2019版高考数学(理)一轮复习：简单的三角恒等变换含解析
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：4-4 三角恒
§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-B.C.-D.答案D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案C3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=.答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.答案-5.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015重庆,9,5分)若tanα=2tan,则=()A.1B.2C.3D.4答案C7.(2013重庆,9,5分)4cos50°-tan40°=()A. B.C. D.2-1答案C8.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.答案39.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为. 答案111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=. 答案-12.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.13.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案D2.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1教师用书专用(4)4.(2013浙江,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()答案C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018云南玉溪模拟,7)下列各式中,值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C. D.答案D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,8)(1+tan18°)(1+tan27°)的值是()A. B.C.2D.答案C3.(2016浙江杭州重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tanα=,则()A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案D考点二二倍角公式4.(2018天津实验中学模拟,6)已知sin2a=,则cos2=()A. B. C. D.答案A5.(2017江西抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=()答案D6.(2018江苏常州武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos80°,sin80°),则锐角α=.答案40°7.(2017湖南长沙一模,15)化简:=.答案2sinαB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018湖北咸宁重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tanβ=3,则sin2α=()A. B. C.-D.-答案C2.(2018湖南永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=()A. B. C. D.答案B3.(2018湖北八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案D4.(2017陕西榆林二模,8)若cos=,则cos的值为()A. B.-C. D.-答案A5.(2017湖南邵阳二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为()A.2B.C.2D.3答案A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018湖南五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos2α=sin,则tanα=. 答案7.(2017河北衡水中学第三次调研,14)若tanα+=,α∈,则sin+2coscos2α=. 答案0三、解答题(共10分)8.(2018湖北咸宁重点高中联考,17)已知f(x)=sin2x+cos2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈,f(θ)=,求sin2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin2θ=sin=sincos-cos·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1三角函数的化简与求值问题1.(2017湖北新联考四模,6)=()A. B. C. D.1答案A2.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tanα+tan=2tanαtan-2,则sin 等于()A.-B.C.-D.答案C3.(2018辽宁沈阳四校协作体联考,14)化简:-=.答案4方法2利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016北京东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是()A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案C5.(2018江苏南京联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017河北冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin2x+(sin x+cos x)·(sin x-cosx)=+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos2x0=cos=×+×=.。
专题20 三角恒等变形-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析
本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.高考模拟：一、单选题1中心是( )A. C.【答案】D【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关系求出g（x）的解析式，利用对称性进行求解即可．详解：f（x）=2sinxcosx+2cos2（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=2sin（+，将函数f（x）的图象向右平移g（x）的图象，即g（x）=2sin[2（x，由2x=kπ，k∈Z，得g（x）=，当k=1故答案为：D点睛: (1) 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键．2A. B. C. D.【答案】B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本3为（）A. C.【答案】B出的单调递减区间为定的最大值。
点睛：本题考查了求三角函数单调区间，辅助角公式的应用等。
熟练记忆正余弦函数的单调区间，掌握好求两个区间的交集运算。
4（）A.【答案】D再利用诱导公式、三角函数的奇偶性进行求解．点睛：1.“”而言；2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“为奇函数，”，再利用诱导公式进行合理转化．5）A. B.C. D.【答案】D详解：曲线C=C2故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数图像变换和三角恒等变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 三角恒等变换方法：观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.6）A. C. D.【答案】D.本题选择D选项.点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系，降幂公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7围是（）A. B.【答案】D数形结合求解．故选D．点睛：本题考查三角函数图象的画法和应用，解题时要注意分离参数方法的利用和函数图象中的特殊点的利用．8）A. C. D.【答案】D【解析】由题意，根据求导公式、法则，D.9）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D△ABC的形状..10）A. C. D.【答案】D，由已知有函数的图象关于直线对称，所以，其中D.11）A. B. C.【答案】AA.12．在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D13．已知直线的倾斜角为，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知有，故，故选B.点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”.14．如图，中，，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得,对应的图象应该是A.【点睛】本小题主要考查平面几何中的动点轨迹问题,考查三角函数作图方法.三角函数作图可采用五点作图法:先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.15( )A. -3B. 3 D.【答案】A故答案为：A.16．设，，且，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.【答案】A17．对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角．若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中．则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，由与的夹角，知，故，因为，所以，所以，所以，故选B.18．已知函数对任意都满足，则函数的最大值为A. 5B. 3C.D.【答案】C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数满足或，则函数图象关于直线对称；研究函数的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成的形式.19．已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，又，∴，则.故选：D20．已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题21___________．点睛：该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，诱导公式和倍角公式，正确使用公式是解题的关键.22．【答案】.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.23_____．24有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【解析】分析：先根据已知条件求出函数f(x)y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，再画图分析得到实数m的取值范围.y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，后面问题就迎刃而解了.处理零点问题常用数形结合分析解答.25．【解析】分析：根据条件，先把目标转化为二次齐次式，再利用商数关系“弦化切”代入正切值即可得到结果.故答案为：点睛：如果给的是正切值，求的是有关sin，cos的式子的值，往往把所求式转化为齐次式，利用商数关系弦化切即可.26．已知的内角分别为, ，，，且的内切圆面积为,则的最小值为__________．【答案】6【解析】又的内切圆面积为，则的内切圆半径，则的面积由余弦定理可得将代入整理得即解得（舍），即（当且仅当时取等号），故的最小值为6.即答案为6.27_______.【答案】点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式求最值，其中的取值需结合数值以及符号确定.28．已知，且，则的值为________．【答案】【解析】由题，且，，①两边平方可得，解得，，②∴联立①，②解得：，故答案为29．已知：，则的取值范围是__________．【答案】点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.30．在中，三个内角所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】∵，，且，∴，∴,∴．在中，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴∴．∴的取值范围为．答案：三、解答题31（1）求的最小正周期；（2【答案】（1）；（2【解析】分析：（1利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2.详解：（1（2点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的.32.（1）求函数的解析式；（2.【答案】【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，求出的值，写出的解析式；（2）由正弦、余弦定理求得的值，由此求出的取值范围，再求的取值范围．（2点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．33（I）求函数f (x)的最小正周期；（II）当x∈[0时，求函数f (x)的最大值和最小值.【答案】;(2)【解析】分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为II）利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的单调区间，由的范围结合函数的单调性，求得函数的最大值和最小值.点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.(1),则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.34．（本题满分14（Ⅰ）求函数的单调递增区间；、、的对边分别为、、是的中点，是直线上的动点，求的最小值．（Ⅱ）【解析】分析: (1)先化简函数f(x).（2，（Ⅱ）作C关于AB的对称点, 连点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.35（1）求函数的对称中心及最小正周期；（2.，且.【答案】(1)见解析【解析】分析：（1）（2）.详解：（1），最小正周期为（2，，点睛：解决函数（1（2看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．36（1）求角的大小；（2.【答案】（12【解析】分析：由二倍角正弦公式及诱导公式可得，进而得到角的大小；（2.（2由正弦函数的单调性可知，点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．本题易错点，锐角三角形隐含着对内角范围的限制.37(I)求函数的对称中心及最小正周期;(Ⅱ,.【答案】（I.【解析】分析：(I)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的对称性性可得到函数的对称中心；（Ⅱ）由求出的值，根据正弦定理确定的值，由，利用正弦定理可得.详解：（I,,，,,,.点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强. 解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.38．△．（1）求；（2【答案】（12）1【解析】分析：（1）由，从而由题意得到，故（2）由（1）△（2）由（1在△点睛：（1）解三角形时要结合条件合理的选择正弦定理或余弦定理求解，同时要注意在这一隐含条件的运用．（2）解三角形问题常与三角变换综合在一起考查，解题时要熟悉常用的变换公式，并根据题目要求将所给条件作出适当的变形．39函数图像的一条对称轴。
2019年高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 理
,
sin������sin������
=
-
1 15
,
所以 tan αtan
β=csoins
������sin ������ ������cos ������
=-14.
课前双基巩固
4.[教材改编] 已知 sin θ=35,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值
为
.
[答案] -2245
[解析] ∵sin θ=35,θ 为第二象限角,
1 + sin6 + 1-sin6 + 2 (1 + sin6)(1-sin6)= 2 + 2cos6= 2 + 2(2cos23-1)= 4cos23
=-2cos 3.
(2)f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)=1-1-cos
2(������ 2
+������)+12sin
5
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·山东卷] 已知 cos x=3,则 cos
4
2x= ( )
A.-1
B.1
4
4
C.-18
D.18
[答案] D [解析] 由二倍角公式得 cos 2x=2cos2x-1=2×196-1=18,故选 D.
教学参考
2.[2016·浙江卷] 已知 2cos2x+sin
课前双基巩固
知识聚焦
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α:sin 2α= 2sin αcos α
.
(2)公式 C2α:cos 2α=
cos2α-sin2α
2019年高考数学(理)考点一遍过 考点16 三角恒等变换含解析
考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=±（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； （3）异角化同角； （4）降幂或升幂．典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好.4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 求下列各式的值： （1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2的值为__________．典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A ．π4B ．π4- C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C【解析】因为tan 2(α−β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---, 所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1.又tan α=tan[(α−β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭, 又α∈(0,π),所以0<α<π4. 又π2<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=3π4-.故选C ． 【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.3．已知错误！未找到引用源。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：4.6 三角恒等变换
asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ), 其中 sin φ=
������ ������2 +������
2
,cos φ=
������ ������2 +������
2
.
-3-
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)y=3sin x+4cos x的最大值是7. ( )
π 5
=cos 2 ������ +
=1-2sin ������ +
2
π 5
=1-2×
3 3
2
= .故
3
关闭
1
-7解析
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
4.在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin 2α= .
关闭
由题意可知,r=|OP|= 5,sin α= ,cos α= , 则 cos2α+sin 2α=cos2α+2sin αcos α
4 .6
三角恒等变换
知识梳理
双基自测
1 2
1.公式的常见变形 (1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α-β)(1+tan αtan β) tan α-tan β=
1-cos2������ 2 (2)sin α= ; 2 1+cos2������ 2 cos α= 2 ; 1 sin αcos α= sin 2 ������
-2sin2 ������cos2 ������+2
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题20简单的三角恒等变换(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.高频考点一 三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1=_____________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124x －4cos 2x ＋2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2x －24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x .【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3B.2π3C.π6 D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.（2018年全国Ⅲ卷理数）若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】，故答案为B.2. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知，，则__________．【答案】3. （2018年浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.4. （2018年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A2.(2017·山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A.－14B.14C.－18D.18解析 因为cos x ＝34，所以cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 D3.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tanπ4＝16＋11－16＝75.答案 751.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= . 【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=2cos4=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin . 【答案】62【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【解析】1cos 2sin 223()1)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为 ]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos22cos222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 32f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】 （1） 23()sin sin 3cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭13133sin 2cos 2)sin 22sin(2)223x x x x x p =-+=--=--因此()f x 的最小正周期为p 23-.（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.（2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OAPA＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.（2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.（2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图15(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】60【解析】 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ， ∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.。
(山东专用)高考数学一轮复习专题22简单的三角恒等变换(含解析)
专题22简单的三角恒等变换一、【知识精讲】1．三角函数式的化简要依据“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．3.三角恒等变换综合应用的解题思路(1) 将f (x)化为sinx＋cosx的形式；a b(2) 构造f(x)＝a2＋b2a b2 2 ·sinx＋2 2·cos x；a ＋b a ＋b(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(此中φ为辅助角)；(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；(5)反思回顾，查察要点点、易错点和答题规范．二、【典例精练】π例1.（2019全国卷Ⅱ）已知a∈（0，2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）1 5A．5 B．53 2 5C．3D． 5【答案】B【分析】由2sin2cos2 1，得4sincos 2cos2 .0,π由于2，所以cos 2sin.cos2sinsin5由sin221，得5cos.应选B.例2.（2019江苏卷）已知tanπ2，则sin2π的值是.tan344【答案】210【分析】由tan2，得tan2，tan()3tantan3441 tan tan4所以tan(1 tan )2，解得tan2 或tan1 ．1 tan33当tan2时，sin21 2tan 4，cos21 tan2 3，tan 251 tan 25 sin(2) sin2 coscos2 sin 4 2 32 24 52 5210 .44当tan1 时，sin22tan 3，cos21 tan2 4，31 tan 251 tan2 5所以sin(2) sin2 cos cos2sin32 42 245 252.4410综上，sin(2)的值是 2．4 10例3.（2013浙江）已知R,sin2cos10 ，则tan22A ．4B．3C．3 D．43 443【答案】C【分析】由(sin2cos)2( 10)2，可得sin 24cos 24sin cos10，进一步整理可得2sin 2 cos 243tan 28tan30，解得tan 3 或tan1 ，3于是tan21 2tan 3．tan2 4例4.（2012山东）若,2 ，sin2 37，则sin4 8A．3B ．4C ．7D ．3 5 54 4【答案】D【分析】由，可得2 [ ,]，4 2 2cos2 1 sin2 2 1 ，sin 1 cos2 3 ，答案应选D。
2019版高考数学二十三3.5.2简单的三角恒等变换
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课时分层作业二十三简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简:= ( )A.sin2αB.tan2αC.sin2D.tan2【解析】选D.原式==tan2.2.(2018·沈阳模拟)化简= ( )A.1B.C.D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.原式====.3.(2016·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选 B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsinx+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.4.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+·tan αtan β=,则α,β的大小关系是( )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α【解析】选B.因为α是锐角且sin α-cos α=>0,所以sin α>cos α,即tan α>1,故α>,又因为tan α+tan β=(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==,故α+β=,所以α=-β>,故β<,所以β<<α.5.计算:= ()A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-·=·tan =-. 6.(2018·大连模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为 ( )A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,【解析】选C.因为f(x)=sin2x+sin x·cos x=+sin 2x=sin+.所以函数的最小正周期为T==π,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).取k=0得-≤x≤,故是f(x)的一个单调递增区间.7.(2018·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为,则f=A. B. C. D.【解析】选A.因为f(x)=2sin为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.又因为f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T=π,故ω=2.所以f(x)=2sin=2sin=2cos 2x.故f=2cos =.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·全国卷Ⅱ）函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为__________ .【解析】根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值为1,故f(x)的最大值为.答案:9.已知f(x)=2tan x-,则f=________.【解析】因为f(x)=2tan x-=2tan x+2·=+==,所以f===8.答案:810.计算:cos 20°cos40°cos60°cos80°＝________.【解析】原式=cos 20°cos 40°cos 80°=·=.答案:【变式备选】计算:cos ·cos · cos=________. 【解析】原式=-cos cos cos==-.答案:-1.(5分)已知f(x)=,当α∈时,式子f(sin 2α)-f(-sin 2α)可化简为( )A.2sin αB.-2cos αC.-2sin αD.2cos α【解析】选D.f(sin 2α)-f(-sin 2α)=-=-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|.由于α∈时,sin α<cos α<0,所以原式=cos α-sin α+sin α+cos α =2cos α.【误区警示】解答本题容易忽视根据α∈,判断sin α-cos α和sin α+cos α的符号,导致解题错误.2.(5分)函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)的图象关于点对称,则f(x)的单调递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.因为f(x)=2sin的图象关于点对称,所以2×+θ+=kπ(k∈Z),故θ=kπ-(k∈Z),又因为|θ|<,所以θ=,即f(x)=2sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k ∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ,故函数f(x)的增区间为(k∈Z).3.(5分)已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,那么sin(α+β)的值为________.【解析】将两等式的两边分别平方再相加得169+130sin(α+β)+25=306,所以sin(α+β)=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin 2x+a·cos 2x(a∈R).(1)若f=2,求a的值.(2)若f(x)在上单调递减,求f(x)的最大值.【解析】(1)因为f=sin +a·cos =2,所以+a·=2.故得:a=1.(2)由题意:f(x)=sin(2x+θ),其中tan θ=,所以函数的周期T=π,且-=,所以当x=时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f=sin=,所以sin=1,所以θ=+2kπ,k∈Z.所以tan θ==,所以a=3.故得f(x)=2sin.因此f(x)的最大值为2.5.(13分)(2018·青岛模拟)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ =90°,OP=2,点M在线段PQ上.若点N在线段MQ上,且∠MON =30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【解析】设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=·OM·ON·sin∠MON=×======.因为0°≤α≤60°,所以30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)取得最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.关闭Word文档返回原板块。
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课时分层作业二十三
简单的三角恒等变换
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.化简:= ( )
A.sin2α
B.tan2α
C.sin2
D.tan2
【解析】选D.原式==tan2.
2.(2018·沈阳模拟)化简= ( )
A.1
B.
C.
D.2
【解析】选C.原式=
===.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
选C.原式=
===.
3.(2016·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期
( )
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.
【解析】选B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,
其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.
4.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+·tan αtan β=,则α,β的大小关系是 ( )
A.α<<β
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
【解析】选B.因为α是锐角且sin α-cos α=>0,
所以sin α>cos α,即tan α>1,故α>,
又因为tan α+tan β=(1-tan αtan β),
所以tan(α+β)==,
故α+β=,。