《数值分析》第五章 插值法
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数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
第五章插值法PPT课件
三、几何意义、
四、多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题 – 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; – 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； – 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值（代数插
值）
特别的取 = Pn span 1, x, x2,, xn , 即
Pn (x) (x) a0 a1x a2x2 anxn, ai R, 0 i n
求得 V n(x0,x1, ,xn) (xixj) 0jin
由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于 是Vn(x0,x1,…,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，
方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯
一的。
证毕
六、插值余项
引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至
(xi
) n i0
。
若函数族 中的函数(x) 满足条件
(xi ) f (xi ), i 0,1,, n
（1）
则称 ( x)
为
f
(x)
在
中关于节点
xi
n i0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi
n i0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
n
n
若记 n1(x) ，(x则x有i)
n1(x，k)从而(xk xi)
i0
lk(x)(xxkn) 1(n'x)1(xk)
i0,ik
3.插值基函数的性质
第五章插值法
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点
上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。
本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
返回
第5章 插值法
前进
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预
测2019年该地区的人口数量 。利用插值方法就可以解决
这一类问题。
另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于
复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函
数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
如在积分
I
b
f (x)dx
中，当f (x)很复杂，要计算
a
积分I是很困难的，构造都要用到插值逼近。
返回代数插值第5章 插值法
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函
上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。
本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
返回
第5章 插值法
前进
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
六十年期间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预
测2019年该地区的人口数量 。利用插值方法就可以解决
这一类问题。
另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于
复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函
数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
如在积分
I
b
f (x)dx
中，当f (x)很复杂，要计算
a
积分I是很困难的，构造都要用到插值逼近。
返回代数插值第5章 插值法
前进
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
数值分析(15)样条插值
数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？ 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程 边界条件（补充两个方程） 封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件， 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 （1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).
数值分析 插值法
图形见图2-3. 称 lk ( x) 及 lk 1 ( x) 为线性插值基函数，
11
图2-3
12
பைடு நூலகம் 2.
n次插值多项式
根据插值的定义 Ln ( x) 应满足
Ln ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
为构造 Ln ( x)， 先定义 n 次插值基函数.
13
定义1 若 n 次多项式 L j ( x ) ( j 0,1, , n) 在 n 1 个节点
L1 ( xk 1 ) yk 1.
8
其几何意义就是通过两点( xk , yk ), ( xk 1 , yk 1 ) 的直线. 如图2-2.
图2-2
9
由 L1 ( x) 的几何意义可得到表达式
L1 ( x ) y k y k 1 y k ( x xk ) xk 1 xk
5
因为线性方程组的系数行列式
1 1 . . 1 xn ...
n xn
x0 x1
... ...
n x0 n x1
0
所以线性方程组 的解存在且唯一。
6
定理1
在次数不超过 n 的多项式集合 H n 中，满足条
件的
插值多项式 L ( x) H是存在唯一的. n n
7
2.3
1. 线性插值
拉格朗日插值
y
k 0
n
k
l k ( x ).
Ln ( x j ) yk lk ( x j ) y j
( j 0,1, , n).
称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式 而线性插值与抛物线插值是 n=1 和 n=2 的特殊情形
若引入记号
第5章插值法3
[ x0 , x2 ] 内至少存在一点 ，使
( 4) ( ) f ( 4) ( ) k ( x)4! 0 ，
所以
f ( 4) ( ) k ( x) . 4!
f ( 4) ( ) R( x) f ( x) P3 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 2 ( x x2 ) ， 4!
构造函数
(t ) f (t ) P3 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 ) 2 (t x2 ) ，
显然， ( x) 0, ( x0 ) 0, ( x1 ) 0, ( x2 ) 0 ，且 x1 为
(t ) 的二重零点（共5个零点），反复应用Rolle定理可知， (t ) 在 [ x0 , x2 ] 内至少有4个互异的零点，…， ( 4) (t ) 在
~ Q( x) H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) 为次数不超过 2n 1 的多项式，且满足条件 Q( xi ) 0, Q( xi ) 0, i 0,1,, n. 这说明 x xi (i 0,1,, n) 都是 Q ( x) 的二重零点，即 Q( x) 共有 2n 2 个零点，故 Q( x) 0 ，即 ~ H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) .
(t ) f (t ) H 2n1 (t ) k ( x) [ (t xi )]2 ，
易知 ( xi ) ( xi ) 0, (i 0,1,, n) 且 ( x) 0 (有 2n 3 个零点）. 而由对 f ( x) 的假设及 H 2 n 2 ( x) 知， (t ) 具有 2n 2 阶导数.对 (t )反复应用Rolle定理，可知在 ( a, b) 内至
x
( 4) ( ) f ( 4) ( ) k ( x)4! 0 ，
所以
f ( 4) ( ) k ( x) . 4!
f ( 4) ( ) R( x) f ( x) P3 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 2 ( x x2 ) ， 4!
构造函数
(t ) f (t ) P3 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 ) 2 (t x2 ) ，
显然， ( x) 0, ( x0 ) 0, ( x1 ) 0, ( x2 ) 0 ，且 x1 为
(t ) 的二重零点（共5个零点），反复应用Rolle定理可知， (t ) 在 [ x0 , x2 ] 内至少有4个互异的零点，…， ( 4) (t ) 在
~ Q( x) H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) 为次数不超过 2n 1 的多项式，且满足条件 Q( xi ) 0, Q( xi ) 0, i 0,1,, n. 这说明 x xi (i 0,1,, n) 都是 Q ( x) 的二重零点，即 Q( x) 共有 2n 2 个零点，故 Q( x) 0 ，即 ~ H 2n1 ( x) H 2n1 ( x) .
(t ) f (t ) H 2n1 (t ) k ( x) [ (t xi )]2 ，
易知 ( xi ) ( xi ) 0, (i 0,1,, n) 且 ( x) 0 (有 2n 3 个零点）. 而由对 f ( x) 的假设及 H 2 n 2 ( x) 知， (t ) 具有 2n 2 阶导数.对 (t )反复应用Rolle定理，可知在 ( a, b) 内至
x
数值分析中的(插值法)
与其他方法的结合
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
感谢观看
多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
THANKS
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
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问题的提出
函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代
替它，使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,…,n) 这类问题称为插值问题。函数p(x)称为插值函数。
x0,x1,… xn称为插值节点，简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区间。
p(xi)= yi 称为插值条件。 求插值函数的方法称为插值法。
12
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商表
1.1 差商
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]
x0 x1
f(x0) f(x1)
f[x0,x1]
x2 f(x2) f[x1,x2]
x3 f(x3) f[x2,x3] …… …
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3] …
aa00
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
y0 y1
a0
a1 x2
a2 x22
y2
7
本章内容
§1不等距节点下的牛顿基本差商公式 §2 等距节点下的牛顿基本差商公式 §3 不等距节点下的拉格朗日插值公式 §4 等距节点下的拉格朗日插值公式 §5 插值公式的唯一性及其应用 §6 反插值 §7 埃尔米特插值多项式 §8 三次样条插值 §9多元函数插值
8
§1 不等距节点下的 牛顿基本差商公式
9
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商 1.2 牛顿基本差商公式的建立 1.3牛顿基本差商公式的余式估计
10
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
差商(也叫均差)
f(x)在xi点的零阶差商为
f[xi]= f(xi)
(i=0,1,2,…,n)
1.1 差商
f(x)在[xi,xj]区间上零阶差商之差商为一阶差商
f [xi , x j ]
f [xj ] f [xi ] x j xi
f (x j ) f (xi ) x j xi
11
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f(x)在[xi,xj,xk]区间上一阶差商之差商为二阶差商
f [xi , x j , xk ]
本章讨论：
1、多项式的插值法
构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
使满足Pn(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
2、利用Pn(x)进行插值计算
5
问题的提出
n＝1：求一次多项式P1(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)两点。
(x1,y1)
P1(x) f(x)
(x0,y0)
• P1(x)= a0 + a1x
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
6
问题的提出
n＝2：求二次多项式P2(x)，要求通过(x0,y0)， (x1,y1)， (x2,y2)三点。
P2(x) f(x)
(x2,y2)
(x0,y0) (x1,y1)
P2(x)= a0 + a1x + a2x2
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
例如：f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x1, x2 ] f [ x0 , x1] x2 x0
一般的，可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为
f [ xi , xi1,..., xin ]
f [ xi1, xi2 ,..., xin ] f [ xi , xi1,..., xin1] xin xi
1 （ f (xk ) f (x j ) f (x j ) f (xi ) ） xk xi xk x j x j xk x j xi xi x j
f[x0,x1,x2 ,x3] …
13
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
例5.1 求出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值
解：用如下表计算
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3] f[xi,xi+1,xi+2, xi+3 , xi+4]
1.1 差商
以x代表时间t, f(x)代表路程s,
一阶差商si / ti =Vi； 二阶差商为上述平均速度的平均变化率——平均加速
度,…,
差商表的数值可以直接反映出函数值的变化情况
差商的重要特性——对称性
例如：
f[x0 , x1]=
f ( x1) f ( x0 ) f ( x1) f ( x0 )
课程内容
第一章 数值计算中的误差 第二章 方程（组）的迭代解法 第三章 解线性方程组的直接解法 第四章 解线性方程组的迭代法 第五章 插值法 第六章 数值积分与数值微分
1
第五章 插值法
2
插值法简介
古老的数学方法，来自生产实践。 –一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性 插值与二次插值，但基本理论却是在微积分产生以后 才逐步完善的。 –计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问 题的需要，理论上和实践上得到进一步发展。 –近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得极为广 泛的应用，是计算机图形学的基础。
x1 x0
x1 x0 x0 x1
f[x1 , x0]= f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
f ( x0 ) f ( x1) x0 x1 x1 x0
15
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式
1.1 差商
f [xi , x j , xk ]
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi
3
问题的提出
情况一：函数解析式未知，
通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间
[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0 y1 y2 …… yn
情况二：虽有明确解析式，但计算复杂
——需要用比较简单且易于计算的函数p(x)去近似代替
y=p(x)
y=f(x)
4
0 0 80 4 2 8 20
27 8 19
19 4 5 30
3
27 3 2
125 27 49
49 19 1Biblioteka 52535 125
91 49 14
216 125 91 6 3
65
6 216
10 5 1 50 14 10 1 62
11 0 60
14
§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式