1993全国高考文科数学试题
1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案
A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案 满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分） 解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分） 解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分） 解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分） 解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-， 对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分） 解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭． （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接 圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是 等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分） 证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略． 五、（本题满分14分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=． 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四． 七、（本题满分18分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=． 八、（本题满分18分） 解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =， 代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+． 设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧． 说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -． 设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-， 且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分） 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ， 解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分） 证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =， 设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ， 又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===． 八．（本题满分16分） 解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分） 解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-． 三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）． 所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==． 证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ． 设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解） 七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =． 两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则 面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分8分） 解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。
1993年全国统一高考数学试卷(文科)
1993年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分） 1．（4分）函数f （x ）=sinx+cosx 的最小正周期是（ ）A ． 2πB ．C ． πD ．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x ﹣4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A ． 3x+4y ﹣5=0B ． 3x+4y+5=0C ． ﹣3x+4y ﹣5=0D ． ﹣3x+4y+5=04．（4分）i 2n ﹣3+i 2n ﹣1+i 2n+1+i 2n+3的值为（ ）A ． ﹣2B ． 0C ． 2D ． 45．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数C ． 减函数且是奇函数D ． 减函数且是偶函数6．（4分）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（4分）（2002•江苏）集合，则（）A ． M =NB ． M ⊃NC ． M ⊂ND ． M ∩N=∅8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（4分）圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y ﹣25=0的距离的最小值是（ ）A ． 6B ． 4C ． 5D ． 110．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ）A ． a 2＞b 2B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）设a＞1，则=_________．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=_________．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）求tan20°+4sin20°的值．25．（12分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．26．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．27．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．28．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．1993年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）D．﹣3x+4y+5=0A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选B．点评：本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．4．（4分）i 2n ﹣3+i 2n ﹣1+i 2n+1+i 2n+3的值为（ ）A ． ﹣2B ． 0C ． 2D ． 4考点： 复数代数形式的混合运算．分析： 利用i 的幂的运算性质，对n 为奇数和偶数分类讨论，可以得到结果．解答： 解：因为i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ；由复数i 2n ﹣3+i 2n ﹣1+i 2n+1+i 2n+3=2（i 2n+1+i 2n+3），当n 是偶数时2（i 2n+1+i 2n+3）=2（i+i 3）=0；当n 是奇数时2（i 2n+1+i 2n+3）=2（i 3+i ）=0．故选B ．点评： 本题考查复数i 的幂的运算，复数代数形式的运算，是基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数C ． 减函数且是奇函数D ． 减函数且是偶函数考点： 幂函数的性质．专题： 数形结合．分析： 做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性． 解答： 解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选A ．点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（ ） A ．B ．C ．D ．考点：极限及其运算． 专题： 计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•江苏）集合，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅考点：集合的包含关系判断及应用．分析：首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．解答：解：对于M的元素，有x=π，其分子为π的奇数倍；对于N的元素，有x=π，其分子为π的整数倍；分析易得，M⊂N；故选C．点评：本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．解答：解：原式=]==，故选A点评：在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6B．4C．5D．1考点：直线与圆的位置关系．分析：先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．解答：解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B．点评：本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．10．（4分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定考点：等比数列．分析：用作差法比较即可．解答：解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0故选A点评：本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件考点：空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．专题：证明题；压轴题．分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．解答：解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选C．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）设a＞1，则=﹣a2．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：当n→∞时，a n→∞．由此能够推导出=的值．解答：解：===﹣a2．点评：本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或}．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）求tan20°+4sin20°的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．解答：解：tan20°+4sin20°=======2sin60°=．点评：本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力．25．（12分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．26．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．27．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．28．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试93
高考数学普通高等学校招生全国统一考试93高考数学普通高等学校招生全国统一考试93本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,第 I卷 1 至2 页,第 II 卷 3 至 9 页,共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束.将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷(选择题共 40 分)注意事项:1．答第 I卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一.本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)在复平面内,复数对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(2)若 a 与 b－c 都是非零向量,则〝a·b=a·c〞是〝a⊥(b－c)〞的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为(A)36 个(B)24 个(C)18 个(D)6 个(4)平面的斜线 AB 交于点 B,过定点 A 的动直线与 AB 垂直,且交于点 C,则动点 C 的轨迹是(A)一条直线 (B)一个圆(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支(5)已知是上的增函数,那么 a 的取值范围是(A)(0,1) (B)(0,)(C),(D)(6)在下列四个函数中,满足性质:〝对于区间(1,2)上的任意,( ).恒成立〞的只有(A) (B)__61501;(C) (D)(7)设,则等于(A)(B)(C) (D)(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A.B.C 的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段 ,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则(A) __61502; __61502;(B)(C)__61502;(D)普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类) (北京卷)第II 卷(共 110 分)注意事项:1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.(9)的值等于.(10)在的展开式中, 的系数是.(用数字作答)(11)若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(0 ,b)(ab0)共线,则,的值等于(12)在△ABC 中,若 C B A sinA: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是(13)已知点 P(_,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么PO 的最小值等于,最大值等于.(14)已知A.B.C三点在球心为 O,半径为R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么 A.B 两点间的球面距离为球心到平面 ABC 的距离为.. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共 12 分)已知函数.(Ⅰ)求的定义域;(Ⅱ)设的第四象限的角,且,求的值(16)(本小题共 13 分)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求:(Ⅰ)的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.(17)(本小题共 14 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且PA=PB,点 E 是 PD 的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥PB;(Ⅱ)求证:PB//平面 AEC;(Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小.(18)(本小题共 13 分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由) (19)(本小题共 14 分)已知点 M(－2,0),N(2,0),动点 P满足条件PM －PN =,记动点 P的轨迹为 W.(Ⅰ)求 W 的方程;(Ⅱ)若 A,B 是W上的不同两点,O 是坐标原点,求.的最小值.(20)(本小题共 14 分)在数列中,若 a1,a2 是正整数,且,3,4,5,…,则称为〝绝对差数列〞.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的〝绝对差数列〞(只要求写出前十项); (Ⅱ)若〝绝对差数列〞中,,,数列满足n=1,2,3,…,分虽判断当时, 与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何〝绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项.数学(理工类)(北京卷)参考答案一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)(1)D (2)C (3)B (4)A(5)C (6)A (7)D (8)C二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9) (10)－14 (11) (12)(13) (14)三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)(15)(共 12 分)解:(Ⅰ)由得,故在定义域为(Ⅱ)因为,且是第四象限的角, 所以__61537; 故.(16)(共 13 分)解法一:(Ⅰ)由图象可知,在(－∞,1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设又所以由,即得,所以.(17)(共 17 分)解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.(Ⅱ)连接BD,与 AC 相交于 O,连接 EO.∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.又 PB平面 AEC,EO平面 AEC,∴PB∥平面 AEC.(Ⅲ)取 BC 中点 G,连接 OG,则点 G 的坐标为,=.又是二面角的平面角二面角E-AC-B的大小为.(18)(共 13 分)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案二考试通过的概率.(Ⅱ)因为,所以故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.(19)(共 14 分)解法一:(Ⅰ)由PM－PN=知动点 P 的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,实半轴长又半焦距 c=2,故虚半轴长所以 W 的方程为,(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,当AB⊥_轴时,从而从而当AB与_轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以.又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2. 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为,则, ,则令则且所以当且仅当,即时〞〞成立.所以.的最小值是2.(20)(共 14 分)(Ⅰ)解:,(答案不惟一)(Ⅱ)解:因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限不存在.当时, ,所以(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当时, ;当时,即的值要么比至少小1,要么比至少小1.令则由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项,这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值0,, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)(编辑:ahuazi)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至9页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目涂写在答题卡.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一.本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1) 在复平面内,复数对应的点位于(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解:故选D(2)若与都是非零向量,则〝〞是〝〞的(C)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解:_Ucirc;_Ucirc;_Ucirc;故选C(3)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有(B)(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,有种方法(2)3个数字中有一个是奇数,有,故共有＋＝24种方法,故选B(4)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是(A)(A)一条直线(B)一个圆(C)一个椭圆(D)双曲线的一支解:设与_cent;是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面的交线上,故选A(5)已知是上的减函数,那么的取值范围是(C)(A) (B)(C) (D)解:依题意,有0_lt;a_lt;1且3a－1_lt;0,解得0_lt;a_lt;,又当__lt;1时,(3a －1)_＋4a_gt;7a－1,当__gt;1时,loga__lt;0,所以7a－1_sup3;0解得__sup3;故选C(6)在下列四个函数中,满足性质:〝对于区间上的任意,恒成立〞的只有(A)(A) (B)(C) (D)解:_gt;1_lt;1\ _lt;_1－_2故选A(7)设,则等于(D)(A) (B)(C) (D)解:依题意,为首项为2,公比为8的前n＋4项求和,根据等比数列的求和公式可得D(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口的机动车辆数如图所示,图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则20,30;35,30;55,50 (C)(A)(B)(C)(D)解:依题意,有_1＝50＋_3－55＝_3－5,\_1_lt;_3,同理,_2＝30＋_1－20＝_1＋10\_1_lt;_2,同理,_3＝30＋_2－35＝_2－5\_3_lt;_2故选C绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事项:1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.(9)的值等于解:＝＝(10)在的展开式中,的系数为(用数字作答).解:令得r＝1故的系数为＝－14(11)若三点共线,则的值等于解:, ,依题意,有(a－2)·(b－2)－4＝0即ab－2a－2b＝0所以＝(12)在中,若,则的大小是.解: _Ucirc;a:b:c＝5:7:8设a＝5k,b＝7k,c＝8k,由余弦定理可解得的大小为.(13)已知点的坐标满足条件,点为坐标原点,那么的最小值等于,最大值等于. 解:画出可行域,如图所示:易得A(2,2),OA＝B(1,3),OB＝C(1,1),OC＝故OP的最大值为,最小值为.(14)已知三点在球心为,半径为的球面上,,且,那么两点的球面距离为,球心到平面的距离为.解:如右图,因为,所以AB是截面的直径,又AB＝R,所以△OAB是等边三角形,所以_ETH;AOB＝,故两点的球面距离为,于是_ETH;O1OA＝30°,所以球心到平面的距离OO1＝Rcos30°＝.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题共12分)已知函数,(Ⅰ)求的定义域;(Ⅱ)设是第四象限的角,且,求的值.解:(1)依题意,有cos__sup1;0,解得__sup1;kp＋,即的定义域为｛___Icirc;R,且__sup1;kp＋,k_Icirc;Z｝(2)＝－2sin_＋2cos_\＝－2sina＋2cosa由是第四象限的角,且可得sina＝－,cosa＝\＝－2sina＋2cosa＝(16)(本小题共13分)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求: (Ⅰ)的值;(Ⅱ)的值.解:(1)由导函数的图象可知,当__Icirc;(－_yen;,1)时,_gt;0,当__Icirc;(1,2)时,_lt;0,当__Icirc;(2,＋_yen;)时,_gt;0,所以当_＝1时,函数取得极大值,即_0＝1(2)＝3a_2＋2b_＋c,依题意有:,＝5即有3a＋2b＋c＝0 ,12a＋4b＋c＝0,a＋b＋c＝5解得a＝2,b＝－9,c＝12门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)解:设三门考试课程考试通过的事件分别为A,B,C,相应的概率为a,b,c(1)考试三门课程,至少有两门及格的事件可表示为AB＋AC＋BC＋ABC,设其概率为P1,则P1＝ab(1－c)＋a(1－b)c＋(1－a)bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc设在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格的概率为P2,则P2＝ab＋ac＋bc(2)P1－P2＝(ab＋ac＋bc－2abc)－(ab＋ac＋bc)＝ab＋ac＋bc－2abc＝(ab＋ac＋bc－3abc)＝〔ab(1-c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)〕_gt;0\P1_gt;P2即用方案一的概率大于用方案二的概率.(19)(本小题共14分)已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.解:(1)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:(__gt;0)(2) 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为_＝_0,此时A(_0,),B(_0,－),＝2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y＝k_＋b,代入双曲线方程中,得: (1－k2)_2－2kb_－b2－2＝0……………………1°依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(_1,y1),B(_2,y2),则解得k_gt;1又＝_1_2＋y1y2＝_1_2＋(k_1＋b)(k_2＋b)＝(1＋k2)_1_2＋kb(_1＋_2)＋b2＝_gt;2综上可知的最小值为2(20)(本小题共14分)在数列中,若是正整数,且,则称为〝绝对差数列〞.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的〝绝对差数列〞(只要求写出前十项);(Ⅱ)若〝绝对差数列〞中,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(Ⅲ)证明:任何〝绝对差数列〞中总含有无穷多个为零的项.解:(Ⅰ),(答案不惟一)(Ⅱ)因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始,该数列是,,即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当时,的极限不存在.当时, ,所以(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而当时, ;当时,即的值要么比至少小1,要么比至少小1.令则由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项 ,这与()矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值0,, , 即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.。
1993年全国高考数学试卷评价报告──国家教委考试中心“93”高考试卷评价会议”通过
1993年全国高考数学试卷评价报告──国家教委考试中心
“93”高考试卷评价会议”通过
任子朝
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1994(000)002
【总页数】4页(P1-4)
【作者】任子朝
【作者单位】国家教委考试中心
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.1996年全国高考数学试卷评价报告 [J], 国家教委考试中心全国高考试题评价组;
2.2011年全国高考试卷I理科数学试卷分析 [J], 黄海燕;刘巧玲;龙开奋
3.2011年全国高考试卷Ⅰ理科数学试卷分析 [J], 黄海燕; 刘巧玲
4.1996年全国高考试卷评价否一如既往地贯彻、落实理论和实际相结合的原则,是保持试题相对稳定的首要条件。
其次,稳定考核内容。
人们之所以对90年代初期的政治科高考感到难以把握,其中很重要的一条就是考核内容的多变。
由于诸多因素的制约和影响,政治科高考多年来很难确定自己的 [J], 无
5.1994年全国高考数学试卷评价报告——国家教委考试中心全国高考试题评价组[J], 任子朝
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1993年普通高等学校招生全国统一考试语文试卷及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试语文试卷第Ⅰ卷（选择题共50分）一.（30分）1.下列词语中红字的字读音全都正确的一组是（2分）A.引擎（ｑíｎｇ）联袂（ｍâｉ）泊（ｐò）位恬（ｔｉáｎ）不知耻B.羞赧（ｎǎｎ）果脯（ｐǔ）澎湃（ｐàｉ）咬文嚼（ｊｕã）字C.湍（ｔｕāｎ）急阐（ｓｈàｎ）明天堑（ｑｉàｎ）一曝（ｐù）十寒D.破绽（ｚｈàｎ）怯懦（ｎｕò）颤（ｃｈàｎ）动一叶扁（ｐｉāｎ）舟2.下列有两个错别字的一句是（3分）A.市场上商品琳琅满目，五颜六色，令人眼花乱。
B.书市上人群熙熙攘攘，穿流不息，好不热闹。
C.你别把这些官野史当真，里面尽是些虚无缥渺的事。
D.老人虽已年逾古稀，但依然身体硬朗，精神铄。
3.对下列成语中红字的字解释的一项是（3分）A.乔装打扮。
乔：装假。
B.少不更事。
更：经历。
C.每下愈况。
况：比较，引申为"通过比较而明显"。
D.生灵涂炭。
涂：涂抹，引申为"沉溺于……之中"。
4.对下列两个句子分析正确的一项是（3分）①王老师对全班同学说："同学们，别忘了我们是学生，我们的主要任务是学习。
"②他埋怨我说："你让我给你借小说，人家借来了，你又不看。
"A.①②代词使用均没有毛病。
B.①②代词使用均有毛病。
C.①代词使用有毛病，②代词使用没有毛病。
D.①代词使用没有毛病，②代词使用有毛病。
5.下列标点符号使用的一项是（3分）A."这究竟是怎么回事呢？同志们。
"厂长严肃地说。
B.我要给爷爷理发，爷爷笑了："你？笤帚疙瘩戴帽子--充人哩。
"C.基础知识究竟扎实不扎实？对今后的继续深造有重要影响。
D.今天去呢？还是明天去呢？我实在拿不定主意。
6.依次填入下文①-⑤五个标号处的词语的一组是（3分）一些同志①懂得建设社会主义精神文明的重要，②知道它在建设有中国特色的社会主义当中的地位，③在一定时期内能够做到两个文明一起抓。
1993年全国统一高考数学试卷(文科)
1993年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=04．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．110．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．4514．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有种取法（用数字作答）．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．1993年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．【考点】H1：三角函数的周期性．【分析】把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选：A．【点评】本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．【解答】解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选：B．【点评】本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．4．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】A5：复数的运算．【分析】利用i的幂的运算性质，对n为奇数和偶数分类讨论，可以得到结果．【解答】解：因为i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i；由复数i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3=2（i2n+1+i2n+3），当n是偶数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i+i3）=0；当n是奇数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i3+i）=0．故选：B．【点评】本题考查复数i的幂的运算，复数代数形式的运算，是基础题．5．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【考点】4X：幂函数的性质．【专题】31 ：数形结合．【分析】做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．【解答】解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．【解答】解：==．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．【解答】解：对于M的元素，有x=π，其分子为π的奇数倍；对于N的元素，有x=π，其分子为π的整数倍；分析易得，M⊂N；故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．【解答】解：原式=]==，故选：A．【点评】在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．10．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】72：不等式比较大小．【专题】15 ：综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＜0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选：D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【考点】KA：双曲线的定义．【专题】11 ：计算题．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．【解答】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选：A．【点评】本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．【解答】解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r+1∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选：D．【点评】本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．【解答】解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定【考点】87：等比数列的性质．【分析】用作差法比较即可．【解答】解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0另解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4），由各项都大于零的等比数列，公式q≠1，不管q＞1还是0＜q＜1，即可判断a1+a8﹣（a4+a5）＞0．故选：A．【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=﹣a2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】当n→∞时，a n→∞．由此能够推导出=的值．【解答】解：===﹣a2．【点评】本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或} ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．【解答】解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．【点评】熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．【考点】D5：组合及组合数公式；D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．【解答】解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．【点评】本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x 的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．【解答】解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．【解答】解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．【点评】本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11 ：计算题．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======2sin60°=．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．【考点】4K：对数函数的定义域；3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．【解答】解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x ∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．【点评】本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【专题】14 ：证明题．【分析】观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．【解答】解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立【点评】本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．【考点】LW：直线与平面垂直．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．【解答】证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b ∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．【点评】本题考查证明线面垂直的证明方法．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．【解答】解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．=1，∴c=，即P点坐标为．由题设条件S△MNP由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．【点评】本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y=log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．5．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】。
1993年上海高考
1993年全国普通高等学校招生统一考试上海物理试题一．（32分）单项选择题。
每小题4分，每小题只有一个正确答案前面的字母填写在题后的方括号内，选对的4分；选错或不答的，得0分；选两个或两个以上的，得0分。
填写在方括号外的字母，不作为选出的答案。
1．以下几个原子核反应中，X代表α粒子的反应式是（）（A）42He＋94Be→126C＋X （B）23490Th→23491Pa＋X（C）21H＋31H→1n＋X （D）3015P→3014Si＋X2．在图电路中已知交流电源电压u＝200sin100πt伏，电阻R＝100欧，则电流表和电压表的读数分别为（）（A）1.41安，200伏（B）1.41安，141伏（C）2安，200伏（D）2安，141伏3．如图所示，U形管封闭端内有一部分气体被水银封住，已知，大气压强为p0，则被封部分气体的压强p（以cmHg为单位）为（）（A）p0＋h2（B）p0－h1（C）p0－（h1＋h2）（D）p0＋h2－h14．下列关于物体受静摩擦力作用的叙述中，正确的是（）（A）静摩擦力的方向一定与物体的运动方向相反（B）静摩擦力的方向不可能与物体的运动方向相同（C）静摩擦力的方向可能与物体的运动方向垂直（D）静止物体所受静摩擦力一定为零5．如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A、B，上、下两根细线中的拉力分别是T A、T B现在使A、B带同种电荷，此时，上、下两根细线中的拉力分别是T A′、T B′，则（）（A）T A′＝T A，T B′＞T B（B）T A′＝TA，T B′＜T B（C）T A′＜T A，T B′＞T B（D）T A′＞T A，T B′＜T B6．如图所示，半径相同的两个金属小球A、B带有电量相等的电荷，相隔一定距离，两球之间的相互吸引力的大小是F。
今让第三个半径相同不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开。
这时，A、B两球之间的相互作用力的大小是（）（A）F/8 （B）F/4 （C）3F/8 （D）3F/47．如图所示，一束质量、速度和电量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，未发生任何偏转。
1993年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
1993年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）物理第I卷（选择题共50分）一、本题共13小题;每小题2分,共26分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的. 1．两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中．设r1、r2为这两个电子的运动轨道半径,T1、T2是它们的运动周期,则A．r1=r2,T1≠T2 B．r1≠r2,T1≠T2C．r1=r2,T1=T2 D．r1≠r2,T1=T22．同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星．A．它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同值B．它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的C．它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同值D．它只能在赤道的正上方,且离地心的距离是一定的3．由自感系数为L的线圈和可变电容器C构成收音机的调谐电路．为使收音机能接收到f1=550千赫至f2=1650千赫范围内的所有电台的播音,则可变电容器与f1对应的电容C1和与f2对应的电容C2之比为4．若元素A的半衰期为4天,元素B的半衰期为5天,则相同质量的A和B,经过20天后,剩下的质量之比mA:mB=A．30:31 B．31:30 C．1:2 D．2:15．图中所示是用干涉法检查某块厚玻璃板的上表面是否平的装置．所用单色光是用普通光源加滤光片产生的．检查中所观察到的干涉条纹是由下列哪两个表面反射的光线叠加而成的?A．a的上表面和b的下表面B．a的上表面和b的上表面C．a的下表面和b的上表面D．a的下表面和b的下表面-2 -6．一物体经凸透镜在屏上成一放大的实像．凸透镜主轴沿水平方向．今将凸透镜向上移动少许,则A ．屏上像的位置向上移动B ．屏上像的位置向下移动C ．屏上像的位置保持不动,但像变大D ．屏上像的位置保持不动,但像变小7．下图所示的天平可用来测定磁感应强度．天平的右臂下面挂有一个矩形线圈,宽为l,共N匝,线圈的下部悬在匀强磁场中,磁场方向垂直纸面．当线圈中通有电流I （方向如图）时,在天平左、右两边加上质量各为m1、m2的砝码,天平平衡．当电流反向（大小不变）时,右边再加上质量为m 的砝码后,天平重新平衡．由此可知A ．磁感应强度的方向垂直纸面向里,大小为（m 1-m 2）g/NI lB ．磁感应强度的方向垂直纸面向里,大小为mg/2NI lC ．磁感应强度的方向垂直纸面向外,大小为（m 1-m 2）g/NI lD ．磁感应强度的方向垂直纸面向外,大小为mg/2NI l8．一列沿x 方向传播的横波,其振幅为A,波长为l,某一时刻波的图象如图所示．在该时刻,某一质点的坐标为（l,0）,经过四分之一周期后,该质点的坐标为-3 -9．下图为万用表欧姆挡的原理示意图,其中电流表的满偏电流为300mA,内阻rg=100W,调零电阻最大阻值R=50kW,串联的固定电阻R0=50W,电池电动势e=1．5V ．用它测量电阻Rx,能准确测量的阻值范围是A ．30kW ～80kWB ．3kW ～8kWC ．300W ～800WD ．30W ～80W10．A 、B 、C 三物块质量分别为M 、m 和m0,作如图所示的联结．绳子不可伸长,且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计．若B 随A 一起沿水平桌面作匀速运动,则可以断定A ．物块A 与桌面之间有摩擦力,大小为m 0gB ．物块A 与B 之间有摩擦力,大小为m 0gC ．桌面对A,B 对A,都有摩擦力,两者方向相同,合力为m 0gD ．桌面对A,B 对A,都有摩擦力,两者方向相反,合力为m 0g11．图中接地金属球A 的半径为R,球外点电荷的电量为Q,到球心的距离为r ．该点电荷的电场在球心的场强等于-4 -12．小物块位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上．从地面上看,在小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对小物块的作用力A ．垂直于接触面,做功为零B ．垂直于接触面,做功不为零C ．不垂直于接触面,做功为零D ．不垂直于接触面,做功不为零13．图中容器A 、B 各有一个可自由移动的轻活塞,活塞下面是水,上面是大气,大气压恒定．A 、B 的底部由带有阀门K 的管道相连．整个装置与外界绝热．原先,A 中水面比B 中的高．打开阀门,使A 中的水逐渐向B 中流,最后达到平衡．在这个过程中,A ．大气压力对水做功,水的内能增加B ．水克服大气压力做功,水的内能减少C ．大气压力对水不做功,水的内能不变D ．大气压力对水不做功,水的内能增加二、本题共6小题:每小题4分,共24分．在每小题给出的四个选项中,至少有一项是正确的．全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错或不答的得0分．14．入射光照射到某金属表面上发生光电效应,若入射光的强度减弱,而频率保持不变,那么A ．从光照至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加B ．逸出的光电子的最大初动能将减小C ．单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减少D ．有可能不发生光电效应15．分子间的相互作用力由引力f 引和斥力f 斥两部分组成,则A ．f 斥和f 引是同时存在的B．f引总是大于f斥,其合力总表现为引力C．分子之间的距离越小,f引越小,f斥越大D．分子之间的距离越小,f引越大,f斥越小16．如图所示,一理想变压器的原、副线圈分别由双线圈ab和cd（匝数都为n1）、ef和gh （匝数都为n2）组成．用I1和U1表示输入电流和电压,I2和U2表示输出电流和电压．在下列四种连接法中,符合关系A．b与c相连,以a、d为输入端;f与g相连,以e、h为输出端B．b与c相连,以a、d为输入端;e与g相连、f与h相连作为输出端C．a与c相连、b与d相连作为输入端;f与g相连,以e、h为输出端D．a与c相连、b与d相连作为输入端;e与g相连、f与h相连作为输出端17．一个标有“220V 60W”的白炽灯泡,加上的电压U由零逐渐增大到220V．在此过程中,电压（U）和电流（I）的关系可用图线表示．题中给出的四个图线中,肯定不符合实际的是18．在质量为M的小车中挂有一单摆,摆球的质量为m0．小车（和单摆）以恒定的速度V 沿光滑水平地面运动,与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞,碰撞的时间极短．在此碰撞过程中,下列哪个或哪些说法是可能发生的?A．小车、木块、摆球的速度都发生变化,分别变为v1、v2、v3,满足（M+m0）V=Mv1+mv2+m0v3B．摆球的速度不变,小车和木块的速度变v1和v2,满足- 5 -MV=Mv1+mv2C．摆球的速度不变,小车和木块的速度都变为v,满足MV=（M+m）vD．小车和摆球的速度都变为v1,木块的速度变为v2,满足（M+m0）V=（M+m0）v1+mv219．图中A、B是一对中间开有小孔的平行金属板,两小孔的连线与金属板面相垂直,两极板的距离为l．两极板间加上低频交流电压,A板电势为零,B板电势u=U0coswt．现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场．设初速度和重力的影响均可忽略不计．则电子在两极板间可能A．以AB间的某一点为平衡位置来回振动B．时而向B板运动,时而向A板运动,但最后穿出B板C．一直向B板运动,最后穿出B板,如果w小于某个值w0, l小于某个值l 0D．一直向B板运动,最后穿出B板,而不论w、l为任何值第Ⅱ卷(非选择题共50分)三、本题共8小题;前6小题每题3分,后2小题每题4分,共26分．把答案填在题中的横线上．20．用电磁波照射某原子,使它从能量为E1的基态跃迁到能量为E2的激发态,该电磁波的频率等于．21．两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M、N点,M、N两点间的距离为s,如图所示．已知两绳所能经受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于．- 6 --7 -22．有一游标卡尺,主尺的最小分度是1毫米,游标上有20个小的等分刻度．用它测量一工件的长度,如图所示,图示的读数是 毫米．23．一位同学用单摆做测量重力加速度的实验．他将摆挂起后,进行了如下步骤（A ）测摆长l :用米尺量出摆线的长度．（B ）测周期T:将摆球拉起,然后放开．在摆球某次通过最低点时,按下秒表开始计时,同时将此次通过最低点作为第一次,接着一直数到摆球第60次通过最低点时,按秒表停止计时．读出这段时间t,为实验的最后结果写入报告中去．指出上面步骤中遗漏或错误的地方,写出该步骤的字母,并加以改正．（不要求进行误差计算）24．如图所示,A 、B 是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为L 和l ,与桌面之间的滑动摩擦系数分别为m A 和m B ．今给A 以某一初速度,使之从桌面的右端向左运动．假定A 、B 之间,B 与墙之间的碰撞时间都很短,且碰撞中总动能无损失．若要使木块A 最后不从桌面上掉下来,则A 的初速度最大不能超过 ．25．如图A 所示的电路中,两二极管均可视为理想二极管,R 1=R 2．a 端对b 端的电压与时间的关系如图B 的上图所示．请在图B 的下图中作出a 端对c 点的电压与时间的关系图线（最少画一个周期,可用铅笔作图）．-8 -26．将量程为100微安的电流表改装成量程为1毫安的电流表,并用一标准电流表与改装后的电流表串联,对它进行校准（核对）．改装及校准所用器材的实物图如下（其中标准电流表事先已与一固定电阻串联．以防烧表）．校准时要求通过电流表的电流能从0连续调到1毫安．试按实验要求在所给的实物图上连线．27．某人透过焦距为10厘米,直径为4．0厘米的薄凸透镜观看方格纸,每个方格的边长均为0．30厘米．他使透镜的主轴与方格纸垂直,透镜与纸面相距10厘米,眼睛位于透镜主轴上离透镜5．0厘米处．问他至多能看到同一行上几个完整的方格?答: ．四、本题包括4小题,共24分,解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤．只写出最后答案,不能得分．有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位．28．（5分）一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等的左右两室,气缸壁与活塞是不导热的,它们之间没有摩擦．两室中气体的温度相等,如图所示．现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间．达到平体的温度．29．（5分）两金属杆ab和cd长均为l,电阻均为R,质量分别为M和m,M>m．用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧．两金属杆都处在水平位置,如图所示．整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B．若金属杆ab正好匀速向下运动,求运动的速度．30．（6分）有一准确的杆秤．今只给你一把有刻度的直尺,要求用它测出这杆秤的秤砣的质量．试导出表示秤砣质量的公式,并说明所需测量的量．- 9 -31．（8分）一平板车,质量M=100千克,停在水平路面上,车身的平板离地面的高度h=1．25米,一质量m=50千克的小物块置于车的平板上,它到车尾端的距离b=1．00米,与车板间的滑动摩擦系数m=0．20,如图所示．今对平板车施一水平方向的恒力,使车向前行驶,结果物块从车板上滑落．物块刚离开车板的时刻,车向前行驶的距离s0=2．0米．求物块落地时,落地点到车尾的水平距离s．不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦．取g=10米/秒2．- 10 -。
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1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 函数f (x )=sin x +cos x 的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π22(C) π(D)4π(2) 如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为( )(A)23 (B)23 (C)26 (D) 2(3) 和直线3x －4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为 ( )(A) 3x +4y －5=0 (B) 3x +4y +5=0 (C) －3x +4y －5=0(D) －3x +4y +5=0(4) i 2n －3+i 2n －1+i 2n +1+i 2n +3的值为( )(A) －2(B) 0(C) 2(D) 4(5) 53x y =在[－1，1]上是 ( )(A) 增函数且是奇函数(B) 增函数且是偶函数(C) 减函数且是奇函数 (D) 减函数且是偶函数(6) 5215lim 22+--∞→n n n n 的值为( )(A) 51-(B) 25-(C)51 (D)25 (7) 集合}24|{}42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，，，ππππ，则 ( ) (A) M =N(B) N M ⊃(C) N M ⊂(D) =⋂N M Ø(8) sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )(A)41(B)23 (C)21 (D)43 (9) 圆x 2+y 2=1上的点到直线3x +4y －25=0的距离的最小值是 ( ) (A) 6(B) 4(C) 5(D) 1(10) 若a 、b 是任意实数，且a >b ，则 ( )(A) a 2>b 2(B)1<ab (C) lg(a －b )>0(D) ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121(11) 一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2－8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 ( )(A) 圆(B) 椭圆 (C) 双曲线的一支(D) 抛物线(12) 圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( )(A) π36⎪⎭⎫⎝⎛l(B) π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l(C) π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l(D) π342⎪⎭⎫ ⎝⎛l(13) (x +1)4(x －1)5展开式中x 4的系数为 ( )(A) －40(B) 10(C) 40(D) 45(14) 直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π，则旋转体的体积为( )(A) 2π(B)π324+ (C)π325+ (D)π37 (15) 已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q ≠1，则( )(A) a 1+ a 8> a 4+ a 5 (B) a 1+ a 8< a 4+ a 5 (C) a 1+ a 8= a 4+ a 5(D) a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 (16) 设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内. 乙：l ，m 之中至少有一条与β相交. 丙：α与β相交. 当甲成立时( )(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17) 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( ) (A) 6种(B) 9种(C) 11种(D) 23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，要在答题卡上填涂. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(18) 设a >1，则1111lim -+∞→+-n n n a a =________________(19) 若双曲线222249ky k x -=1与圆x 2+y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围为___________________(20) 从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有__________种取法(用数字作答).(21) 设f (x )=4x －2x +1，则f －1(0)=______________(22) 建造一个容积为8m 3 ，深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元(23) 如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度三、解答题：本大题共5小题；共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.(24) (本小题满分10分) 求tg20º+4sin20º的值. (25)(本小题满分12分) 已知f (x )=log axx-+11(a >0，a ≠1). (Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (Ⅲ)求使f (x )>0的x 取值范围. (26) (本小题满分12分) 已知数列()().1212853283118222222 ，，，，+-⋅⋅⋅⋅n n nSn 为其前n 项和.计算得.818049482524984321====S S S S ，，，观察上述结果，推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明.(27) (本小题满分12分)已知：平面α∩平面β=直线a . α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b . 求证：(Ⅰ)a ⊥γ； (Ⅱ)b ⊥γ.(28) (本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中，tg ∠PMN =21，tg ∠MNP =－2.建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分68分. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)A (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分.(18)－a 2 (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.满分10分.解 tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin︒︒+︒=20cos 40sin 220sin ——2分 ()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2 ——6分 ︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2 ︒=60sin 23=. ——10分(25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1； ——3分如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(－1，1) (Ⅱ) ∵ ()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a011>-+xx等价于 111>-+xx， ① 而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0.故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a 011>-+xx等价于 0<111<-+xx. ②而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0.——12分(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分12分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k——7分 则 ()()()221321218++++=+k k k S S k k()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立. ——11分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立.——12分(27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN ⊥AC. ——1分∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理PN⊥a. ——4分又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ. ——6分(Ⅱ)于a上任取一点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. ——7分∵b∥α，∴b∥a1.同理b∥a2. ——8分∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合.又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a. ——10分∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ. ——12分注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分.证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ.——1分∵α⊥γ，P∈α，∴a′⊂α.同理a′⊂β. ——3分可见a′是α，β的交线.因而a′重合于a.——5分又a′⊥γ，∴ a ⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d . ——7分∵ b ∥α，b ∥β.∴ b ∥c ，b ∥d . ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分. (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+b y a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0). ——1分 由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c ).将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c ). ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN . 得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 .1315422=+y x ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b . 化简得3b 4－8b 2－3=0.解得b 2=3，或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角. ∴ sin P =53，cos P =54.而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310. ——4分 ∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理，(2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P=(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P )=(2a )2－2·310－2·310·54，∴ c 2=a 2－3，即b 2=3. ——7分又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，P MNM PNN PM sin sin sin ==，∴ P MNM N PN PM sin sin sin =++.即 53251522ca=+，∴ a =5c . ——10分 ∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415. 故所求椭圆方程为1315422=+y x .——12分。