origin曲线拟合

且满足:
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交。
A
若函数族 ψ0(x), ψ1(x), …, ψn(x), … 满足关系
则称{ψk(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族。 例如，三角函数族 1 ,cosx , sinx , cos2x , sin2x , …
就是在区间 [-π, π] 上的正交函数族。
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
纤维强度随拉伸 倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数x的主 要关系应是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(x)01x ---------(1)
m i(f(xi)p(xi)2 )min
i0
就是常说的曲线拟合的最小二乘法.
二. 预备知识
内积: 设X是数域K上的线性空间,若对u,v X, 有 K 中 一 个 数 与 之 对 应 ,记 为(u,v),其 满 足: (1) (u, u) 0, 且 (u, u)=0 u=0;
(2) (u, v)=(u, v);
(0 ,0 ) (0 ,1 ) (0 ,n ) G (1 ,0 ) (1 ,1 ) (1 ,n )
(n , 0 ) (n , 1 ) (n , n )
则 G非 奇 异 的 充 分 必 要 条 件 是 :
0,1,2,L,n线 性 无 关 .
正交多项式
1.正交函数族与正交多项式 定义1 若f(x),g(x)∈C[a,b], ρ(x)为[a,b]上的权函数
表示。 这是勒让德于1785年引进的。1814年罗德利克
(Rodrigul) 给出了简单的表达式：
A
由于(x2 -1)n 是2n次多项式，求n阶导数后得到 于是得首项 xn 的系数 显然最高项系数为1的勒让德多项式为:
A
勒让德多项式有下述几个重要性质： 性质1. 正交性
性质2.奇偶性 pn(-x)=(-1)n pn (x) 性质3.递推关系
x
i=1
( x1, x 2 ,L
, xn)T
y
(
y1,
y 2 ,L
, yn)T
由内积定义范数（满足三个条件）
n
2 范数 : x (x, x) i xi2 i 1
2. 连 续 函 数 空 间 C[a,b] 上 的 内 积 : 设 f , g C [a,b],定 义 内 积 :
b
( f , g ) a f ( x)g ( x)dx;
可统称为最佳逼近问题
一. 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的， 它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同 ， 而在其他点上没有要求。在非插值节点上有时函数值 会相差很大。若要求在被插函数的定义区间上都有 较好的近似，就是最佳逼近问题。
必须找到一种度量标准来衡量什么是最佳逼近.
(n+1)pn+1(x)=(2n+1)xpn(x)-npn-1(x) (n=1,2,……) (*)
由p0(x)=1，p1(x)=x，利用 (*) 就可推出pn(x)的 表达式:
A
性质4. pn(x) 在区间[-1，1]内有n个不同的实零点。
A
§ 3.2 曲线拟合(最小二乘法)
一. 实例讲解
实例：考察某种纤维的强度y与其拉伸倍数x的关系，下表是 实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:
第三章 曲线拟合的最小二乘法 /函数平方逼近初步
§ 3.1 拟合与逼近问题
曲线拟合问题: (建立试验数据的模型)
在实际应用中，往往并不需要曲线通过给定的数据点， 而只要求用曲线(函数)近似代替给定的列表函数时，其 误差在某种度量意义下最小。
函数逼近问题: (连续函数的逼近)
在实际应用中常需为解析式子比较复杂的函数寻找一个 简单函数来近似代替它，并要求其误差在某种度量意义 下最小。
及加权内积
b
( f , g ) a ( x) f ( x)g ( x)dx,
( x )为 权 函 数 .
2 范 数 :f (f,f)1 2 (b(x )f2 (x )d x )1 2
2
a
定 理 3.1.1
设 0,1,2,L,nC[a,b],由 他 们 的 内 积 构 成 的
矩 阵 (称 Gram矩 阵 )
(3) ( u, v)= (u, v), K;
(4) (u+v, w)=(u, w)+(v, w), w X, 则 (u, v) 称为u 与 v 的内积; 而定义了内积的 线性空间 X 称为内积空间.
常采用的内积与范数
1 . 向 量 R n空 间 上 的 内 积 :
(
x
,
y)=
n
ixiyi
编 号 拉伸倍数 xi
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2Байду номын сангаас
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
构造出正交多项式序列
。
A
2.勒让德多项式 定义3 当区间为 [-1,1], 权函数 ρ(x) ≡1 时, 由
{1,x,…,xn ,…}正交化得到的多项式就称为勒让德 (Legendre) 多项式,并用 P0(x),P1(x)，…，Pn(x)，…
最佳逼近
最佳一致逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
mfa (x)x p (x)m in(*)
a x b
但由于绝对值函数不宜进行分析运算，常替之以
a b(x)(f(x ) p (x )2) d xmin
来讨论，于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 这即为连续函数的最佳平方逼近.
对于离散的问题，最佳平方逼近问题为:
A
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项 式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列
满足关系式:
则称为多项式序列
为在[a,b]上带权ρ(x)正交，
称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
A
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族 线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … }