数值分析第六章 插值法
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
数值分析 插值法
图形见图2-3. 称 lk ( x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数，
11
图2-3
12
பைடு நூலகம் 2.
n次插值多项式
根据插值的定义 Ln ( x) 应满足
Ln ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
为构造 Ln ( x)， 先定义 n 次插值基函数.
13
定义1 若 n 次多项式 L j ( x ) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
L1 ( xk 1 ) yk 1.
8
其几何意义就是通过两点( xk , yk ), ( xk 1 , yk 1 ) 的直线. 如图2-2.
图2-2
9
由 L1 ( x) 的几何意义可得到表达式
L1 ( x ) y k y k 1 y k ( x xk ) xk 1 xk
5
因为线性方程组的系数行列式
1 1 . . 1 xn ...
n xn
x0 x1
... ...
n x0 n x1
0
所以线性方程组 的解存在且唯一。
6
定理1
在次数不超过 n 的多项式集合 H n 中，满足条
件的
插值多项式 L ( x) H是存在唯一的. n n
7
2.3
1. 线性插值
拉格朗日插值
y
k 0
n
k
l k ( x ).
Ln ( x j ) yk lk ( x j ) y j
( j 0,1, , n).
称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式 而线性插值与抛物线插值是 n=1 和 n=2 的特殊情形
若引入记号
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
第六章 插值法
的近似值． 7 的近似值．
解 插值条件为 y (4) = 2, y (9) = 3, y (16) = 4
(7 − 9)(7 −16) (7 − 4)(7 −16) (7 − 4)(7 − 9) 7 ≈ y2 (7) = ×2+ ×3 + ×4 (4 − 9)(4 −16) (9 − 4)(9 −16) (16 − 4)(16 − 9) 3 81 2 = + − = 2.6285714 5 35 7
定义6.1 设f(x)在[a,b]上有定义 相异的点 i, i=0,1,2,…,n, 都在 上有定义,相异的点 都在[a,b] 定义 在 上有定义 相异的点x 上，不妨设
a ≤ x0 < x1 < L< xn ≤ b
又设f(x 为 在这些点上的准确值， 又设 i)为f(x)在这些点上的准确值，若存在一个多项式 在这些点上的准确值 若存在一个多项式y(x)，使 ，
第六章 插值法
插值法在数值分析这门课程中是最基础，且应用最广泛的知识． 插值法在数值分析这门课程中是最基础，且应用最广泛的知识． 在工程应用中对于函数 y =f (x)常常不能得到一个具体的解析表达 常常不能得到一个具体的解析表达 它可能是通过实验、 式，它可能是通过实验、测量或者中间计算而得到的一组数据 (xi,f(xi)) i=0,1,2,…,n，或者虽然有函数 =f (x)的解析表达式，但其 的解析表达式， ，或者虽然有函数y 的解析表达式 关系式相当复杂，不便于计算和使用． 关系式相当复杂，不便于计算和使用．因此我们需要用一个比较 简单的函数 y = y(x) 来近似代替数据, ,或近似代替函数 =f (x) ,使 来近似代替数据 或近似代替函数y 使 或近似代替函数
y2(xi ) = f (xi )
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
第六章数值分析——插值法
0, 所以(6.3)成立
当xxi时，作辅助函数
(t ) Rn (t )
Rn ( x )
n 1 ( x )
n 1 (t )
显然(t)在[a,b]上n+1阶可导,且
数学与统计学院
(x)= (xi) =0 i=0,1,2,…n.即(x)有n+2个零点.根据Roll定理, 在每两个零点之间至少有一个 ’(t)的零点.即’(t)至少有 n+1个零点.类似地反复利用Roll定理,得: ’’(t)至少有n个零 点…. (n+1)(t)至少有1个零点.即至少存在一点 (a, b) 使
……
n 阶差商
f [x0, x1 , x2] …… …… f [xn2, xn1, xn] f [xn1, xn, xn+1]
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1] f [x0, …, xn+1]
由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。
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6.2.2 牛顿插值公式
f ( n1) ( ) n1 ( x). 进而 Rn ( x) (n 1)!
数学与统计学院 注意: 由于是未知的,f(x)是未知的或是复杂的,所以,公式(6.5) 不能直接使用.但是若有
f ( n 1) ( x) M , x [a, b]
则有
M Rn ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) , x [a, b] (n 1)!
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6.1.2
插值多项式的余项
定义6.1 在插值区间[a,b]上 Rn(x)=f(x)-Pn(x) 称Rn(x)为插值多项式的余项或差值误差. 记 n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 则有下面插值余项的估计定理. 定理6.2 设f(x)在[a,b]上有n+1阶导数,则
数值分析 插值法
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
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y 115 p(115 ) 10.714
拉格朗日插值多项式
两个插值点可求出一次插值多项式,而三
个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1
的问题就归结为求它的系数 a i(i=0,1,2,…,n )。
由插值条件: p(xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n),可得
an x0 n an1 x0 n1 a1 x0 a0 f (x0 ) an x1n an1 x1n1 a1 x1 a0 f (x1 ) an xn n an1 xn n1 a1 xn a0 f (xn )
第六章 插值法
§ 6.1 引言 问题的提出 – 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1 ,, xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值
P(x) an x n an1 x n1 a1x a0
满足
P(x) an x n an1 x n1 a1x a0 P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
l0 (x) l1 (x) 1
lk ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l0 (x) 与 l1(x) 称为线性插值基函数。且有
lk (x)
1 j0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x xj , xk x j
jk
k 0,1
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
(x
x0 )
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 (x)
x x0 x1 x0
这是一次函 数,且有性质
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0 l1 (x0 ) 0 , l1 (x1 ) 1
p(x) l0 (x) y0 l1 (x) y1
例6.1 已知 100 10 , 121 11 , 求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值
p(x) x 121 10 x 100 11
100 121
121 100
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1,来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种 程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(6.1)其结
果都是相互恒等的。
1 x0 x02 x0n
1
V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
插值函数 (x) 在n+1个互异插值节点 x i (i=0,1,…,n )
处与 f (xi ) 相等,在其它点x就用 (x) 的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换 句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用 (x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希 望 (x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由 于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所 以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多 项式。
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点的值，x0 x1 y0 f (x0 ), y1 f (x1)
,现要求用线性函数 p(x) ax b 近似地代替f(x)。选
择参数a和b, 使 p(xi ) f (xi )(i 0,1)。称这样的线性函数 P(x)为f(x)的线性插值函数 。
线性插值的几何意义:用 通过点 A(x0 , f (x0 )) 和 B(x1, f (x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
y y=P(x) y=f(x)
y1 x0 x1
yn xn x
定理6.1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0
是函数 y f (x) 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 xi (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x)
j0
1 xn xn2 xnn
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆
（Gramer）法则，方程组的解 a0 , a1 ,, an
存在惟一，从而P(x)被惟一确定。
§6.3 拉格朗日（Lagrange）插值
为了构造满足插值条件 p(xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。（ 线性插值与抛物插值） （1）线性插值
为已知 f (x0 ), f (x1),, f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个
f(x)的近似函数 (x),满足
(xi ) f (xi ) (i 1, 2, , n)
(6.1)
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点
xi为插值节点, 称(6.1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= f (x) (x) 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值