西南大学附中2019-2020年高一上期末考试数学试题及答案

西南大学附中2019-2020年高一上期末考试数学试题及答案—学年度上期期末考试高一数学试题（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若集合{|||2}M x x =≤，2{|30}N x x x =-=，则MN =（ ）A ．{ 3 }B ．{ 0 }C ．{ 0，2 }D ．{ 0，3 }2．函数()f x = ）A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,)-∞+∞3． 函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．a > 1，b < 0B ．a > 1，b > 0C ．0 < a < 1，b > 0D ．0 < a < 1，b < 04．函数1y =（1x ≥）的反函数是（ ）A ．221y x x =-+（x < 1）B ．222y x x =-+（1x ≥）C ．22y x x =-（x < 1）D ．22y x x =-（1x ≥）5． 已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是（ ） A ．（– 1，1）B ．（0，1）C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞6．要得到函数y x =的图象，只需将函数(2)4y x π+的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左移8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右移4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左移8π个单位长度 7． ||1a =，||2b =，c a b =+，且c a ⊥，则向量a b 与的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8． 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π的值为（ ）A ．12-B ．12 C ． D9． 函数2sin (2)6y x π=-，[0,]x π∈为增函数的区间是（ ）A ．[0,)3πB ．17[,]1212π C ．5[,]36ππ D ．5[,]6ππ 10． 设2,(||1)(),(||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．(,1][0,)-∞-+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题（每小题5分，共25分） 11． sin600︒=_____________．12． 在R 上定义运算“△”：x △y = x ( 2 – y )，若不等式( x + m )△x < 1对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是_______________．13． 若()||f x x a =-在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是____________．14． 若cos()6πα-=25cos()sin ()66ππαα+--=_____________． 15． 设O 为△ABC 内一点，且20OA OB k OC ++=（k > 0），:2:11AOC ABC S S ∆∆=，则k的值为_______________．三、解答题（共75分）16． (13分) 已知sin ()cos()()2ππαπααπ--+=<<．求值： (1) sin cos αα-；(2) 33sin (2)cos (2)παπα-+-．17． (13分) 记函数()f x =A ，()lg[(1)(2)]g x x a a x =---（a < 1）的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18． (13分) 已知函数()f x 满足2(23)421f x x x -=++．(1) 求()f x 的解析式；(2) 设()()7g x f x a x =+-，a R ∈，试求()g x 在 [ 1，3 ] 上的最小值．19． (12分) 已知平面上的三个单位向量a ，b ，c ，它们之间的夹角均为120°．(1) 求证：()a b c -⊥；(2) 若||1ka b c ++>，求实数k 的取值范围．20． (12分) 已知a > 0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，5()1f x -≤≤．(1) 求常数a 、b 的值； (2) 设()()2g x f x π=+且lg ()0g x >，求()g x 的单增区间．21． (12分) 对于在区间 [ m ，n ] 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意[,]x m n ∈，均有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在 [ m ，n ] 上是友好的，否则称()f x 与()g x 在 [ m ，n ]是不友好的．现有两个函数1()log (3)a f x x a =-与21()log af x x a=-（a > 0且1a ≠），给定区间[2,3]a a ++． (1) 若1()f x 与2()f x 在给定区间[2,3]a a ++上都有意义，求a 的取值范围； (2) 讨论1()f x 与2()f x 在给定区间[2,3]a a ++上是否友好．（命题人：涂登熬 审题人：周 静）西南大学附中—学年度上期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 二、填空题11．12．（– 4，0） 13．(,1]-∞ 14．15．8三、解答题16．解：(1) ∵sin ()cos()παπα--+=，∴sin cos αα+=∴221(sin cos )179sin cos 2218αααα-+-===- 又∵2παπ<<，∴sin cos αα>4sin cos 13αααα-== (2) 333333sin (2)cos (2)sin cos cos sin παπααααα-+-=-+=- 22(cos sin )(cos cos sin sin )αααααα=-++4722(1)31827=-⨯-=-17．解：(1) 312001111x x x x x x +--≥⇒≥⇒<-≥++或 ∴(,1)[1,)A =-∞-+∞(2) 由(1)(2)0(1)(2)0x a a x x a x a --->⇒---<∵a < 1，∴12a a +>，∴B =（2a ，a + 1）∵B A ⊆，∴21a ≥或11a +≤-，即12a ≥或2a ≤-而a < 1，∴112a ≤<或2a ≤-∴a 的范围为1(,2)[,1)2-∞-18．解：(1) ∵令23x t -=，则32t x +=于是22()(3)(3)1713f t t t t t =++++=++ ∴2()713f x x x =++(2) 222()()7()7()1372713g x f x a x x a x a x x ax a a =+-=++++-=++++①当1a -≤时，即1a ≥-时，22min ()(1)12713914g x g a a a a a ==++++=++ ②当13a <-<时，即31a -<<-时，min ()()713g x g a a =-=+ ③当3a -≥时，即3a ≤-时，22min ()(3)967131322g x g a a a a a ==++++=++综上，2min21322(3)()713(31)914(1)a a a g x a a a a a ⎧++≤-⎪=+-<<-⎨⎪++≥-⎩19．(1) 证：∵||||||1a b c ===，且夹角均为120°∴1cos1202a b b c ==︒=-∴()0a b c a c b c -=-=∴()a b c -⊥(2) 解：由||1ka b c ++>，平方得22222221k a b c k a b k c a b c +++++>（※）∵222||||||1a b c ===，111cos1202a b c a b c ===⨯⨯︒=-故（※）式即为21111k k k ++--->，即220k k -> ∴k < 0或k > 220．解：(1) ∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈ ∴ 1sin(2)[,1]62x π+∈- ∴()[,3]f x b a b ∈+ 又∵5()1f x -≤≤ ∴52315b a a b b =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩(2) 由(1)知，()4sin(2)16f x x π=-+-∴()()4sin(2)126g x f x x ππ=+=+-又由lg ()0()1g x g x >⇒> ∴54sin(2)11222()6666x k x k k z ππππππ+->⇒+<+<+∈ 其中，单增时，有222662k x k πππππ+<+≤+，即()6k x k k z πππ<≤+∈∴增区间为(,]()6k k k z πππ+∈21．解：(1) 由题，300301x a x a x a a a ->⎧⎪->⇒>⎨⎪>≠⎩且 又12()()f x f x 与在[2,3]a a ++上有意义 ∴230101a aa a a +>⎧⇒<<⎨>≠⎩且 (2) 12()()f x f x 与在[2,3]a a ++上是友好的12|()()|1f x f x ⇔-≤1|log (3)log |1a ax a x a⇔--≤- |log [(3)()]|1a x a x a ⇔--≤221(2)a x a a a⇔≤--≤对任意的[2,3]x a a ∈++恒成立现设22()(2)h x x a a =--，[2,3]x a a ∈++由(1)问知，()h x 的对称轴22x a =<，在区间[2,3]a a ++的左边∴min max ()(2)440111(3)96()a h x a h a a aa h a a h x a a a≤≤+≤-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇔⇔⇔<≤⎨⎨⎨≥+≥-≥⎪⎪⎪⎩⎩⎩∴当0a <≤时，12()()f x f x 与在[2,3]a a ++上是友好的1a <<时，12()()f x f x 与在[2,3]a a ++上是不友好的。