数值计算方法第05章插值法
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
数据插值方法
的两个零点恰好是插值结点x1，x2，故二次函数l0(x)可表示为
l0 ( x) = c( x − x1 )( x − x 2 )
而l0(x)在x0处的值为 1。所以
c = 1 /( x0 − x1 )( x0 − x 2 )
l0(x)
l1(x)
l2(x)
即
l0 ( x)
=
(x (x0
− −
x1 )( x − x 2 ) x1 )( x0 − x 2
− −
x1 )(x − x2 ) x1 )(x0 − x2 )
y0
+
(x ( x1
− −
x0 x0
)(x − x2 ) )(x1 − x2 )
y1
+
(x (x2
− −
x0 x0
)(x − x1 ) )(x2 − x1 )
y2
（5.5）
在插值结点处，三个基函数的基为表 5.1 所示。将三个插值结点的值分别代入式（5.5），有
∫ 例 5.2
利用误差函数 Erf (x) =
2 π
x 0
e
−t
2
dt
在
x
0
=
0, x1
= 0.5, x2
= 1.0 三个点处的
85
值 y0 = 0, y1 = 0.5205, y2 = 0.8427 构造二次插值函数。
解 先写出三个基函数的表达式
l0 (x) = 2(x − 0.5)(x −1)
插值函数图形如下图
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
图 5.2
84
数值计算方法-插值法
a≤x≤b
10
拉格朗日插值
插值多项式的存在性与惟一性
插值多项式的存在性与惟一性
定理 在 n + 1 个互异节点 xi 上满足插值条件
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
代数插值问题
y
y = f (x) y = Pn(x)
x0 x1
xn
x
图 1: 代数插值
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
数值计算方法
插值法
张晓平 2019 年 11 月 4 日
武汉大学数学与统计学院
Table of contents
1. 简介 2. 拉格朗日插值 3. 分段低次插值 4. 差商与牛顿插值多项式 5. 差分与等距节点插值
1
简介
简介
• 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部 给定的离散数据点。
定义 : 插值余项 称
Rn(x) = f (x) − Pn(x) 为插值多项式的余项，表示用 Pn(x) 去近似 f (x) 的截断误差。
10
代数插值问题
在 [a, b] 上用 Pn(x) 近似 f (x)，除了在插值节点 xi 处 Pn(xi) = f (xi) 外， 在其余点处有误差
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
计算方法讲义课件 五 插值
第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。
插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。
5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。
常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。
多项式求值方便，且有导数。
称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。
用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。
设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。
得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。
该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。
当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。
5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。
线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。
几何解释就是一条直线。
由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。
数值计算方法第05章插值法
拉格朗日Lagrange插值 牛顿Newton插值 分段线性差值 埃尔米特Hermite插值 样条插值
1
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
26
➢ 二次插值多项式
n = 2 L2( x) l0( x) f ( x0 ) l1( x) f ( x1 ) l2( x) f ( x2 )
l0( x)
xi x0 x1 x2
2次多项式 1 0 0
l0( x)
( x x1 ) ( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
8
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数 f(x)的一些样点值，选定一个便于计算的函数形 式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等， 要求它通过已知样点，由此确定函数f'(x)作为 f(x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定 近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样
点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏 差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。
一次
二次
三次 15
➢ 三个基本问题
插值多项式n(x)是否存在唯一？ 若n(x)存在, 截断误差 f (x)－n(x)=? 如何求n(x)？
16
➢ 插值多项式n(x)的存在唯一性
n 次多项式n(x)有(n+1)个待定系数ai (i=0, 1, 2, …, n), 插值条件 n(xi)= f (xi)= yi (i=0, 1, 2, …, n)也是
伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿 Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了 不同的解决方法。
数值计算方法插值法
f[x1,x2,x3] …
f[x0,x1,x2 ,x3]
例阶2.1差1商求值f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各
解xi :
计算得如下表 f[xi] f[xi,xi+1]
f[xi,xi+1,xi+2 ]
f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
00
28
80 4 20
27 8 19 19 4 5
an x0 n an1x0 n1 a1x0 a0 f (x0 )
an x1n
an1
x n1 1
a1x1 a0
f (x1 )
an xn n an1xn n1 a1xn a0 f (xn )
这是惟一一个性关说于明待，定不参论数用何种方法来构a造的0，,n+也a11阶不, 线论性用, 方何an种形式来表示插值多项式,
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , (x x0 )(x x1 ),, (x x0 )(x x1 )(x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
f[x0 , x1]=
f(x1)- f(x0) x1 – x0
f[x1 , x0]
f(x0)- f(x1) =
x0 – x1
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x0 , x2 , x1
性质3 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多项式, 则 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多项式
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n( x0 ) a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0
n
(
x1
)
a0
a1 x1
a2 x12
an x1n
y1
n( xn ) a0 a1 xn a2 xn2 an xnn yn
17
1 x0 x02 x0n a0 f ( x0 )
一次
二次
三次 15
➢ 三个基本问题
插值多项式n(x)是否存在唯一？ 若n(x)存在, 截断误差 f (x)－n(x)=? 如何求n(x)？
16
➢ 插值多项式n(x)的存在唯一性
n 次多项式n(x)有(n+1)个待定系数ai (i=0, 1, 2, …, n), 插值条件 n(xi)= f (xi)= yi (i=0, 1, 2, …, n)也是
表2.1.1 刹车距离实验数据
v 20 25 30 35 40 45 50
d 42 56 73.5 91.5 116 142.5 173
v 55 60 65 70 75 80
d 209.5 248 292.5 343 401 464
插值法是一种古老的数学方法。早在1000 多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值 和二次插值的实例。
伟大的数学家：拉格朗日（Lagrange）、牛顿 Newton）、埃尔米特（Hermite）等人分别给出了 不同的解决方法。
生产实践中常常出现这样的问题：给出一批 离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑 曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映 在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻 求它的分析表达式。因为由函数的表格形式 不能直接得出表中未列点处的函数值，也不 便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有 表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进 行理论分析，也需要构造一个简单函数来近 似它。
即
1
x1
x12
x1n
a1
f
(
x1
)
1 1
x2
xn
x22
xn2
x2n
假设车长为15英尺，根据这条法则可以得到如图1.1.2 所示的图形，它表明该法则允许的距离间隔和速率成比例， 即 d kv 。其中为比例常数
k 15英尺 90 10mph 88
图1.1.2 “2秒法则”的几何解释
下面给出一组经测试得到关于刹车距离与速度的 的较为理想的实验数据，如表1.1.1所示。要想了解刹 车的距离与车速的关系，试建立适当的数学模型，预 测车辆的总停止距离d（英尺）关于速度v（英里/小时） 的函数，检验2秒法则与驾驶规则是否一致，并尝试寻 找更好的驾驶规则。
第五章 插值法
拉格朗日Lagrange插值 牛顿Newton插值 分段线性差值 埃尔米特Hermite插值 样条插值
1
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
8
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数 f(x)的一些样点值，选定一个便于计算的函数形 式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等， 要求它通过已知样点，由此确定函数f'(x)作为 f(x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定 近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样
点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏 差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。
选取次数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得
Pn (xj) = yj (j = 0, 1… n)
本(2.章1.2主) 要讨论的内 容
插值问题
插值法
插值函数
➢ 为什么需要插值?
函数表达式复杂, 不便于计算和进行理论分析; 没有函数表达式, 只给出离散样点.
找简单函数近似, 即函数逼近. 函数逼近常用方法: 插值法, 曲线拟合法. 插值法: 多项式插值, 三角多项式插值.
二、插值问题的定义
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区间
a,b上一系列节点 x0 , x1,xm 处测得函数值
y0 f x0 ,ym f xm ,由此构造一个简单易算的
近似函数 g(x) f(x)，满足条件
g xj yj j 0,1,m(2.1.1)
这个问题称为“插值问题”
这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 节点 x0 … xm称为插值节点, 条件（2.1.1)称为插值条件，
区间 a, b称为插值区间。
如果利用g(x)来求f(x) 在y点 的近似值，则称y为插值点。
插值函数的类型有很多种
最常用的插值函数是 代…数? 多项式
用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即
(2) 满足插值条件
n( xi ) f ( xi ) yi (i 0,1,n).
n(x): 插值多项式
xi : 插值节点
[a, b]: 插值区间
14
几何意义: n次多项式插值就是过 (n+1)个点
(xi, f (xi)) (i=0, 1, …, n), 作一条多项式曲线 y= n(x)
近似曲线 y=f(x).
13
§1 Lagrange插值
已知函数 f (x)在区间 [a, b]上 (n+1) 个不同点
x0, x1, x2, …, xn 处的函数值 yi= f (xi) (i=0, 1, 2,…, n),
求函数n(x), 使其满足
(1) n(x)为至多n次多项式，即
n( x) a0 a1x a2 x2 an xn
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。