数值计算方法-插值法54页PPT
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计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
数值分析第五章插值法精品PPT课件
证明 R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i ) 0 ,
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
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15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
数值分析第六章插值法PPT学习教案
l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3 (x)
11 x3 45 x 2 1 x 1
4
4
2
为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
Ln (x)
n k 0
yk
n
i0 ik
x xi xk xi
第16页/共81页
例6.5 已知f(x)的观测数据 x 1234
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
第13页/共81页
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值,
7
用抛物插值公式, (x–x1)(x–x2)
(x–x0)(x–x2)
p2(x) =
y0
+
y1
求
(x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1)
(x1–x0)(x1–x2)
+
第4页/共81页
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1, 来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种 程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(6.1)其结
果都是相互恒等的。
1 x0 x02 x0n
1 V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
n
P(x) lk (x) yk k 0
（6.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（6.8）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
计算方法课件_插值法
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
计 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常 算 称为代数插值法。其几何意义如下图所示 方 法 课 件 y=p(x)
y=f(x)
2016/12/27
算 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 , l0 ( x2 ) 0 方 法 这个问题容易求解。由上式的后两个条件知 : 课 件 x1 , x 2 是 l0 ( x) 的两个零点。于是
1 再由另一条件 l0 ( x0 ) 1 确定系数 c ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x1 )(x x2 ) 从而导出 l0 ( x) ( x0 x1 )(jkhh x0 x 2 ) 2016/12/27 14
直接由插值条件决定，
y
计 即 a0 , a1 , a 2 满足下面 y0 算 的代数方程组： 方 O x0 法 课 2 a a x a x 0 1 0 2 0 y0 件 该三元一
y=L2(x) y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
2 a a x a x 0 1 1 2 1 y1 2 a a x a x 2 2 y2 0 1 2
(i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 近似地代替f(x)。选
x1 的值， f(x)在两个互异的点 x0 ， y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
,现要求用线性函数 p( x) ax b 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1) P(x) 为f(x)的线性插值函数 2016/12/27 jkhh 。
数值计算方法三次样条插值演示文稿
第14页，共68页。
三次样条插值
对于待定系数a j ,bj , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数， 而插值条件为4n 2个，还缺两个，因此须给出两个 条件称为边界条件，有以下三类： 第一类 已知两端点的一阶导数
s( s(
x0 xn
) )
f (x0 ) m0 f (xn ) mn
第12页，共68页。
4.4.2 三次样条插值
定义 设函数f (x)是区间[a,b]上的二次连续可微函数， 在区间[a，b]上给出一个划分
：a x0 x1 ... xn1 xn b 如果函数s( x)满足条件
（1）s(x j ) f (x j ) ( j 0,1,2,...n); (2) 在每个小区间[x j1, x j ]( j 1,2,..., n)上s(x)是不超过
Mi 2!
( xi 1
xi )2
M i1 3!
Mi
( xi 1
xi )2
解得
s(xi )
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
(1)
第18页，共68页。
三次样条插值
同理在[xi1, xi ]上讨论得
s(xi )
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6 M i1)(xi
第21页，共68页。
三次样条插值
第一类边界条件：s(x0 ) f (x0 ) s(xn ) f (xn )
(1) 式中令i 0得
s(x0 )
y1 x1
y0 x0
(1 6
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数值计算方法-插值法
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
Байду номын сангаас
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
Байду номын сангаас
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非