席第06讲 多维随机变量及其分布

(4). 二维均匀分布 设D为平面上的有界区域, D的面积大于 零. 若二维随机变量(X,Y)的联合密度为
1 / D的面积, ( x, y ) D f ( x, y ) 0, ( x, y ) D
则称(X,Y)在D上服从均匀分布
向平面上有界区域D上任投一质点，若质点 落在D内任一小区域B的概率与小区域的面 积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质 点的坐标（ X,Y）在D上服从均匀分布.
2. 若(X, Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函
数是f (x , y)，此时X 和Y也是连续型随机变量，分别 称X 和Y 的概率密度函数fX(x)和fY(y)为(X, Y)关于X 和Y 的边缘密度函数, 简称为边缘密度。且有
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X ( x)
若y1<y2,对任意的实数x，则有
F(x,y1) F(x,y2)
性质2 对于任意的实数x, y , 均有
0 F(x, y ) 1,
x
lim F ( x, y ) 0
y
lim F ( x, y ) 0
x , y
lim Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( x, y ) 1
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
LimF(x, y)=F(x0 , y),
x x0
Lim
y y0
F( x, y )=F(x, y0 )
性质4 若x1< x2, y1<y2, 则 P{x1<X x2, y1<Y y2 }= F(x2,, y2)F(x2 ,y1)F(x1,y2)+F(x1, y1)
几何意义如下:
y (x2,y2)
(x1,y1)
x
3．边缘分布函数 记(X,Y )的分量X，Y 的分布函数分别为FX(x)和FY(y)
称它们为X，Y 的边缘分布函数
4. 联合分布函数与边缘分布函数的关系 FX(x)=P{X x}=P{X x,- <Y<+} =F(x,+ )， FY (y)=P{Y y}=P{-< X<+,Y y} =F(+, y)
联合分布律与边缘分布律的关系
设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布
律为
pi j = P{X = x i , Y = y i} i , j=1,2,…
则
pi. pij
j
p. j pij
i
二维连续型随机变量的边缘密度函数
1. 若(X,Y)为连续型随机变量, 型随机变量 则X,Y均为连续
2 N (1 , 12 ; 2 , 2 ; )
试证 X 与Y 相互独立的充必要条件是 = 0
例4
设(X,Y )的联合密度为
e ( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
求(1) (X, Y )的联合分布函数F(x, y);
(2) P(X >1);
(3) P{(X,Y)D}, 其中D={(x,y): x0, y0, x+y 1};
F ( x, y) FX ( x) FY ( y)
二维随机变量(X,Y)独立的判别
定理1 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x1, x2, y1, y2有
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) P( x1 X x2 )P( y1 Y y2 )
i,
j=1,2,……
称 上式为(X,Y)的联合分布律.
性质
(1) pij 0，i, j=1,2,… (2)
p
i, j
ij
1
问：如何用表格表示(X, Y)分布情况？ 答:见书p76. 并且有一个例子见p77.
二维连续型随机变量及其联合概率分布
定义 设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F(x, y)。 若存在非负函数f (x , y), 对任意实数x , y 有
若0 x 1
x x


6, x 2 y x f ( x, y ) 其它 0,
f X ( x ) 2 6dy 6( x x )
2
6( x x 2 ) f X ( x) 0

0 x 1 其它
y (1,1)
f Y( y ) f ( x, y )dx
若f (x , y)在点(x , y)处连续，则

(3)
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
2
(4) 设G是xOy平面上的一个区域，则有
P(( X , Y ) G ) f ( x, y )dxdy .
G
在几何上z = f (x , y)表示空间的一张曲面。 由性质(2)知，介于该曲面和xy平面之间的空间区 域的体积是1。 由性质(4)知, P(( X ,Y ) G) 的值等于以G为底， 以曲面z = f (x , y)为顶的曲顶柱体的体积。
24 解: (2) fY ( y ) y (2 x )dx y 5 y y=x 2 24 3 y y ( 2 y ), 0 y 1 5 2 2
1
0
1
x
即
12 2 x ( 2 x ), 0 x 1 f X ( x) 5 0, 其它
2 24 3 y y( 2 y ), 0 y 1 fY ( y) 5 2 2 0, 其它
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充
分必要条件是: 对任意实数x, y有
P( X x, Y y) P( X x) P(Y y)
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
P( X xi , Y y j ) P( X xi )P(Y y j ),
第三章
多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量
在很多实际问题中，需要考虑两个或两 个以上的随机变量。 先看两个随机变量： 二维随机变量（X,Y)的性质不仅与X及Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的 相互关系。
联合分布函数与边缘分布函数
1．定义
设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x, y, 令 F(x, y)=P{Xx, Yy} . 则称 F(x, y)为（X,Y）的联合分布函数。
求 (1) P(r 2/8 X 2+Y 2 r 2/4); (2) (X,Y )的边缘密度函数
若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 1 1 x 1 2 f ( x , y) exp{ [( ) 2 2(1 ) 1 21 2 1 2 x 1 y 2 y 2 2 2 ( )( )( ) ]} 1 2 2
分布函数的几何意义
如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率
y (x, y)
x
2．F(x, y)的性质 性质1 对于x 和y, F(x, y)都是单调不减函数，即若 x1< x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y) F(x2, y)；
F ( x, y) f (u, v)dvdu
则称(X , Y )为连续型二维随机变量，且称函数
f (x , y)为二维随机变量(X , Y )的联合密度函数，简 称为联合密度或概率密度。
x
y
性质:
(1) (2)
f ( x, y) 0;
f ( x , y )dydx F (,) 1
解：(1) f ( x, y)dxdy

[ cy (2 x)dy ]dx
0 0 1 2 0
1
x
(分析被积函数在xy平面上不 为0 的区域)
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
c =24/5
例3(续) 设(X,Y)的概率密度是 cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 解: (2)
例1： 设
1 e x e y e x y x 0, y 0 ( X , Y ) ~ F ( x, y) 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。 x x0 1 e 解: FX ( x) 其它 0
1 e FY ( y ) 0


f ( x, y )dy
f Y ( y) f ( x, y)dx.
例2 设随机变量X 和Y 具有联合分布

6, x 2 y x f ( x, y) 其他 0,
求X 和Y 边缘密度（可见书 p82）(我们分析被 积函数在xy平面上不为0 的区域如下:)
f X ( x) f ( x, y )dy
(４) (X,Y )的边缘密度函数
f X ( x), fY ( y).
（有一些计算技巧，简要介绍解答）
例5 设(X,Y)在圆域D={(x, y): x2+y2r 2}上服从
均匀分布, 其联合密度为
1 / r 2 , ( x, y ) D f ( x, y ) ( x, y ) D 0,
即
pij pi p j , i, j 1,2,...,
这里分别
pij , pi , p j
是(X , Y )，X，Y 的分布律
定理4 若(X , Y )是连续性随机变量，则X与Y 独
立充分必要条件是
f ( x, y) f X ( x) fY ( y),