数学悖论在中小学数学教学中的价值初探

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ＥＸＡＭ Ｊ ＮＡ ＴＩ Ｏ ＮＳ
数 学悖 论 在 中小 学数 学 教 学 中 的价值 初探
黄 静
（ 广 东 省深 圳 市 观 澜 中心 小 学 广 东 深圳 ５ １ ８ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 本 文 主要 通过 举 例 论 证 的 方 式 提 出： 数 学 悖论 有利 于培 养 学 生 思 维 的 发 散 性 、 批判性和独创性 ， 可 以有 效 地 培 养 和 发 展 中小 学 生 的数 学创 新 能 力 。 关键词 ： 数 学悖 论 ； 数 学教 学 ； 数学创新能力； 创 新 思 维
案 甚 至还 不 着 边 际 ， 但 我 发 现 通 过 这 简 单 的 一 道 数 学 悖 论 ห้องสมุดไป่ตู้
础 上发 展 起 来 的 思 维 品 质 而 数 学 悖 论 因 其 特 殊 的 思 维 方 式 和非 常 规 的逻 辑 推 理 ， 对 培 养 中 小学 生 思 维 的 批 判 性 能 起 到很 好 的推 动 作 用 。 为 了 更 好 地 说 明 数 学 悖 论 对 思 维 批 判 性 的培 养 作 用 ， 现举 一 个 简 单 教 学 案例 ： Ａ把 自己 的 自行 车 作 价 １ ０ ０元 卖 给 了 Ｂ 。 在 骑 了 几 天 之后 ， Ｂ觉 得 车 子 已 旧 ， 于是 以 ８ Ｏ元 又 返 卖 给 了 Ａ。Ａ 又 把 车 作价 ９ Ｏ元 卖 给 了 ｃ 。问 ： 这 几次的交易中， 甲 赚 了 多 少钱？ 这 道小 小 的趣 题 ， 总 是 引 起 各 种 争 论 。在 教 学 实 习 中 ， 同 样 引起 了学 生 们 激 烈 的 争 论 。大 多 数 人 争 取 一 下 三 种 看 法 中的 一种 。 看法一 ： 我 们 不 知 道 自行 车 的原 价 ， 因 此 我 们 无 法 知 道 在 第 一 次卖 出后 甲是 否 获 利 。 不过 ， 既然他用 ８ Ｏ元 买 回 ， 又 以９ Ｏ 元卖 出， 那么显然赚了 １ Ｏ元 。 看法二 ： 他把车卖了 １ ０ ０元 ， 又以 ８ Ｏ元 买 了 回 来 。现 在 他仍有这辆 车 ， 而 且 还有 他 先前 没 有 的 ２ Ｏ元 （ １ ０ ０ —８ ０一 ２ ０ ） ， 因此他 赚 了 ２ Ｏ元 。 因 为 我 们 不 知 道 自行 车 的 实 在 价 格， 无 法从 第 二 次 卖 出中 得 出什 么 结 论 ， 所以他就赚 了那 ２ Ｏ 元钱 。 看法三 ： 甲买 回这辆车之后 ， 获利 ２ Ｏ 元 。现在他 用 比买 进价多 １ ０ 元 的价 钱 把 车 卖 出 去 ， 又得到 １ Ｏ元 。因 此 他 共 赚 了３ Ｏ元 。 哪一种答案是正确呢？ 为 了将 问题 搞 清 楚 ， 我 们 设 白行 车 的 原 价 ａ元 ， 在 第 一 次 交易 中 ， 甲 把 价值 ａ元 的 自行 车卖 了 １ ０ ０元 ， 赚了１ ０ ０ 一ａ 元； 在 第 二 次交 易 中 ， 用８ Ｏ 元买进 ， 第二次交易中作价 ９ Ｏ元 卖掉 ， 这 两 次 交 易 确 定赚 了 １ Ｏ 元， 故整个交易过程一共赚 了 １ １ ０ 一ａ 元， 具体赚 了多少钱就要看 自行车的原价是多少了。 我 们再 回头 看 看 以上 三个 看法 ， 会 惊 奇 的发 现 以 上 三 个 看 法 都 是 对 的 。通 过 类 似 上 面例 子 的训 练 ， 学 生 会 慢 慢 意 识 到 并 不 是 给 出 的答 案 就 是 正 确 的 ， 也 不 是 说 课 本 上 的 就 完 全 没有问题 ， 他 们 会 有 自己 的 思 考 和 判 断 ， 他 们 不 愿 盲 目接 受 现 成 的 结 论 和方 法 ， 喜 欢 通过 自己 的独 立 思 考 来 搞 清 楚 问 题 的来 龙 去 脉 。这样 ， 他 们 慢慢 地 就 会 更 善 于 辨别 数 学 结 论 的 真伪性 ， 也 更 富有 批 判 精 神 。 ３ 数学 悖论 有 利 于 培 养 中 小 学 生思 维 的 独 创 性 独 创 性 是 指 独 立 思考 创造 出有 社 会 （ 或 个 人 ）价 值 的 具 有 新颖 成 分 的智 力 品 质 。其 基 本 特 征 是 ” 创 造” ，这 种 特 征 发生的原 因在于 ： 主体对知识经验或思维材料高度概括后集 中而 系 统 地迁 移 ， 进行新颖 的组合分 析 ， 找 出新 异 的 层 次 和 交 结 点 。概 括 性 越 高 ， 知识系统性越强 ， 伸缩性越大 ， 迁 移性 越灵活 ， 注意力越集中 ， 则 独 创 性 就 越突 出 。 在 数 学 教学 中 ， 我们 可 通 过 简 单 却 又 新 颖 的悖 论 来 激 发 学 生 的探 究 精 神 和 求 知 欲 ， 进 而 培 养 学 生 思 维 的 独 刨性 。
中图分类号 ： Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文 献标 识 码 ： Ｂ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ６ —５ ９ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ —０ １ ３ ６ —０ １
传 统 的数 学教 学 理 论 一 般 都 认 为 ， 数 学 教 学 应该 尽 可 能 地 避 免 出现 差 异 或 者谬 误 ， 尤 其 是 要 避 免 出 现悖 论 ， 因此 ， 在 这种” 正 确 的” 教学 理 论 指 导 下 的 教学 实 践 就 是 ” 正确的” 的” 数学结论” （ 包括事实、 命 题、 法则 、 规律 、 推 理 和 证 明等 ） 的 展 示、 表 演 与 习得 、 操 练 与 熟 悉 。但 是 ， 即使 是 算 术 的 教 学 ， 在 这种教学理论的指导下 ， 大多数 学生最 多也只能 获得一些 ” 死” 的概 念 符 号 和 计 算 程 序 ， 而 无 法 获 得 真 正 的数 感 。 正因为如此 ， 笔 者认 为 ， 数 学 发 展 史 上 的诸 多悖 论 ， 如 果 能够结合学校数学课程 ， 并 加 以 合 理 的处 理 ， 它 们 就 可 以 成 为数学课堂教学中的 ” 本原性 ” 问题 ； 与 此 同时 ， 在 数 学 课 堂 教 学 实 践 中也 涌 现 出 许 许 多 多 的 ” 原发性 ” 的数 学 （ 悖论） ， 它 们也是数学 ” 本原性 ” 问题 ， 所 有这些 悖论 ， 如 果 能 够 适 当地 加 以运 用 和 捕 捉 ， 都 会 起 到 意 想 不 到 的 教育 教 学 效 果 。 １ 数 学 悖 论有 利 于培 养 中小 学 生 思维 的发 散 性 数 学 悖 论 不 是 初 等 数 学 内 容 的简 单 叠 加 ， 它 是 对 中小 学 生所 掌 握 的知 识 从 非 逻 辑 的 角度 、 不 同 方 面 进 行 非 本 质 的 变 异， 突 出本 质 特 征 而 形 成 的 新 的 问 题 ， 这 种 问 题 及 其 设 立 的 问 题情 境 与解 题 者 的 认 知 结 构 之 间存 在 着 一 定 的 距 离 ， 这 就 要 求学 生思 维 品质 具 有 很 强 的 变 通性 ， 能 够 随着 问题 而 不 断 变化。要解决数学悖论中的问题， 并不需要学生将命 题的条 件 和结 论 进 行 多次 分 解 与 组 合 ， 也 不 需 要 对 已掌 握 的 定 理 与 公 式 进 行 正 向和 逆 向 的转 换 运 用 ， 更 不 需 要 灵 活处 理 图 形 中 的 几何 元 素 和位 置 关 系 等 信 息 ， 但 需 要 学 生 运 用 非 常 规 的 思 维 方 式 从不 同角 度 ， 不 同 侧 面找 出悖 论 的成 因并 寻求 正 确 的 解决方案 ， 因此 ， 整 个 探 求 问题 解 决 的 过 程 就 是 思 维 变 通 性 的 训 练 过 程 。记 得有 一 次 在 数 学 第 二 课 堂 上 ， 笔 者 曾 举 个 这 样 一 个 例 子 。商 店处 理一 批 旧磁 带 ， 其 中一 种 为 ３ ０盒 ， 每 １ Ｏ 元卖 ２盒 。另一种也是 ３ Ｏ盒 ， 每１ Ｏ元卖 ３ 盒 。（ ２ ０ 元可买 ５ 盒这两种磁带） 。合 计 收 入 是 ２ ５ ０元 。第 二 天 为 免 去 分 磁 带 的麻 烦 ， 把各 ３ Ｏ盒 这 两 种 磁 带 混 合 在 一 起 卖 ２ Ｏ元 ５盒 ， 结 果 结 账 时 只卖 了 ２ ４ ０元 ， 另外 １ Ｏ元 钱 到 哪 儿去 了？ 学生初看这一悖论 ， 觉得有趣 ， 学 习 的兴 致 都 很 高 ， 大 家 自由发 言 ， 允许 学 生 自由讨 论 ， 答 案 自然 是 五 花八 门 ， 很 多答