南通市2008～2009年度第一学期高三期末调研测试

7． 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体11A B CD -的外接球的体积为 ▲ ．8． 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．9． 设a ＞0，集合A ={（x ，y ）|3,40,20x x y x y a ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥}，B ={（x ，y ）|222(1)(1)x y a -+-≤}．若点P （x ，y ）∈A 是点P （x ，y ）∈B 的必要不充分条件，则a 的取值范围是 ▲ ． 10．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 ▲ ．11．数列{}n a 中，16a =，且111n n n aa a n n---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式n a = ▲ ．12．根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ▲ ．13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅ ，则B ∠等于 ▲ ． 14．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．答案：1．{6，7} 2．π 3．210x y ++= 417 5．24 6．27 7．36π 8．2( 9．0＜a 2 10．78 11．(1)(2)n n ++ 12．4n 13．5π1214．21(,]e e -∞+二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题15分）抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，B 1A 1C 1使AF BF λ+= 0，25||4AB = ．（1）求直线AB 的方程；（2）求△AOB 的外接圆的方程．解：（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．∵AF BF λ+=0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++． …1分设直线AB ：(1)y k x =-，而12121212,,0,0,0.y y k x x y y k x x -=>><∴>- 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ……………………………………………3分 ∴2122122(2),1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩|AB |=122x x ++= 222(2)2524k k ++=．∴2169k =．……………6分 从而43k =，故直线AB 的方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=．……………………8分（2）由24340,4,x y y x --=⎧⎨=⎩求得A （4，4），B （14，－1）．……………………………………10分设△AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,1616440,111()0.164F D E F D E F ⎧⎪=⎪++++=⎨⎪⎪+++-+=⎩解得29,43,40.D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………………………………………………14分故△AOB 的外接圆的方程为22293044x y x y +--=．…………………………………15分 19．（本小题16分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），1()ln m f x mx x x-=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=，若在[1，e ]上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()sin g x x x θ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥．………1分 ∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，…………………2分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=．……4分 （2）由（1），得()()f x g x -=2ln m mx x x --．()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=．…………5分∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．………………………6分220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即221xm x +≥，而22211x x x x =++，（21x x+）max =1，∴1m ≥． …………………………………………8分220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221xm x+≤在[1，＋∞）恒成立， 而221xx +∈（0，1]，0m ≤． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ ． ………………………………………………10分 （3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m e F x mx x x x=---． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0ex x--，所以在[1，e ]上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立． ………………………………………………………12分当0m >时，22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=．…………………………14分因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40mme e-->， 解得241em e >-． 故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-．………………………………………………………16分 20．（本小题16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<． （1）求a 的值；（2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得3m n a b +=成立，求b 的值；（3）令1n n n C a b +=+，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………2分再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<．由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．由b ≥3，故30a -<，解得3a <． ………………………………………………………4分 于是23a <≤，根据a ∈N ，可得2a =．…………………………………………………6分 （2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则1(21)5n b m --+=．又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数．故1211n m --+=，b =5．所以b =5时，存在正自然数12n m -=满足题意．…………………………………………9分 （3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………………………11分 当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …………………………12分 当2n =时，4b =时，等式（※）成立．…………………………………………………13分 当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾．这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………14分 综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………16分。