为邻边的平行四边形不是菱形．x 的函数关系，利PA ≠PD ，所以 PA 、当△ PCD 的面积取最大值时， x=1， PA=4﹣x=3， PD2 2 x 2 2 2 ，3因为 PA ≠PD ，所以以 PA 、 PD 为邻边的平行四边形不是菱形．考点： 1、二次函数和坐标轴的交点问题， 2、平行线分线段成比例定理，数值， 4、二次函数的最值问题， 5、菱形的判定3、特殊角的锐角三角形函19．【 2016 广东省潮州市潮安区一模】如图，抛物线 y=﹣ 1x 2+mx+2与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y2轴交于点 C ，抛物线的对称轴直线x= 3交 x 轴于点 D ．2（ 1）求 m 的值；（ 2）在抛物线的对称轴上找出点P ，使△ PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，直接写出P 点的坐标；（ 3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，与 x 轴相交于点 H ，连接 CF 、 BF 、OE ，当四边形 CDBF 的面积最大时，请你说明四边形OCFE 的形状．【答案】（ 1）3（ 2）P 1（3 ，5）， P 2（3，﹣5）， P 3（ 3， 4）（ 3）平行四边形22 2222（ 2）由勾股定理，得5 5 时， P （ 3 ， 5 ），（3 ，﹣5 ），CD=，当 CD=DP= 2 2 2 2 22当 CD=CP 时，设 P 点 坐标为（3， b ），225∴32=b 2，22解得 b=4， P （ 3， 4），2综上所述： P 1（ 3，5）， P 2（ 3，﹣ 5）， P 3（ 3，4）；2 2 2 2 2EF=FH ﹣ EH=﹣ 1n 2+2n ，2∵S四边形 CDBFS V CDB S CFB ，SCDB =1BD · CO=1×（ 4﹣ 1.5 ）× 2=5，S CFB = 1EF · OB=1×4×（﹣ 1n 2+2n ） =﹣ n 2+4n ，222 2 2 2S 四边形 CDBF =﹣n 2+4n+ 5 =﹣（ n ﹣ 2） 2+ 13 ，2 2当 n=2 时，四边形 CDBF 的面积最大，此时 EF=﹣1n 2+2n=2， EH=﹣1n+2=1， OH=2，22OE= OH 2EH 2 = 5 ．∵ O C=EF=2，OC ∥EF ，∴四边形 OCFE 是平行四边形．。