数值分析第三章习题
数值分析第四版习及答案
Yn
Yn1
1 100
783
( n=1,2,…)
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
8.
当 N 充分大时,怎样求
N
1
1 x2
dx
24.
将
f
(x)
sin
1 2
x 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
第四版 数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ ,求ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
x1* 1.1021, x2* 0.031, x3* 385.6, x4* 56.430, x5* 71.0.
19
25
31
38
44
xi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
yi
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
x2 C 0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果.
22. f (x) x 在 1,1 上,求在 1 span 1, x2, x4 上的最佳平方逼近.
(完整版)数值分析答案第三章习题
解：（1）建立假设 H0 ： 0.973
n=100, x 2.62 ,s=0.06
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
u x 0 ~ N (0,1)
s/ n
（3）给定 0.05 ，查得 u 1.96 ，使
2
p u u
2
（4）由样本计算，
x 62.24，s*2 404.77，问这天保险丝融化时间
分散度与通常有无明显差异（ 1%）？假定融
化时间是正态母体。
解：（1）建立假设H0： 2 02 400
（2）在H
成立前提下，构造统计量
0
2
（n
1）s*2
02
~
2 (n 1)
（3）给定显著水平 0.01，查得
20.00（5 24） 45.559， 20.99（5 24） 9.886，使
：
2
2 0
1.62
s* 2.296
（2）在 H0 成立的前提下，构造统计量
2 (n 1)s* ~ 2 (n 1) 0
（3）给定 0.05 ，查得
2 (5) 14.49
2
1 2 (5) 1.237 2
（4）由样本计算，
2
6 2.296 2 1.62
12.355
2 (6) 14.49
确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为
26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，
23.4
试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时
间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分
布，取 0.05 ）？
解：
x1 ~ (20.8,1.62 ) x2 ~ (, 22 )
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析第三章习题
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差 • 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
误差
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026… 就是舍入误差。 上述种种误差都会影响计算结果的准确 性，因此需要了解与研究误差，在数值计算 中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它 们的传播与积累作出分析
二、误差、有效数字 定义 1 绝对误差，简称误差：
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
e* x * x, 其中x * 为准确值x的近似值.
误差限： * | e* | 的一个上界.
例如，毫米尺 765 x 0.5
相对误差：
e * 或e* e * . , r x* x * * | e 相对误差限： r r | 的一个上界.
* er
例如， x 10 1, y 1000 5.
截断误差
• 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。