数值分析第二章 插值法
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析第五版第二章_插值法
于是
Ak
1
(x
j 0 j k
n
k
xj)
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 j k n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 j k
k
xj)
称
l k ( x) 为关于基点
x i 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) P( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
容易看出,P(x)满足条件
( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 的抛物线 y P( x) 近似代替曲线
y f ( x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0 , a1 , a 2
直接由插值条件决定， 即
y
a0 , a1 , a2满足下面
O
y=L2(x) y0 x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
( x x0 )(x x1 ) l 2 ( x) ( x2 x0 )(x2 x1 )
这样构造出来的 l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x) 称为抛物插值的基函数 取已知数据 y0 , y1 , y 2 作为线性组合系数,将基函数
l0 ( x),l1 ( x),l2 ( x) 线性组合可得
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
数值分析_第二章_插值法
１ x０
x２ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－ １ ０
…… ………
V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ） ＝
１
xn－ ２
x２ n－ ２
…
xn－ １ n－ ２
１
xn－ １
x２ n－ １
…
xn－ １ n－ １
∏ ＝
（ xi － xj ） ．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－ １
故 知 V n （ x） ＝ V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ）（ x － x０ ）（ x － x１ ） … （ x －
＝ R截 ＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋ １ ） ＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０ ．５４ （０ ．６
－ －
０ ０
．４）（０ ．４）（０
．５４ － ０ ．５） ．６ － ０ ．５）
× （ － ０ ．５１０８２６） ≈ － ０ ．６１５３２０ ．
４畅 解
由题设知 ０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋ １
－
xi
＝
（
１ ６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７ ，
x
∈
［１ ，２］ ，
－
１９ ２
x３
＋ ６７ x２
－
２９３ ２
x
＋
１０５ ，
x
∈
（２ ，３］ ．
四 、习题
１畅 根据范德蒙行列式的定义 ，令
V n （ x） ＝ V n （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ，x）
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
Ch2插值法
Ch2. 插值法§1. 插值问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义 设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。
若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证 令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
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在有些情况下，虽然可以写出函数 f ( x ) 的解析表达式， 但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况， 总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造 某个简单函数 P( x ) 作为 f ( x ) 的近似。
插值法是解决这类问题的一种比较古老，然而却是目前 常用的方法，它不仅直接广泛应用于生产实际和科学研究 中，而且也是进一步学习数值分析计算方法的基础。
y L1(x)的几何意义就是通过两点（xk , yk )与（xk1, yk1)的直线，
如上图所示，L（1 x）的表达式可由几何意义直接给出：
y
y L1(x)
Байду номын сангаас
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x xk 1
L1 (x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )
L1 (x)
xk1 x xk1 xk
lk1 (x)是二次函数，且在节点上满足： lk1 (xk1 ) 1.lk1 (x j ) 0. （j=k-1,k)
lk (xk ) 1.lk (x j ) 0
(j=k-1,k+1)
lk1 (xk1 ) 1.lk1 (x j ) 0 (j=k,k+1)
满足条件（8）的插值基函数是容易求出的。例如lk1 (x).有两个零点xk1 xk .故可表示为：lk1 (x) A(x xk1 )(x xk )其中A为待定系数，由条件 lk1 (xk1 ) 1可得：
pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
（2）
使 pn (xi ) yi
其中 a0a1 an 为变数
xi , yi意义同前
（3）
满足插值条件（3）的多项式（2）称为函数 f(x)在节点 xi（i=0，1
…n ）处的n次插值多项式。 求函数 f(x) 的n次插值多项式的几何意义是：
a0a1 an 得到。但这样做不但计算复杂，而且难于得到
P(x)的简单表达式。为求得便于使用的简单插值多项式 p(x)，我们
先讨论n=1的情形。
假定已知区间 xk , xk1 的端点处的函数值 yk f (xk ), yk1 f (xk1)
要求线性插值多项式 L1 (x)。满足： L1 (xk ) yk , L1 (xk1 ) yk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
（点斜式） （两点式）
由两点式可看出， L1 (x)是由两个线性函数
lk (x)
x xk1 xk xk 1
lk1 (x)
x xk xk 1 xk
（6）
的线性组合得到的。其系数分别为 yk 及yk1,即：
L1 (x) yk lk (x) yk1lk1 (x)
1 x0 x02 x0n
1 vn (x0 , x1,xn )
x1
x12
x1n
1 xn xn2 xnn
（5）
不为零，式中 vn (x0 , x1 xn )称为范德蒙（Vandermonde)行列式。
利用行列式性质可得：
n i1
vn (x0, x1xn )
(xi x j )
i1 j0
通过曲线y=f(x)上的n+1个点（ xi , yi ）（i=0,1…n）作一条n次代数
曲线y= pn(x)作为曲线 y= f(x)的近似。如下图。
y
y0 y1
0 a x0 x1
yn
xn b x
设p(x)是形如（2）的插值多项式，用 Hn 代表所有次数不超过n的
多项式集合，于是p(x) Hn ，所谓插值多项式p(x)存在唯一，就是
（7）
lk
(
x),l
k
1
(
x)也是线性插值多项式，在节点xk
及xk
上满足条件：
1
lk (x) 1.lk (xk1 ) 0, lk1 (xk ) 0, lk1 (xk1 ) 1.
我们称函数lk (x)及lk1 (x)为线性插值基函数。见下图：
y 1
lk (x)
0
xk
xk 1 x
y 1
lk1 (x) 0 xk
xk 1
x
下面讨论n 2的情形。
假定插值节点为xk1, xk , xk1,要求二次插值多项式L（2 xi ) yi (i k 1, k,
k 1)
几何上y L2 (x)就是通过三点（xk1, yk1 ).(xk , yk ),(xk1, yx1 )的抛物线。
为了求出L2的表达式，可采用基函数方法，此时基函数lk1 (x),lk (x)及
插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数 p(x)逼近f(x)的效果就不同。而它的选择主要取决 于使用需要。常用的代数多项式、三角多项式和有 理函数等。
当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式 插值。本章讨论的即为此类问题。
在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：
求一个次数不超过n的代数多项式：
指在集合H n中有且只有一个p(x)满足（3）。由（3）得：
a0 a0
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
an x0n an x1n
y0 y1
(4)
a0
a1xn
a2
x
2 n
an xnn
yn
这是一个关于a0a1 an的n+1元线性方程组。
要证明插值多项式存在且唯一，只要证明方程组（4）存在唯一的解， 也就是证明方程组（4）的系数行列式
设 y f (x)在区间 [a,b] 上连续，且在 n 1个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为 y0 , y1, , yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中，求一简单函数 P(x),使 P(xi ) yi (i 0,1,L , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P(x)作为 f (x) 的近似。
由于 i j 时 xi x j，故所有因子 xi x j 0 ，于是 vn (x0 , x1,xn ) 0
故方程组（4）存在唯一的一组解 a0 , a1 an. 由此有结论： 定理1： 若节点 x0、x1xn 互不相同，则满足插值条件（3）的n
次插值多项式（2）存在且唯一。
由定理1的证明可见，要求插值多项式 p(x)，可以通过求方程 组（4）的解:
在生产和科研中出现的函数是多种多样的，常遇到这样的
情况：在某个实际问题中，虽可断定所考虑的函数 f (x) 在区间 [a , b ]上存在且连续，但却难以找到它们的解析表达式，只能通 过实验和观测得到在这有限个点上的函数值（即一张函数表)来 分析函数 f (x ) 的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值可 能是十分困难的。