小学奥数 裂项求和(二)
小学奥数 裂项求和(二)
分数裂项求和（二）在上一讲中我们学习了分母是相邻自然数乘积形式，分子为固定自然数的分数裂项求和，在这一讲中，我们即将学习分母不是相邻自然数，而是差固定的两个数字的乘积形式，分子为固定自然数的分数裂项求和。
下面我们一起来进入到今天的学习当中，加油！例1 基础讲解（裂项）分母不是连续的自然数，而是相差2的自然数乘积，按照上一讲中的方法我们来裂项：= - =这个算式是否正确呢？显然不正确，因为。
那么该怎么解决呢，我们发现是的二分之一，那么做出如下裂项变形：=（ - ）×==（ - ）×==（ - ）×==（ - ）×=那如果分母不是差2的自然数，而是差3，差4，甚至更多呢？=（ - ）×==（ - ）×=同学们，你们有什么发现吗？是的，分母相差几，在最后就要乘以几分之一，总结一下：就是对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数a写在前面，即 a < b ，那么有 =( -)×。
练1 =（ - ）×==（ - ）×==（ - ）×=练2 =（ - ）×=（分子的2不变，写在括号外面）=（ - ）×=（分子的3不变，写在括号外面）=（ - ）×=例2 深度讲解……= (-)× + (-)× +(-)× + ……+(-)× +(-)× [每一项都进行裂项变形] = [(-）+(-）+(-）+ …… + (-）+(-)]×[每一项都×，所以利用乘法分配律，把×放在括号外面] = (-+- +- +……+- +-)×[去括号，括号外面是加号，去括号不变号]= (-)× [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]= × [头减尾，再乘以]= [约分后，既得最后答案]……= (-)× + (-)× +(-)× + ……+(-)× +(-)×[每一项都进行裂项变形, ×是因为，分子的2是每一项分子上面都有2，分母的3是每一项分母中的两个数相差3得来的][此处乘法分配律和去括号在同一个步骤完成，节省些时间]= (-)× [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾] = × [头减尾，再乘以]= [约分后，既得最后答案]练3 113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…222 (35579799)++++⨯⨯⨯222 (35579799)++++⨯⨯⨯同学们，学到这里，你是否能非常快的口答出正确答案呢？ 用（头减尾）× 几分之几的形式说一说，练一练。
六年级奥数-分数裂项
六年级奥数-分数裂项裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯【例 2】1111 11212312100 ++++++++++公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()例题精讲当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：方法二：【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【巩固】11111113610152128 ++++++=一项隔一项来拆项【巩固】计算：1111111112612203042567290--------＝【巩固】11111104088154238++++=。
裂项相消法求和公式
裂项相消法求和公式
裂项相消法是数学中常用的一种方法，用于简化求和式。
它通
常用于对称性比较明显的求和式，可以通过将求和式中的相邻项相减，从而简化问题。
裂项相消法常用于数学和物理中的求和问题，
下面我将从数学和物理两个方面来介绍裂项相消法的求和公式。
在数学中，裂项相消法可以用于简化一些复杂的求和式，特别
是在级数求和的过程中。
一个常见的裂项相消法求和公式是对称式
的求和。
比如，对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，我们可
以利用裂项相消法将求和式简化为$\frac{1}{2}(a_1+a_n)n$。
这个
公式的推导过程就是利用了裂项相消法，通过将数列的首尾项相加，次首尾项相加，依次类推，最终得到简化后的形式。
在物理中，裂项相消法同样有着重要的应用。
比如在物理中的
力学问题中，特别是涉及到质心的问题中，裂项相消法可以帮助简
化力矩的求和问题。
通过将作用在质点上的力分解成对称的部分，
然后利用裂项相消法简化力矩的表达式，从而简化了问题的求解过程。
总的来说，裂项相消法是一种非常有用的数学方法，它可以帮
助简化复杂的求和式，特别是对称性比较明显的求和式。
在数学和物理问题中都有着重要的应用。
通过合理运用裂项相消法，可以简化问题、加快计算速度，是数学和物理学习中的重要工具之一。
典型的裂项法求和例题
典型的裂项法求和例题
1、 1 + 1 + 1 ...... + 1
1´ 2 2´3 3´ 4
19 ´ 20
这是最简单的裂项求和，因为 1 = 1 - 1 n * (n + 1) n n + 1
+
C
3 4
+
C53 ...... +
C135
=1
+
4!/3!
+
5!/(3!2!)
+
6!/(3!3!)
+......+
15!/(3!12!)
=1+4*3*2/3!+5*4*3/3!+6*5*4/3!+.....+15*14*13/3!
=1+(4*3*2+5*4*3+6*5*4+.....+15*14*13) / 3!
n(n +1)(n + 2)
同样分解为
1
= 1[ 1 -
1
]
n(n +1)(n + 2) 2 n * (n + 1) (n + 1)(n + 2)
所以原式= 1 ( 1 - 1 ) = 209 2 1´ 2 20 ´ 21 840
1
5、 1* 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ......+ 19 * 20
所以原式=1- 1 = 19 20 20
裂项求和法的知识点总结
裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。
二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。
1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。
拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。
拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。
2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。
3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。
Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。
三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。
通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。
2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。
虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。
3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。
例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。
四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
裂项求和法公式
裂项求和法公式裂项求和法是数学中一种非常实用的求和方法，特别是在数列求和问题中经常能大展身手。
咱们先来说说什么是裂项求和法。
简单来讲，就是把一个数列的每一项拆分成两项的差，然后在求和的时候，很多项可以相互抵消，从而让求和变得简单。
比如说，对于数列 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) +... ，咱们可以把每一项 1/(n×(n + 1)) 拆分成 1/n - 1/(n + 1) ，这样在求和的时候，中间的很多项就可以相互抵消啦。
我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这咋拆呀，拆完咋就能求和啦？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就拿了一堆纸条，标上数字，给他演示。
比如说 1/2 - 1/3 ，我把一张纸条平均分成两份，取一份，再把另一张纸条平均分成三份，取两份，让他直观地看到这两个的差就是 1/6 ，也就是 1/(2×3) 。
咱们再深入点，常见的裂项求和公式有很多呢。
像 1/(n(n + k)) = 1/k × (1/n - 1/(n + k)) ，还有1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) - √n 。
那裂项求和法有啥用呢？用处可大啦！比如说，遇到那种通项公式是分式形式，而且分子是常数，分母是两个连续整数乘积的数列，用裂项求和法简直不要太轻松。
我给大家举个例子哈。
求数列 1/(3×5) + 1/(5×7) + 1/(7×9) +... 的前 n 项和。
咱们按照裂项求和的方法，把每一项 1/((2n + 1)(2n + 3)) 拆分成1/2 × (1/(2n + 1) - 1/(2n + 3)) 。
然后求和的时候，你就会发现，第一项的后半部分和第二项的前半部分抵消了，第二项的后半部分和第三项的前半部分又抵消了，以此类推，最后剩下的就是第一项的前半部分和最后一项的后半部分。
最新小学六年级奥数裂项求和
裂项求和 11111122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 分析：这是我们裂项求和的基本型。
它具备三个特点（1）分子都是1，(2)分母都是相邻两数相乘，（3）相邻两项的分母的首尾因数必须相同。
1111212=-⨯ 1112323=-⨯ 解：原式=111111111122334989999100-+-+-++-+- =11100- =99100例2. 22222122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 分析：这和我们的基本型有什么不同？分子不是1是2，我们把这种题型叫做分子变化型，解题思路就是分子是几就提出几。
解：原式=1111111112122334989999100⎛⎫⨯-+-+-++-+- ⎪⎝⎭ =121100⎛⎫⨯-⎪⎝⎭ =9950 例3. 11112446684850++++⨯⨯⨯⨯ 分析：这和我们基本型有什么不同？分母的因数不是相邻两数相乘，它们的差是2，其他都符合，解题思路是分子相差几就提出几分之1。
这种叫做分母变化型。
111124224⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 111146246⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭解：原式=11111111122446684850⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭=1112250⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =625例4．33335579799+++⨯⨯⨯分析：这种题型叫做分子分母变化型，解题思路分子是几，分母相差几，就提出几分之几。
解：原式=3111111235579799⎛⎫⨯-+-++- ⎪⎝⎭ =3112399⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =1633例5. 11111315356399++++ 分析：认真观察分母，看它和基本型有什么关联。
解：原式=1111113355779911++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111123355779911⎛⎫⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭=111211⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =511例6. 179111315131220304256-+-+- 分析：观察分子和分母的联系，这里要注意括号外是“—”号，括号内的每一项都要变号。
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分数裂项求和（二）
在上一讲中我们学习了分母是相邻自然数乘积形式，分子为固定自然数的分数裂项求和，在这一讲中，我们即将学习分母不是相邻自然数，而是差固定的两个数字的乘积形式，分子为固定自然数的分数裂项求和。
下面我们一起来进入到今天的学习当中，加油！
例1 基础讲解（裂项）
分母不是连续的自然数，而是相差2的自然数乘积，按照上一讲中的方法我们来裂项：
= - =
这个算式是否正确呢？显然不正确，
因为。
那么该怎么解决呢，我们发现是的二分之一，
那么做出如下裂项变形：
=（ - ）×=
=（ - ）×=
=（ - ）×=
=（ - ）×=
那如果分母不是差2的自然数，而是差3，差4，甚至更多呢？
=（ - ）×=
=（ - ）×=
同学们，你们有什么发现吗？
是的，分母相差几，在最后就要乘以几分之一，
总结一下：就是对于分母可以写作两个因数乘积的分数，
即形式的，这里我们把较小的数a写在前面，即 a < b ，那么有 =( -)×。
练1 =（ - ）×=
=（ - ）×=
=（ - ）×=
练2 =（ - ）×=
（分子的2不变，写在括号外面）
=（ - ）×=
（分子的3不变，写在括号外面）
=（ - ）×=
例2 深度讲解
……
= (-)× + (-)× +(-)× + ……
+(-)× +(-)× [每一项都进行裂项变形] = [(-）+(-）+(-）+ …… + (-）+(-)]×
[每一项都×，所以利用乘法分配律，把×放在括号外面] = (-+- +- +……+- +-)×
[去括号，括号外面是加号，去括号不变号]
= (-)× [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]
= × [头减尾，再乘以]
= [约分后，既得最后答案]
……
= (-)× + (-)× +(-)× + ……
+(-)× +(-)×
[每一项都进行裂项变形, ×是因为，分子的2是每一项分子
上面都有2，分母的3是每一项分母中的两个数相差3得来的]
[此处乘法分配律和去括号在同一个步骤完成，节省些时间]
= (-)× [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾] = × [头减尾，再乘以]
= [约分后，既得最后答案]
练3 113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…
222 (35579799)
++++⨯⨯⨯
222 (35579799)
++++⨯⨯⨯
同学们，学到这里，你是否能非常快的口答出正确答案呢？ 用（头减尾）× 几分之几的形式说一说，练一练。
练6
…… 练7 ……
练8 ……。