最新三角形的三条中线交于一点
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形三条中线相交于一点证明
三角形三条中线相交于一点证明三角形的中线是指连接三角形两个顶点与对应中点的线段。
对于任意一个三角形ABC，它的三个中线交于一点O，这一点O被称为中心，且这个点O与三角形的三个顶点的距离相等，即AO=BO=CO。
下面将从几何和代数两个方面证明这一结论。
证明一：几何证明设三角形ABC的顶点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且A、B、C不共线。
设三条中线分别为l1，l2，l3，其中l1连接A和M1（BC的中点），l2连接B和M2（AC的中点），l3连接C和M3（AB的中点）。
1.证明O在l1上：连接OC，并延长交l1于点X，连接AX。
由于M1是BC的中点，所以AM1=MC，又因为三角形AM1C是直角三角形，所以AM1^2=AC^2/4。
同理，由于三角形AXC是直角三角形，所以AX^2=AC^2/4。
所以AM1=AX，即AM1X是等边三角形。
由于AM1X是等边三角形，所以AM1和AX的中垂线重合，即X在AO上。
所以O在l1上。
2.证明O在l2上：连接OA，并延长交l2于点Y，连接BY。
由于M2是AC的中点，所以BM2=MA，又因为三角形BM2A是直角三角形，所以BM2^2=AB^2/4。
同理，由于三角形BYA是直角三角形，所以BY^2=AB^2/4。
所以BM2=BY，即BM2Y是等边三角形。
同理可证，M2Y是BY（延长线上）的中线，即O在l2上。
3.证明O在l3上：连接OB，并延长交l3于点Z，连接CZ。
由于M3是AB的中点，所以CM3=MB，又因为三角形CM3B是直角三角形，所以CM3^2=BC^2/4。
同理，由于三角形CZB是直角三角形，所以CZ^2=BC^2/4。
所以CM3=CZ，即CM3Z是等边三角形。
同理可证，CM3Z是CZ（延长线上）的中线，即O在l3上。
综上所述，点O在l1、l2、l3上，即l1、l2、l3三线相交于一点O。
而这一点O到三角形的三个顶点的距离相等，即AO=BO=CO。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
Q POF E DCBA三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ABC 的两条高BE 、CF 相交于点O ，第三条高AD 交高BD 于点Q ，交高CF 于点P 。
求证：P 、Q 、O 三点重合证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴AFAEAC AB ＝， 即AB ·AF = AC ·AE 又∵AD ⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB ∴AQ AD AD AE ＝，ABAP AD AF ＝ 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP ∴AD ·AQ = AD ·AP ∴AQ = AP∵点Q 、P 都在线段AD 上 ∴点Q 、P 重合∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。
已知：△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点O ，第三条高CF 交高AB 于点F ，连结CO 交AB 于点F 。
DCALNMFEDCBA求证：CF ⊥AB 。
证明:∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90° 即CF ⊥AB 。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
Q POF E DCBA三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ABC 的两条高BE 、CF 相交于点O ，第三条高AD 交高BD 于点Q ，交高CF 于点P 。
求证：P 、Q 、O 三点重合证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF ∴AFAEAC AB ＝， 即AB ·AF = AC ·AE 又∵AD ⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB ∴AQ AD AD AE ＝，ABAP AD AF ＝ 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP ∴AD ·AQ = AD ·AP ∴AQ = AP∵点Q 、P 都在线段AD 上 ∴点Q 、P 重合∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。
已知：△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点O ，第三条高CF 交高AB 于点F ，连结CO 交AB 于点F 。
DCALNMFEDCBA求证：CF ⊥AB 。
证明:∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∴A 、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90° 即CF ⊥AB 。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
Q POF E DCBA三角形三条高线交于一点的证明证法一:运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△A ＢC 的两条高BE 、CF 相交于点Ｏ,第三条高AD 交高BD 于点Q,交高ＣF 于点P 。
求证:P 、Q 、O 三点重合 证明:如图，∵BE ⊥AC,ＣF ⊥AB∴∠AEB ＝ ∠ＡＦＣ = 9０° 又∵∠BAE = ∠CAF ∴△A ＢＥ ∽ △ＡC Ｆ ∴AFAEAC AB ＝， 即AB ·A Ｆ ＝ ＡＣ·ＡE 又∵ＡD ⊥ＢC∴△ＡEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △A ＤB ∴AQ AD AD AE ＝，ABAP AD AF ＝ 即AC ·A Ｅ ＝ AD ·AQ,A Ｂ·AF = AD ·ＡP∵A Ｂ·AF = ＡC ·AE,ＡC ·ＡE ＝ AD ·ＡQ,A Ｂ·AF = ＡＤ·A Ｐ∴A Ｄ·AQ = AD ·AP ∴AQ = ＡＰ∵点Q 、Ｐ都在线段ＡD 上 ∴点Q 、P 重合∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点 ∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合。
DCA证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边,运用四点共圆性质。
已知：△ABC 的两条高AD 、B Ｅ相交于点O ，第三条高ＣF 交高AB 于点F,连结ＣO 交A Ｂ于点F 。
求证：C Ｆ⊥AB 。
证明:∵A Ｄ⊥BC 于D,BE ⊥ＡC 于E∴Ａ、B 、D 、E 四点共圆 ∴∠１=∠AB Ｅ 同理∠２=∠１∴∠2＝∠ＡBE∵∠ABE+∠ＢAC ＝90°, ∴∠2＋∠BAC ＝90° 即C Ｆ⊥ＡB 。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
LNMFEDCBA证法三:证明两条高的交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明三角形三条中线交于一点向量法
证明三角形三条中线交于一点向量法示例文章篇一：哎呀呀，这“证明三角形三条中线交于一点向量法”可把我难住啦！不过，我还是要努力搞清楚它！咱们先来说说啥是三角形的中线。
就好像咱们分糖果一样，中线就是把三角形的一边从中间平分的线。
那三条中线会怎么样呢？难道它们会像调皮的小朋友一样到处乱跑，还是会乖乖地聚在一起呢？咱们假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C 。
那中点D 就是AB 的中点，E 是AC 的中点，F 是BC 的中点。
咱们来想想向量，向量就像是有方向的小箭头。
比如说，向量AB 加上向量BC 就等于向量AC ，这就好像是你从A 走到B ，再从B 走到C ，不就走到了C 嘛！那中线AD 可以用向量表示为1/2（向量AB + 向量AC ），中线BE 可以表示为1/2（向量BA + 向量BC ）。
那咱们来试试看，如果两条中线AD 和BE 相交于点G ，这说明啥呢？这是不是就意味着存在某个比例，比如说AG = 2/3 AD ，BG = 2/3 BE ？咱们把这些都带进去算算，哇塞，你说神奇不神奇，通过一系列的计算，居然能发现第三条中线CF 也会经过这个点G ！这就好像是三个小伙伴约好了在一个神秘的地方见面，谁也没有告诉别人具体位置，但是最后都神奇地找到了那个地方！这难道不令人惊讶吗？这不就证明了三角形三条中线交于一点嘛！所以呀，通过向量法咱们就清楚地证明了三角形三条中线交于一点，是不是很厉害呢？示例文章篇二：哎呀呀，这三角形三条中线交于一点用向量法来证明，可真是个有趣又有点难的挑战呢！让我先给你讲讲什么是三角形的中线吧。
比如说一个三角形ABC，那连接顶点A 和对边BC 中点的线段就是中线啦。
咱们假设三角形ABC 的三个顶点坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）。
那BC 中点的坐标咱就可以算出来，对吧？那咱接着说向量，向量就像有方向的箭头一样。
比如说从A 指向B 的向量，咱就叫它向量AB 。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点得证明证法一:运用同一法证三条高两两相交得交点就是同一点。
已知:△ABC得两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P。
求证:P、Q、O三点重合证明:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽△ACF∴,即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽△ADC,△AFP ∽△ADB∴,即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行得直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。
证法二:连结一顶点与两高交点得线垂直于第三边,运用四点共圆性质。
已知:△ABC得两条高AD、BE相交于点O,第三条高CF交高AB于点F,连结CO交AB于点F。
求证:CF⊥AB。
证明:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°,∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。
注:证法一与证法二就是证明共点线得常用方法。
证法三:证明两条高得交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明:如图6,以直线BC为x轴,高AD为y轴,建立直角坐标系,设A(0 , a) , B(b ,0) , C(c , 0),由两条直线垂直得条件解(2)与(3)得∴这说明BE与CF得交点在AD上,注:有时候考虑直角坐标系这一有力得数形结合工具可以有效地解决问题。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点的证明之五兆芳芳创作证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点. 已知：△ABC 的两条高BE 、CF 相交于点O ，第三条高AD 交高BD 于点Q ，交高CF 于点P.求证：P 、Q 、O 三点重合 证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽△ACF∴AF AE AC AB ＝，即AB ·AF = AC ·AE 又∵AD ⊥BC∴△AEQ ∽△ADC ，△AFP ∽△ADB∴AQ AD AD AE ＝，AB AP AD AF ＝即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∴AD ·AQ = AD ·AP ∴AQ = AP∵点Q 、P 都在线段AD 上 ∴点Q 、P 重合QP OFE DCBA∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点 ∵两条不服行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合.证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质.已知：△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点O ，第三条高CF 交高AB 于点F ，连结CO 交AB 于点F.求证：CF ⊥AB.证明:∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1 ∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90° 即CF ⊥AB.注：证法一和证法二是证明共点线的经常使用办法. 证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，成立直角坐标系运用代数办法证明.证明：如图6，以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，成立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两DCA条直线垂直的条件ab k k ac k k AB CF ACBE =-==-=1,1解（2）和（3）得)(=-a bb x ac ∴0=x这说明BE 和CF 得交点在AD 上，所以三角形的三条高相交于一点.注：有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合东西可以有效地解决问题.证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点.已知：AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高. 求证：AD 、BE 、CF 相交于一点.证明：过点A 、B 、C 辨别作BC 、AC 、AB 的平行线ML 、MN 、NL∵AM ∥BC ，MB ∥AC∴四边形AMBC 是平行四边形∴AM ＝BC 同理，AL ＝BC ∴AM ＝AL ∵AD ⊥MLLNMFEDCBA∴AD 是ML 的垂直平分线同理，BE 、CF 辨别是MN 、NL 的垂直平分线 而三角形的三条垂直平分线相交于一点∴AD 、BE 、CF 相交于一点.注：三角形的三条中线（可中垂线、角平分线）相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线（中垂线）相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化办法必须让学生理解掌握.证法五：运用锡瓦（Ceva ）定理证明. 已知：AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高. 求证：AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明：如图，∵AD ⊥BC 于E ，BE ⊥AC 于E∴△ABD ∽△CBF∴CB ABBF BD ＝（1）同理，由△ADC ∽△BEC 得CACB CD CE ＝， （2）由△AFC ∽△AEBAB AC AE AF ＝（3）O FEDCBA三式相乘得1-=⋅⋅=⋅⋅ABACCACBCBABAEAFCDCEBFBD即1=⋅⋅FBAFEACEDCBD∴AD、BE、CF相交于一点.注：锡瓦定理是证明共点线的有力东西，虽然中学不作要求，但对于学有余力的学生无妨引导他们自己研究，激起他们的学习兴趣.锡瓦定理可以用梅涅劳（Menelaus）定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到.在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力.证法六设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF.向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c. 因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，即向量a·(向量c-向量b)=0，向量b·(向量a-向量c)=0，亦即向量a·向量c-向量a·向量b=0 向量b·向量a-向量b·向量c=0 两式相加得向量c·(向量a-向量b)=0 即向量HC·向量BA=0 故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。
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为什么三角形的三条中线交于一点？（1.相似三角形法）（附图）（原创）
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD
∴MO/BD=NO/CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF
∴PO/BF=QO/AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE
∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE
∴MR/AE=PR/CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE
命题得证。
下面的是第二种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC（绿）= S△AOB（红）
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC（绿）= S△BOC（蓝）
∴S△AOB（红）= S△BOC（蓝）
∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB
∴S△AOE:S△AOB（红）= S△COE:S△BOC（蓝）
∵S△AOB（红）= S△BOC（蓝）
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证。
下面的是第三种方法：中位线法
已知：△A BC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证。