三角形三条中线的交点叫什么点
三角形的各个心
三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点；内心:三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；外心:三中垂线的交点；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.（共有三个.）是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O, CO 延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S △ AOB=S △ AOC，又S △ AOB=S △ BOC，二S△ A OC=S △ BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3,（ Y1+Y2+Y 3）/3）;空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3 纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为重心”重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.三角形垂心的性质设/ ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C 的对边分别为a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
三角形的中线高线与角平分线
三角形的中线高线与角平分线三角形的中线、高线与角平分线在几何学中，三角形是最基本的多边形之一。
它由三条线段组成，连接三个非共线点。
三角形中的中线、高线和角平分线是三条重要的直线，在研究三角形的性质和关系时起着重要作用。
一、中线中线是连接三角形的一个角的顶点和所对边中点的线段。
三角形共有三条中线，分别连接各个角的顶点和对边中点。
中线具有以下几个重要性质：1. 中线的长度相等：对于任意一个三角形，它的三条中线的长度相等。
即对于三角形ABC，连接顶点A和对边BC的中线AD，连接顶点B和对边AC的中线BE，连接顶点C和对边AB的中线CF，有AD = BE = CF。
2. 中线的交点称为重心：三条中线的交点被称为三角形的重心，用G表示。
重心是三角形中心的一种，具有重要的几何意义。
3. 重心将中线划分成2:1的比例：重心将每条中线划分成两个线段，其中一个线段的长度是另一个线段的两倍。
二、高线高线是从三角形的一个顶点垂直地引到对边上的线段。
三角形共有三条高线，分别从三个顶点向对边引垂线。
高线具有以下几个重要性质：1. 高线相交于一点：对于任意一个三角形，三条高线相交于一个点，称为垂心。
垂心用H表示。
2. 垂心到顶点的距离相等：垂心到每个顶点的距离相等，即AH = BH = CH。
3. 高线的中点连线平行于底边：连接垂心和对边上垂足的线段平行于底边。
三、角平分线角平分线是指从三角形的一个顶点将角平分成两个相等角的线段。
三角形共有三条角平分线，分别从三个顶点将对角角平分。
角平分线具有以下几个重要性质：1. 角平分线相交于一点：对于任意一个三角形，三条角平分线相交于一个点，称为内心。
内心用I表示。
2. 内心到对边的距离相等：内心到三条对边的距离相等，即AI =BI = CI。
3. 角平分线的交点到边上各顶点的距离相等：内心到三角形的各个顶点的距离都相等，即ID = IE = IF。
通过研究三角形的中线、高线和角平分线，我们可以发现它们之间存在着一种特殊的关系。
三角形的中线
三角形的中线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，连接三个顶点。
而三角形的中线则是连接三角形的顶点与对应边中点的线段。
本文将详细论述三角形的中线，介绍其特性和应用。
一、中线的定义和特性中线是指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
一个三角形具有三个顶点，因此共有三条中线，它们分别连接一个顶点与对边的中点。
1. 中线长度关系对于任意一个三角形ABC，其三条中线分别为AD、BE和CF。
根据中点定理可知，中点是一条线段的两个等分点。
因此，中线将对边等分，即AD=BD、BE=CE和CF=AF。
2. 中线交点三条中线的交点被称为三角形的重心，记为G。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
3. 重心与中线长度的关系重心G将每条中线分成两段，记为m和n。
根据重心定理可知，重心将每条中线分为1：2的比例，即m: n = 1: 2。
因此，重心离顶点的距离是离对边中点的距离的两倍。
二、中线的应用1. 构造中线在很多几何问题的解决过程中，中线是一个常用的构造工具。
通过使用尺规作图或者使用直尺和量角器进行测量，可以准确地构造出三角形的中线。
2. 求取中线长度已知三角形的三个顶点坐标，可以通过计算得出三条中线的长度。
根据中线的定义，我们可以使用中点公式来求取对边的中点坐标，进而计算出中线的长度。
3. 判断重心位置在一些问题中，需要判断给定的三角形的重心相对位置。
通过计算重心离三个顶点的距离，可以得出重心相对位置的信息。
如果重心距离某个顶点较近，则说明该顶点所在的边较长，反之则较短。
4. 证明三角形性质在几何证明中，中线也是一个常用的手段。
通过利用中线的性质，可以证明一些三角形的性质，如等腰三角形、全等三角形等。
5. 三角形的划分重心将三角形划分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
这一特性在一些几何问题中有着重要的应用，如在计算三角形的面积或者寻找三角形的重心时。
三角形中心重心垂心三角形的中心和重心
三角形中心重心垂心■三角形的中心和重心三角形中心三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1： 2；垂心:三角形三条高的交点；内心:三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点•（共有三个・）是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候, 四心合一心，称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：AABC中，D为BC中点，E 为AC中点，AD与BE交于O, CO延长线交AB于Fo求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，SAAOB=SAAOC,XS A AOB=S A BOC,.•.S A AOC=S A BOC,再应用从中点得AF=BF,命题得证。
重心的几条性质及证明方法：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： 1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：4 A ABC内，三边为a, b, c,点O 是该三角形的重心,AOA1、BOB 1、COC1 分别为b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1 , OB1=1/3BB1 ,OC1=1/3CC1过O, A分别作a边上高hl, h 可知hl=l/3h 则,S(ABOC)=l/2xhla=l/2xl/3ha=l/3S(AA BC)；同理可证S(AAOC)=1/3S(AABC), S( ▲AOB)= 1 /3 S( A ABC2+y 1 +y2 +y3=3(x-l/3 *(x 1 +x2+x3)) +3(y-1/3 (y 1 +y2 +y3)) +xl +x2 +x3 +yl +y2 +y3 -l/3(xl+x2+x3) -l/3(y 1 +y2+y3)显然当x=(xl+x2+x3)/3,y=(yl+y2+y3)/3 时上式取得最小值xl +x2 +x3 +yl +y2 +y3 -l/3(xl+ x2+x3) -l/3(yl+y2+y3) 最终得出结论4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1 +X2+X3)/3,(Y 1 +Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(Xl+X2+X3)/3纵坐标：(Yl+Y2+Y3)/3 竖坐标：/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形的中线与垂心性质解析
三角形的中线与垂心性质解析在解析三角形的性质时，中线和垂心是两个重要的概念。
本文将通过对中线和垂心的性质进行解析，来帮助读者更好地理解这两个概念及其在三角形中的作用。
一、中线的性质中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，分别从三个顶点出发，与对边中点相交。
1. 中线的长度对于任意三角形ABC，以AB边为底的中线AM的长度等于AC边与AB边长度的一半（AM = 0.5*AC）。
同样地，以AC边为底的中线AN的长度等于AB边与AC边长度的一半（AN = 0.5*AB）。
以BC边为底的中线BP的长度等于BA边与BC边长度的一半（BP = 0.5*BA）。
2. 中线的交点三条中线的交点称为三角形的重心G。
三角形的重心G在每条中线上的距离等于中线长度的三分之一。
即AG:GM = BG:GN = CG:GP =1:2。
二、垂心的性质垂心是指三角形三条高的交点，也是三角形内心到三边的垂足连线的交点。
1. 垂心的存在性对于任意三角形ABC，垂心H一定存在于三角形内部。
2. 垂心的位置垂心H与三角形的位置有关。
当三角形是锐角三角形时，垂心H 在三角形内部；当三角形是直角三角形时，垂心H在三角形直角顶点上；当三角形是钝角三角形时，垂心H在对应的延长线上。
三、中线与垂心的性质关联中线和垂心在三角形中有一些重要的性质关联。
1. 中线与垂心的关联三角形的中线和垂心的连线HG相互垂直。
2. 中线与垂足的关联三角形的中线与对边的垂足在一个点上。
3. 中线长度关系对任意三角形ABC，以AB边为底的中线AM的长度等于BH的长度的一半（AM = 0.5*BH）。
同样地，以AC边为底的中线AN的长度等于CH的长度的一半（AN = 0.5*CH）。
以BC边为底的中线BP的长度等于AH的长度的一半（BP = 0.5*AH）。
4. 三角形的内切圆三角形垂心H是三角形内切圆的圆心，且三角形的外心是垂心H 关于重心G的对称点。
三角形的中线和中点
三角形的中线和中点三角形是几何学中的基本形状之一，由三条线段组成。
中线是三角形内部连接各边中点的线段，而中点则是每条边上的中点。
本文将探讨三角形的中线和中点的性质以及它们在几何学中的应用。
一、三角形的中线和中点的性质1. 三角形的中点：在三角形的每条边上，都存在一个点，该点与端点的距离相等，且将边平分为两个等长的部分，这个点被称为三角形的中点。
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对立边的中点所组成的线段是三角形的中线。
3. 中点与中线的关系：在三角形中，三条中线的交点即为三角形三条中线的公共交点，被称为三角形的重心。
三角形的重心，也就是三条中线的交点，被所有中线所分成的线段比例为2:1。
二、三角形中线和中点的应用1. 证明三角形的一些性质：通过使用三角形的中点和中线的性质，可以证明三角形具有一些重要的性质。
例如，证明三角形的中线长相等、平行或垂直于其他线段等。
2. 确定三角形的位置：利用三角形的中点和中线，可以帮助确定三角形的位置。
如果三角形的中点之间重合，那么这个三角形就是等边三角形；如果三角形的两条中线垂直且长度相等，那么这个三角形就是等腰直角三角形。
3. 解决相关问题：在几何学中，使用三角形的中线和中点可以解决一些有关面积、周长、角度等相关的问题。
例如，可以利用三角形中线的性质，通过计算中线的长度来求解三角形的面积。
三、三角形中线和中点的几何公式1. 三角形中线长的计算公式：在一个三角形ABC中，三条中线的长度分别为m，n和p，则有以下公式：m = 1/2 * sqrt(2 * (b^2 + c^2) - a^2)n = 1/2 * sqrt(2 * (a^2 + c^2) - b^2)p = 1/2 * sqrt(2 * (a^2 + b^2) - c^2)其中a、b、c分别为三角形的三边长。
2. 三角形中线长比例公式：在一个三角形ABC中，三个顶点分别为A、B、C，三条中线的长度分别为m，n和p，则有以下比例： m : n : p = |BC| : |AC| : |AB| = a : b : c其中a、b、c分别为三角形的三边长。
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很多同学都学习三角形，那么三角形三条中线相交产生的点是什么点？大家一起来看看吧。
三条中线交点
三角形三边中线的交点是三角形重心。
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。
重心性质
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的几个关键点
重心：三条边的中线交于一点；
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点；
外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点；
内心：三角形的三条内角平分线交于一点。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。
以上就是一些三角形的相关信息，希望对大家有所帮助。