第五章 三次样条插值Spline.
平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）
平滑算法：三次样条插值（CubicSplineInterpolation）感谢强⼤的google翻译。
我从中认识到了航位推算dead reckoning，⽴⽅体样条Cubic Splines 算法。
我单独查找了 Cubic Splines ，⾥⾯的原理简单说明：Cubic Splines 认为在 x 在[a, b]区间中，y对应是⼀条平滑的曲线，所以 y = f(x); 的⼀阶导函数和⼆阶导函数是平滑连续可导的。
拟定⽤三次⽅程，所以得出了⼀般的三次⽅程和⼀阶导数⽅程和⼆阶导数⽅程。
然后求各个分部的解。
这是三次样条的基本原理。
但⽂中最开始的链接中所得出的x = At3 + Bt2 + Ct + Dy = Et3 + Ft3 + Gt + Ht是percent（0~1）区间值，如果还有三维向量，我理解是同样的展开。
然后通过四个位置点来求出 A B C D … 各分部参数的值A = x3 – 3x2 +3x1 – x0B = 3x2 – 6x1 + 3x0C = 3x1 – 3x0D = x0E = y3 – 3y2 +3y1 – y0F = 3y2 – 6y1 + 3y0G = 3y1 – 3y0H = y0…相同分量展开。
（如果有Z 分量的话）学艺不精，⽆法从现有姿势推出这个分量求解过程。
实时运动游戏是通过预测其他玩家的位置来表现的，当服务器有新的输⼊的时候，本地玩家会发现其他玩家位置或状态发⽣⼀次跳变（瞬移）。
有两种思路，⼀、预测未来1. 通过当前位置和速度，通过预测未来精度（1s或者0.5s）推测出未来位置.2. 得出公式参数，通过dt来平滑当前运动轨迹。
⼆、延迟渲染1. 通过延迟渲染参数（延迟1s，0.5s来）来获得其他玩家的过去状态位置。
2. 得出公式参数，通过dt来平滑运动轨迹。
上述两种⽅案1. 如果参数⼀致，速度不改，则运动轨迹跟预测⼀致，如果玩家输⼊多变，则永远不会是真实的位置。
2. 看到的玩家的过去位置，移动轨迹跟⽬标玩家运动轨迹基本保持⼀致。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条插值
yi1 hi
yi
hi 6
Mi1 Mi
(3.2)
Cubic Spline
由 S(x) 在内结点处一阶导数连续，即
Si( xi 0) Si1( xi 0), i 1, 2,L , n 1
可得关于参数 M j 的方程组，即三弯矩方程的形式为
其中
i Mi1 2Mi i Mi1 i , i 1, 2,L , n 1
f
n
mn .
（II类）
（3）周期边界条件
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
（III 类）
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
hi 1 (i 0,1, 2)
i i
i
i
0
1
6
1 12
12
-3
2 12
12
36
31
-78
得方程组 2 1 0 0 M0 6
1 2
0 0
2 12 0
12 2 1
0 12 2
M1 M2 M3
3 36 78
Cubic Spline
解得
M0
28 3
28 M1 3
106 M2 3
② 计算 Mi (追赶法等) ;
③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ;
④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
例 由函数表
Cubic Spline
j
0
1
2
3
xj
0
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在Matlab中，可以使用内置的spline函数来实现三次样条插值。
以下是一个简单的示例代码：
matlab.
% 创建一些示例数据点。
x = 1:5;
y = [3 6 5 8 9];
% 使用spline函数进行三次样条插值。
xx = 1:0.1:5;
yy = spline(x, y, xx);
% 绘制原始数据点和插值结果。
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
legend('原始数据', '插值结果');
在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y。
然后使用spline函数对这些数据点进行三次样条插值，得到了插值结果xx和yy。
最后，我们使用plot函数将原始数据点和插值结果进行了可视化展示。
需要注意的是，样条插值是一种较为复杂的数值计算方法，需要对输入数据进行适当的处理和理解。
在实际应用中，可能需要根据具体情况对插值方法进行调整和优化，以获得更好的结果。
希望这个简单的示例能够帮助你理解如何在Matlab中实现三次样条插值。
如果你有更多的问题或者需要进一步的解释，请随时告诉我。
样条插值
Spline：分段低次, 自身光滑, f 的导数只在边界给出。
§5 Cubic Spline
Lab 11. Cubic Spline
Construct the cubic spline interpolant S for the function f, defined at points x0 x1 ... xn , satisfying some given boundary conditions. Partition an given interval into m equal-length subintervals, and approximate the function values at the endpoints of these subintervals. Input
§5 Cubic Spline
Output ( represents a space)
For each test case, you are supposed to output the following information: 1. The set of coefficients of S(x) in the format:
这时： ; m n 0 , gn 2 y l0 0 , g0 2 y0 n 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边条件 /* periodic boundary */ ： m M g 2 l 当 f 为周期函数时，
记 lj
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x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
,n
这是三次样条插值函数的表达式,当求出Mi 后, S(x)就完全确定.
为了求 Mi ,需要利用S(x)在内结点处一阶导数连续的条件, 由上式可得
( xi x )2 ( x xi 1 )2 yi yi 1 hi S ( x ) M i 1 Mi M i M i 1 (3.2) 2hi 2hi hi 6
§3 三次样条插值
背景 代数插值 Hermite插值
/* Cubic Spline Interpolation */
高次插值出现龙格现象
分段插值 在节点处不一定光滑
分段Hermite插值 导数值不容易得到
三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 应用最为广泛
Lagrange插 值
Cubic Spline
利用插值条件
S ( xi 1 ) yi 1 , S ( xi ) yi
定出积分常数,可以得到
( xi x ) 3 ( x x i 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi 6hi 6hi yi 1 M i 1hi 6 hi yi M i hi ( xi x ) 6 hi (3.1) ( x xi 1 )
x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,
,n
S ( x ) M i 1
( xi x ) ( x xi 1 ) yi yi 1 h Mi M i M i 1 i (3.2) 2hi 2hi hi 6
2 2
Cubic Spline
f(x) H( x ) S( x )
Cubic Spline
三次样条插值函数 S(x) 是否存在唯一? 如何计算？误差估计？ 三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间 [ x i , x i 1] 上可以写成
S( x) ai x3 bi x 2 ci x di , i 0,1, , n 1,
由式(3.2)有
2 2 ( x x ) ( x x ) y yi 1 h i i 1 S ( xi ) M i 1 i Mi i i M i M i 1 i 2hi 2hi hi 6
共有 4n 个待定参数。S(x) 在[a, b]上二阶导数连续，故在内 结点 xi (i 1, 2, , n -1) 处应满足连续性条件
S
k
xi 0 S k ( xi 0),
k 0,1, 2,
共有 3(n-1) 个条件。再加上 n+1 个插值条件，共有4n-2 个 条件。因此，还需要2个条件才能确定S(x)。通常在区间 端点 a = x0 和 b = xn 上各加一个条件（称为边界条件）， 可根据实际问题的要求给定。
S ( x ) x xi x x i 1 M i 1 Mi , hi hi
其中 hi = xi – xi-1 . 对S (x) 积分两次得
( xi x )3 ( x xi 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi C1 x C2 6hi 6hi
如：汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）
木样条的来源
样条是绘图员用于描绘光滑曲线的由一些易弯曲材料制成的 窄条。在绘制需要通过某点的光滑曲线时 ,对它在这些点的位置 上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点。“样 条函数”意在点出这种函数的图像与机械样条画出的曲线很像。
Cubic Spline
三次样条插值问题
定义 设 a x0 x1 ... xn b 。三次样条函数 S( x) C
2
[a, b]
,
且在每个[ xi , xi 1 ]上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同
时还满足 S( xi ) f ( xi ), (i 0,1, , n) ，则称 S(x) 为 f(x) 在结点 xi ( i = 0, 1, …, n) 上的三次样条插值函数 . 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
Cubic Spline
常用边界条件 /* boundary conditions */
. S( x0 ) f0 M0 , S ( xn ) f n
（I 类）
其特殊情况为
S ( x0 ) 0, S ( xn ) 0,
（自由边界）
对应的样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */.
（2）已知两端的一阶导数值，即 mn . S( x0 ) f0 m0 , S( xn ) fn （3）周期边界条件
（II类）
（III 类）
S k ( x0 ) S k ( xn ), k 0,1, 2.
此时，对函数值有周期条件 f ( x0 ) f ( xn ).
Cubic Spline由边界条件唯一确定。
定理 三次样条插值问题的解存在且唯一。
Cubic Spline
三弯矩法
/* method of bending moment */
三次样条插值函数 S(x) 可以有多种表达式，有时用二阶 导数值 S( xi ) Mi (i 0,1, , n) 表示时，使用更方便。Mi 在 力学上解释为细梁在 xi 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两 个弯矩有关，故称用 Mi 表示 S(x) 的算法称为三弯矩法。 由于S(x) 在区间 [ xi 1 , xi ] (i 1, 2, , n) 上是3 次多项式, 故 S (x) 在 [ xi 1 , xi ]上是 1 次多项式, 可表示为