样条插值ppt(1) 下载
合集下载
第三章 插值法 三次样条插值
问题
分段低次插值
在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越多越好。
最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。
分段低次插值
基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。
具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间；
(2) 在每个小区间上作低次插值多项式；
(3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。
优点：公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性…
缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。
三次样条函数
样条函数
由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。
最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。
定义设节点a =x 0< x 1 < …< x n -1 < x n =b ，若函数
在每个小区间[x i , x i +1 ]上是三次多项式，则称其为三次样条函数。
如果同时满足s (x i ) = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，则称s (x ) 为f (x ) 在[a , b ]上的三次样条函数。
],[)(2b a C x s ∈
利用线性插值公式，即可得的表达式：
求导得：
即：
：第一类边界条件（缺省边界条件）。
样条插值
1.5
1
0.5
0
越大，称为 Runge 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
高次插值要慎用，一般采用分段低次插值
分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间[ xi , xi 1 ] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) P1 ( x ) x x i 1 x xi yi y i 1 x i x i 1 x i 1 x i
for x [ xi , xi 1 ]
一致
记 h max| xi 1 xi | ，易证：当 h 0 时，P1h ( x ) f ( x)
WuHan University
高次Hermite插值在许多场合中看不中用! •提高Hermite插值多项式的次数就要增加约束条件 ——给出插值结点处被插函数及其直到足够高阶 导数之值. •作为约束条件的所有数据都是通过观测得到的,而 观测总难免有误差. 于是 高次插值不仅增添了数据准备和计算的困 难,也将导致更大的误差.
5.3 样条插值
前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总 以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度 越好，但实际并非如此，次数越高，计 算量越大，也不一定收敛。
例：在[5, 5]上考察 f ( x )
2.5
1 1 x2
的Ln(x)。取 xi 5 10 i (i 0, ... , n)
记 lj
1 j n 1
即：有n+1 个未知数， n1 个方程。
m1
插值逼近 样条函数解读 PPT
20 输出u, v
分段插值函数
I1 ( x)
I ( x)
I 2 ( x)
I
n
(
x)
x (x0 , x1)
x (x1, x2 ) ...... x (xn1, xn )
其中I j
x xj x j1 x j
y j1
x x j1 x j x j1
zi1
hi 1 3
zi
yi hi
1 1
yi hi 1
(9)
利用Si' (ti )＝Si' -1(ti )，得到
hi zi1 2(hi hi1)zi
hi
zi1
6 hi
(
yi1
yi
)
6 hi 1
(
yi
yi1)
(10)
其中i 1,2,...n -（1 内节点）.
zi 1 6hi
(
x
ti
)3
C(
x
ti
)
D(ti
1
x)
(6)
这里，C 和D是积分常数
由插值条件 Si (ti ) yi 以及 Si (ti 1) yi 1 可以确定C和 D
Si (x)
zi 6hi
(ti
1
x)3
zi 1 6hi
(x
ti )3
(
yi 1 hi
x=linspace(0,2.25,10); y=sqrt(x); xx=linspace(0,2.25,100);yy = spline(x,y,xx);
样条插值
数值分析
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条插值
M j 1
j 1
, j 1, , n 1,
jM
其中
j
2M
jM
d j, ,d
j
j 1, , n 1, 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ].
h j 1 h j 1 h j
, j
hj h j 1 h j
解：这里 n 2，区间 [ 1,1]分为 [ 1，]， ，]两个子区间 0 [0 1 S (x) a x 3 b x 2 c x d , x [ 1, 0 ] 0 0 0 0 0 并设： S ( x ) 3 2 S 1 ( x ) a 1 x b1 x c 1 x d 1 , x [ 0 ,1] S 0 ( 1 ) 1, S 0 ( 0 ) 0 ： S 1 ( 0 ) 0 , S 1 (1) 1 a 0 b0 c 0 1 d 0 0 可得： d1 0 a b c 1 1 1 1
hj 6
M j
hj 3
M j 1
y j 1 y j hj
,
h j 1 6
M j 1 M j
j
h j 1 3 hj 6
M j
y j y j 1 h j 1 y j y j 1 h j 1
. y j 1 y j hj
h j 1 h j 3
j 1
S ( xi 0) S ( xi 0) S ( x i 0 ) S ( x i 0 ) S ( x 0 ) S ( x 0 ) i i
i 1, 2 , , n 1
共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另 增加4n3(n1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条 插值。例如 分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0<x1<… < xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S (x)使其满足：
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
样条插值
Hermite： 给出 yi 及 yi ’，选 hi(x) 及 hi(x) 。
Spline：分段低次, 自身光滑, f 的导数只在边界给出。
§5 Cubic Spline
Lab 11. Cubic Spline
Construct the cubic spline interpolant S for the function f, defined at points x0 x1 ... xn , satisfying some given boundary conditions. Partition an given interval into m equal-length subintervals, and approximate the function values at the endpoints of these subintervals. Input
§5 Cubic Spline
Output ( represents a space)
For each test case, you are supposed to output the following information: 1. The set of coefficients of S(x) in the format:
这时： ; m n 0 , gn 2 y l0 0 , g0 2 y0 n 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边条件 /* periodic boundary */ ： m M g 2 l 当 f 为周期函数时，
记 lj
Spline：分段低次, 自身光滑, f 的导数只在边界给出。
§5 Cubic Spline
Lab 11. Cubic Spline
Construct the cubic spline interpolant S for the function f, defined at points x0 x1 ... xn , satisfying some given boundary conditions. Partition an given interval into m equal-length subintervals, and approximate the function values at the endpoints of these subintervals. Input
§5 Cubic Spline
Output ( represents a space)
For each test case, you are supposed to output the following information: 1. The set of coefficients of S(x) in the format:
这时： ; m n 0 , gn 2 y l0 0 , g0 2 y0 n 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边条件 /* periodic boundary */ ： m M g 2 l 当 f 为周期函数时，
记 lj
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。
第二章 插值与拟合
这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连 接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而 得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi , xi+1上的表达 式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工 作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构 造方法。
定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）
(1)如果 f ( x) 是定义在[a,b] 上函数且已知 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ; (2)给定边界条件 (a（) 或（b）或（c）），则 f ( x) 于 [a,b] 存在 唯一3次样条插值函数S( x),且满足 (a（) 或（b）或（c））。
若(1)中三次样条函数 S( x) 还满足插值条件：
S( xi ) f ( xi ), (i 0,1,, n)
(2.42)
称 S( x) 为 f ( x) 关于剖分 的三次样条插值函数。
第二章 插值与拟合
提出问题：
3次样条插值函数 S( x) 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？
问题的提法：给定数据表
x
x0
x1 …
xn
f x f0
f1
…
fn
构造3次样条函数 S ,x满 足插值条件
S xi fi , i 0,1, ,n.
(2.42)
构造方法：
S(x)应具有如下形式
第二章 插值与拟合
S0 x,
S
x
S1
x
,
x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;
并且满足条件(2.42)和
(a)S( x) C 2a, b，即具有连续的一阶，二阶导数。
b S( x) 在每一个小区间 [x j , x j1] j 0,1, n 1 上是次数 3
多项式。
则称 S( x)为关于剖分 的一个3次样条函数。
（2）设给定 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)
样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学 上加以概括就得到数学样条这一概念。
第二章 插值与拟合
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation
Lagrange
二、样条函数的定义
第二章 插值与拟合
定义 2.8 （三次样条函数） (1) 设有对[a,b]的剖分 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S( x) 满足下述条件：
三次样条插值
三次样条插值函数的概念 三弯矩算法 三转角算法 三次样条插值函数的误差估计
总结
三次样条插值
学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求 三次样条插值函数，进行误差分析。
第二章 插值与拟合
三次样条插值函数的概念
一、背景
L-插值（牛顿插值）
Hermite插值
高次插值出现龙格现象
分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑
第二章 插值与拟合
推导方法： 1、先确定插值函数S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j ,
j 0,1,, n, 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2、先确定插值函数S( x) 在节点处的二阶导数，记为S( x j ) M j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。
x
Sj1( x
j j
) )
Sj(xj Sj ( x j
) )
S
j1
(
x
j
)
Sj(
x
j
)
j 1,,n 1
(2.43)
S和S′, S’’ 在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而
(2.43)给出了3(n-1) 个条件；
第二章 插值与拟合
②已有条件： S( x j ) f ( x j ), ( j 0,1,, n) (2.42)
提供了n+1个独立条件; 共有4n 2个条件,要唯一确定S( x) ,还必须附加2个条件 (边界条件)。 ③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:
(a) S x0 f x0 M0 , Sxn f xn Mn , (2.44)
（简支边界，导致三弯矩关系式, M 关系式）, 特别地, M0 Mn 0,(自然边界,三次自然样条);
S(x) S j (x) aj bj x cj x2 d j x3, x [ x j , x j1], ( j 0,1,,n 1)
4n个待定系数: {a j },{bj },{c j },{d j }, j 0,1,,n 1
从而S(x)共须4n个独立条件确定 .
①内部条件：
S
j
1
(
(b) S x0 f x0 m0 , Sxn f xn mn , (2.45)
(固支边界,导致三转角关系式, m关系式).
第二章 插值与拟合
(c)第3种边界条件（周期边界条件）： y f (x) 为周期函数，
要求 S( x) 亦是周期函数，周期为 b a ，即取
S (k) ( x0 ) S (k ) ( xn ), (k 0,1,2). 此时称 S( x) 为周期样条函数。
Si x C3 xi , xi1 .
Si1 Si1
xi xi
Si Si
xi xi
, ,
Si1 xi Si xi ,
i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1[ x j , x j1] 上是分段3次多项式，即为
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到）
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例：
1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。
第二章 插值与拟合
数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属 条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方 让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样 条曲线.
第二章 插值与拟合
这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连 接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而 得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi , xi+1上的表达 式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工 作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构 造方法。
定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）
(1)如果 f ( x) 是定义在[a,b] 上函数且已知 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ; (2)给定边界条件 (a（) 或（b）或（c）），则 f ( x) 于 [a,b] 存在 唯一3次样条插值函数S( x),且满足 (a（) 或（b）或（c））。
若(1)中三次样条函数 S( x) 还满足插值条件：
S( xi ) f ( xi ), (i 0,1,, n)
(2.42)
称 S( x) 为 f ( x) 关于剖分 的三次样条插值函数。
第二章 插值与拟合
提出问题：
3次样条插值函数 S( x) 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？
问题的提法：给定数据表
x
x0
x1 …
xn
f x f0
f1
…
fn
构造3次样条函数 S ,x满 足插值条件
S xi fi , i 0,1, ,n.
(2.42)
构造方法：
S(x)应具有如下形式
第二章 插值与拟合
S0 x,
S
x
S1
x
,
x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;
并且满足条件(2.42)和
(a)S( x) C 2a, b，即具有连续的一阶，二阶导数。
b S( x) 在每一个小区间 [x j , x j1] j 0,1, n 1 上是次数 3
多项式。
则称 S( x)为关于剖分 的一个3次样条函数。
（2）设给定 y f (x) 函数表 ( xi , f ( xi )), (i 0,1,, n)
样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成， 在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学 上加以概括就得到数学样条这一概念。
第二章 插值与拟合
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation
Lagrange
二、样条函数的定义
第二章 插值与拟合
定义 2.8 （三次样条函数） (1) 设有对[a,b]的剖分 : a x0 x1 xn b, 如果函数 S( x) 满足下述条件：
三次样条插值
三次样条插值函数的概念 三弯矩算法 三转角算法 三次样条插值函数的误差估计
总结
三次样条插值
学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求 三次样条插值函数，进行误差分析。
第二章 插值与拟合
三次样条插值函数的概念
一、背景
L-插值（牛顿插值）
Hermite插值
高次插值出现龙格现象
分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑
第二章 插值与拟合
推导方法： 1、先确定插值函数S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j ,
j 0,1,, n, 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2、先确定插值函数S( x) 在节点处的二阶导数，记为S( x j ) M j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。
x
Sj1( x
j j
) )
Sj(xj Sj ( x j
) )
S
j1
(
x
j
)
Sj(
x
j
)
j 1,,n 1
(2.43)
S和S′, S’’ 在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而
(2.43)给出了3(n-1) 个条件；
第二章 插值与拟合
②已有条件： S( x j ) f ( x j ), ( j 0,1,, n) (2.42)
提供了n+1个独立条件; 共有4n 2个条件,要唯一确定S( x) ,还必须附加2个条件 (边界条件)。 ③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:
(a) S x0 f x0 M0 , Sxn f xn Mn , (2.44)
（简支边界，导致三弯矩关系式, M 关系式）, 特别地, M0 Mn 0,(自然边界,三次自然样条);
S(x) S j (x) aj bj x cj x2 d j x3, x [ x j , x j1], ( j 0,1,,n 1)
4n个待定系数: {a j },{bj },{c j },{d j }, j 0,1,,n 1
从而S(x)共须4n个独立条件确定 .
①内部条件：
S
j
1
(
(b) S x0 f x0 m0 , Sxn f xn mn , (2.45)
(固支边界,导致三转角关系式, m关系式).
第二章 插值与拟合
(c)第3种边界条件（周期边界条件）： y f (x) 为周期函数，
要求 S( x) 亦是周期函数，周期为 b a ，即取
S (k) ( x0 ) S (k ) ( xn ), (k 0,1,2). 此时称 S( x) 为周期样条函数。
Si x C3 xi , xi1 .
Si1 Si1
xi xi
Si Si
xi xi
, ,
Si1 xi Si xi ,
i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1, i 1, 2, , n 1[ x j , x j1] 上是分段3次多项式，即为
分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到）
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例：
1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。
第二章 插值与拟合
数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属 条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方 让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样 条曲线.