“数值分析”中的三次样条插值实践教学探讨
(精品)数值分析课程设计-三次样条插值
《数值分析课程设计-三次样条插值》报告掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被逼近函数的近似。
三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。
以第1 边界条件为例，用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。
通过Matlab 编制三次样条函数的通用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。
引言分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。
三次样条函数的定义及特征定义：设[a,b] 上有插值节点，a＝x1＜x2<…xn＝b，对应函数值为y1,y2,⋯yn。
若函数S(x) 满足S(xj) ＝ yj （ j ＝ 1,2, ⋯,n ）， S(x) 在[xj,xj+1] （ j ＝1,2,⋯,n-1）上都是不高于三的多项式（为了与其对应j 从1 开始，在Matlab 中元素脚标从1 开始）。
当S(x) 在 [a,b] 具有二阶连续导数。
则称S(x) 为三次样条插值函数。
要求S(x) 只需在每个子区间[xj,xj+1] 上确定 1 个三次多项式，设为：Sj(x)＝ajx3＋bjx2＋cjx＋dj, (j＝1,2,⋯,n-1) (1)其中aj,bj,cj,dj 待定，并要使它满足：S(xj)＝yj, S(xj-0)=S(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (2)S'(xj-0)=S'(xj＋0), S"(xj-0)=S"(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (3)式(2)、(3)共给出n＋3(n-2)＝4n-6 个条件，需要待定4(n-1) 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
“数值分析”中的三次样条插值实践教学探讨
“数值分析”中的三次样条插值实践教学探讨作者：徐圣兵来源：《广东工业大学学报(社会科学版)》2009年第05期摘要：文章阐述了“数值分析”中的三次样条插值教学中加入实践教学环节的必要性，并通过具体实例介绍了作者在三次样条插值教学中进行了实践教学的尝试和探讨，旨在对今后的三次样条插值的教学起到一定的促进作用。
关键词：数值分析课程三次样条样条插值实践教学创新能力中图分类号：G642.0文献标识码：A高次多项式插值过程具有“龙格”现象和数值不稳定的缺点，而利用分段低次多项式，在分段处具有一定光滑性的样条插值过程有较好的稳定性和收敛性。
20世纪60年代中期，样条与计算机辅助几何设计相结合，在外形设计(汽车、飞机、船等)方面得到了成功的应用。
同时，样条理论研究亦逐步深入，后被作为函数逼近的有力工具。
针对有关文章中指出的数值分析教学中存在的问题，…笔者在广东工业大学应用数学学院的信息与计算科学(信息计算)专业班上尝试了“数值分析”课程中三次样条插值的实践教学探讨，在教学探索过程中有收获，有心得，也有困难和困惑，现给予阐述。
愿与同行交流，共同建立一个数值分析实践教学平台。
一、三次样条插值教学中存在的问题一是教材的三次样条理论性过强，教学与实际结合较少。
在传统的三次样条教学中，大多数教师只重视课堂教学，仅仅注重对三次样条理论知识的讲解，而很少开设或不开设上机实验，忽略了三次基本理论的应用和实践教学，结果导致三次样条学起来抽象难懂，从而抑制了学生的学习积极性，难于激发学生积极思考，影响了学生创新意识和创新能力的培养。
因此，在三次样条的教学中适当引入实践环节已成为当务之急。
二是上机实验过程单一。
由于三次样条涉及算法分析、程序设计及计算框图等，实验过程基本上都由教师安排和指定，学生对实验数据和实验结果往往只知其然、不知其所以然。
学生的积极性、创造性、主动性、灵活性得不到充分发挥，难以提高探索和获取样条知识的能力。
三是对案例教学中的数据缺乏背景了解。
详细讲解三次样条插值法及其实现方法
样条函数的定义 定义4.1 设区间[a,b]上给定一个节点划分
a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
x [xi , xi1], hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
(x) (2x 1)( x 1)2,1(x) x(x 1)2 13
对Si (x)求二阶导数 ,并整理后得
Si( x)
6( xi
xi 1 hi3
2x)
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续 可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处 的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0), i 1,, n 1
S(x)
y ( xxi i 0 hi
)
y ( ) m h ( xi1x i1 0 hi
( yn
yn 1 )
2 hn1
(mn1
2mn )
立即可得下式：
21
其中：
nm1 nmn1 2mn gn
n
h0
h0 hn1
, n
hn1 h0 hn1
1 n
gn
3 n
y1 y0 h0
n
yn
yn1 hn1
联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
2 1
1
1
2
三次样条插值方法的应用
CENTRAL SOUTH UNIVERSITY数值分析实验报告三次样条插值方法的应用一、问题背景分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。
样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。
下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。
二、数学模型样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。
设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<=Λ10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。
● )(b a C S ,2∈；● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。
则称S 为关于划分的三次样条函数。
常用的三次样条函数的边界条件有三种类型：● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。
● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。
● Ⅲ型 ()()Λ3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。
鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。
三、算法及流程按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB在矩阵运算上的优势。
三次样条插值方法在工程实践中的应用
三次样条插值方法在工程实践中的应用三次样条插值方法是一种常用的插值方法，特别适用于工程实践中需要对数据进行平滑、插值和逼近的场景。
该方法通过使用三次多项式来逼近任意两个数据点之间的曲线，具有较好的精度和稳定性。
下面将介绍三次样条插值方法在工程实践中的几个应用。
1.地形插值在地理信息系统（GIS）和地形建模中，常常需要对地形数据进行插值，以获得高度的连续表面。
三次样条插值可以通过一些已知的高程数据点，生成一个平滑的高程曲线，以此逼近整个地形表面。
这种方法可以用于绘制地图、地形模拟和水文建模等领域。
2.图像处理3.信号处理在信号处理中，常常需要对离散数据进行插值以获得连续的信号曲线。
三次样条插值可以通过已知的信号点来逼近信号曲线，从而实现信号的平滑和插值。
这种方法在音频处理和数字信号处理中有广泛应用，如声音采样、音频压缩和语音合成等。
4.金融工程在金融工程中，常常需要对市场数据进行插值以获得缺失数据点的估计值。
三次样条插值可以通过已知的市场数据点来逼近市场曲线，从而实现对缺失数据点的填充和估计。
这种方法在金融衍生品定价、风险管理和投资组合优化等领域中有广泛应用。
5.数值分析在数值分析中，三次样条插值被广泛用于数值积分和微分方程数值求解。
通过对已知函数进行三次样条插值，可以实现对函数积分和微分的近似计算。
这种方法在科学计算和工程仿真中有重要意义，如计算机辅助设计、数值模拟和结构优化等领域。
总之，三次样条插值方法在工程实践中有广泛应用，特别适用于需要对数据进行平滑、插值和逼近的场景。
它具有较好的精度和稳定性，能够满足工程实践的需求，并且易于实现和计算。
因此，在地形插值、图像处理、信号处理、金融工程和数值分析等领域中，三次样条插值方法被广泛采用。
数值分析课程设计--三次样条插值
《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。
二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。
(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。
(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。
三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月三次样条插值摘 要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
关于三次样条插值函数的学习报告
关于三次样条插值函数的学习报告三次样条插值函数是一种广泛应用于数值分析领域的插值方法，用于逼近一组已知数据点构成的函数。
在这篇学习报告中，我将介绍三次样条插值函数的定义、原理、应用及其优缺点，并通过实际例子说明其如何在实际问题中使用。
一、三次样条插值函数的定义三次样条插值函数是指用分段三次多项式对一组已知数据点进行插值的方法。
具体来说，对于已知数据点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，三次样条插值函数会在每相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，使得这些多项式在相应的数据点上满足插值条件，并且在相邻两个多项式之间满足一定的连续性条件。
二、三次样条插值函数的原理三次样条插值函数的原理是利用三次多项式在每个数据点上的取值和导数值来确定三次多项式的系数，从而构造出满足插值条件和连续性条件的插值函数。
具体来说，对于每个相邻的数据点$(x_i,y_i),(x_{i+1},y_{i+1})$，我们可以构造一个三次多项式$S_i(x)$，满足以下条件：1.$S_i(x_i)=y_i$，$S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$，即在数据点上满足插值条件；2.$S_i'(x_{i+1})=S_{i+1}'(x_{i+1})$，$S_i''(x_{i+1})=S_{i+1}''(x_{i+1})$，即在数据点上满足连续性条件。
通过求解上述条件，可以得到每个相邻数据点之间的三次多项式$S_i(x)$，从而得到整个插值函数。
三、三次样条插值函数的应用三次样条插值函数在数值分析领域有广泛的应用，尤其在曲线拟合、数据逼近等问题中起到重要作用。
例如，当我们需要根据已知的离散数据点绘制平滑的曲线图形时，可以使用三次样条插值函数来进行插值，从而得到更加连续和光滑的曲线。
另外，在信号处理、图像处理等领域也常常会用到三次样条插值函数。
例如，在数字图像处理中，我们需要对像素点进行插值以得到更高分辨率的图像，三次样条插值函数可以很好地满足这个需求，使图像更加清晰和真实。
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性、 主动性、 灵活性得不到充分发挥 ， 难以提高探索 和 获取样 条 知识 的能力 。
三是 对案 例教 学 中的数 据缺乏 背 景 了解 。虽 然 在个 别教 材 中 ， 添加 了三次样 条实 际应 用案 例 ， 但仅 靠课 堂讲 授和上 机 实验是 无法 让学 生对 案例 中 的实
“ 数值 分 析 ＂ 中的 三次 样 条 插值 实践 教 学 探 讨 木
徐 圣 兵
（ 广东工业大学应用数学学 院 ， 广东 广州 ， １０６ ５０ ０ ） 摘 要： 文章 阐述 了“ 数值 分析” 中的三次样条插值教学 中加入 实践教 学环 节的必要性 ， 通过具体 实例介绍 了作 并 者在 三次样条插值教 学中进行 了实践教 学的尝试和探 讨 ， 旨在对今后 的三次样条插 值 的教 学起到一定 的
等方面要符合培养 目标的要求 ， 要和相关课程相匹 配 。实践 教学是 专 业 教学 的重 要 组 成部 分 ， 培养 是
学生 自学 、 独立 分析 问 题 和 解 决 问题 能 力 的 主要 手 段 ， 实践性 较 强课程 的一 种重 要教 学手段 。 是
环 节 已成为 当务 之急 。
一
二 、实 践 教 学
针 对 上述 问题 ， 了培 养学 生 自主分 析 问题 、 为 解
、
三次样 条插值教 学 中存在 的 问题
决 问题 的 能力 ， 发 学生学 习三次样 条插 值 的兴趣 ， 激 加 深他 们对 三次 样 条 知识 的理 解 和认 识 ， 文提 出 本
了在三 次样 条教 学 中加 入 实践教 学环 节 的想法 。 实 践教 学 的含 义包 括 实验 、 习 、 会 实 践 、 实 社 课
验数据有一个很好的数据理解 ， 最终也使案例教学
演 变成 解 三次样 条 习题 。
入， 后被 作 为 函数 逼 近 的有 力工 具 。针对 有 关 文 章 中指 出的数值 分析 教 学 中存 在 的 问题 ， 笔 者 在 广 …
这些 现 状 造 成 了学 生 对 三 次 样 条 学 习 兴 趣 不 高， 不重 视 三次样 条上 机实 验 、 注重 其算 法 的编程 不 实 现 知 。为 了改 变 上述 状况 ， 我们 尝试 了三次样 条插值 实 践教 学 。
促进作用。
关键词 ：数值分析课程 三次样条
中 图分 类 号 ： ４ ． Ｇ６ ２０
样条插值 实践教 学
文 献标 识码 ： Ａ
创 新能力
高 次多 项 式 插 值 过程 具 有 “ 格 ” 龙 现象 和 数 值 不稳 定 的缺点 ， 而利 用分段 低 次多项 式 ， 在分 段处 具 有一 定光 滑性 的样条 插值 过程 有较好 的稳 定 性和 收 敛性 。２ Ｏ世纪 ６ ０年代 中期 ， 条 与 计 算 机 辅 助 几 样 何 设计 相结 合 ， 外形 设计 （ 在 汽车 、 飞机 、 等 ） 面 船 方
一
是 教材 的三 次 样 条 理论 性 过 强 ， 学 与 实 际 教
结合较少 。在传统 的三次样条教学 中， 大多数教师 只重视课 堂教 学 ， 仅仅 注 重 对 三 次样 条 理 论 知 识 的 讲解 ， 而很 少开设 或 不开设 上 机实验 ， 略 了三次基 忽
本理 论 的应 用 和实 践 教 学 ， 果 导致 三 次 样 条 学起 结
二 是上机 实验 过程单 一 。 由于三次 样条 涉及 算
我 们这里 所 说 的实 践 教 学 ， 指将 某一 门或 几 是 门课 程 所要 学 习的新 知 识 或综 合 知识 （ 合其 它 方 结 面 的知识 ） 隐含在 一 个或 几 个 社会 实 践 教学 过 程 之 中。学生 通过 对在社会 实 践过程 中所 遇 到 的问题 进
来抽 象难懂 ， 而抑 制 了学 生 的学 习积极 性 ， 于激 从 难 发学生 积极 思考 ， 响 了学 生 创 新 意识 和创 新 能 力 影 的培养 。因此 ， 三 次样 条 的教 学 中适 当 引入 实 践 在
程设 计 、 学年论 文 、 毕业论 文 （ 设计 ） ， 同类 型 的 等 不 实践 教学 环节 在教 学计划 中的地 位 、 序 、 间分 配 顺 时
法 分析 、 程序设 计及 计算 框 图等 ， 实验过 程基 本上 都 由教 师安 排和指 定 ， 生 对 实 验数 据 和 实 验 结 果往 学
往只知其然 、 不知其所 以然。学生 的积极 性、 创造
收 稿 日期 ：０ ８１７１ ２０ ．２３
￥本文为广东工业大学高教研究基金项 目“ 数值分析课程 实验驱 动教 学理论 与实践研 究“ 的论文之 一， 目编号：０ ８ ３ 。 项 ２ ０ Ｆ １
作者简介 ： 圣兵（９ ４ ） 男 ， 家族 ， 师， 士； 徐 １７ 一 ， 土 讲 硕 主要研 究方 向ｉ 数据分析 与数据挖掘。
８ ５
教 学改革 ：
“ 数值分析” 中的三次样条插值实践教学探讨
行分析 、 论 ， 讨 明确其大体涉及 哪些知识 ， 并找 出哪些 是 旧知识 ， 哪些是新知识 ， 在老师 的指导 、 助下找 出 帮 解 决问题 的方 法 。从 而将 枯燥 的学 知识 过 程转 变 为 主动吸收知识 的实践 过程 ， 有利 于学 生理解 和掌握所 学 知识 ， 培养学生解决 问题的能力和创新 能力 。
第 ９卷 增 刊
２０ ０ ９年 ６月
广 东工 业大 学学报（ 社会科学版 ）
Ｊ ｕ ｎｌｏ ａ ｇ ｏ ｇＵｎｖｒｉ ｆ ｅｌ ｌｇ Ｓ ｃａ ｃｅｃｓＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｄ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｅ ｙ Ｔ ｍｏｏｙ（ｏ ｉｌ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ Ｓ ｉ
Ｖｏ ． ｐ ． １ ９ Ｓｕ ｐ１ Ｊ ．０９ ｕｎ ２ ０
东工业大学应用数学学院的信息与计算科学 （ 信息 计算 ） 专业班上尝试 了“ 数值分析” 课程 中三次样条 插值 的实 践教学 探讨 ， 在教 学探 索过 程 中有 收获 ， 有 心得 ， 也有 困 难 和 困惑 ， 给 予 阐述 。愿 与 同行 交 现
流 ， 同建 立一个 数值 分析 实践 教学 平 台 。 共